Глоссарий теории множеств

Это глоссарий терминов и определений, связанных с темой теории множеств .

греческий

$α$: Часто используется для порядкового числительного
$β$: 1. $β$ $X$ — компактификация Стоуна–Чеха для $X$; 2. Порядковое число
$γ$: Гамма -число , порядковый номер вида $ω α$
$Г$: Гамма -функция ординалов . В частности, $Γ 0$ — это ординал Фефермана–Шютте .
$δ$: 1. Дельта-число — это порядковое число вида $ω ω α$; 2. Предельный ординал
$Δ$ (греческая заглавная дельта, не путать с треугольником ∆): 1. Набор формул в иерархии Леви; 2. Дельта-система
$ε$: Эпсилон -число , порядковое число с $ω ε = ε$
$η$: 1. Тип порядка рациональных чисел; 2. Эта-множество , тип упорядоченного множества; 3. $η α$ — кардинал Эрдеша.
$θ$: Тип порядка действительных чисел
$Θ$: Супремум ординалов, являющихся образом функции из $ω ω$ (обычно в моделях, где аксиома выбора не предполагается)
$к$: 1. Часто используется для кардинала , особенно критической точки элементарного вложения.; 2. Кардинал Эрдёша $κ (α)$ — это наименьший кардинал, такой что $κ (α) \to (α) < ω$
$λ$: 1. Часто используется для обозначения кардинального числа.; 2. Тип порядка действительных чисел
$μ$: Мера
$П$: 1. Произведение кардиналов; 2. Набор формул в иерархии Леви
$ρ$: Ранг набора
$σ$: счетный, как в σ-компактный , σ-полный и т. д.
$Σ$: 1. Сумма кардиналов; 2. Набор формул в иерархии Леви
$φ$: Функция Веблена
$ω$: 1. Наименьший бесконечный ординал; 2. $ω α$ — альтернативное название для $ℵ α$ , используемое, когда оно рассматривается как порядковое, а не количественное числительное.
$Ω$: 1. Класс всех ординалов, связанных с абсолютом Кантора; 2. Ω-логика — это форма логики, введенная Хью Вудином.

!$@

∈, =, ⊆, ⊇, ⊃, ⊂, ∪, ∩, ∅: Стандартные символы теории множеств с их обычными значениями ( является членом , равно, является подмножеством , является надмножеством , является собственным надмножеством , является собственным подмножеством , объединение, пересечение, пустое множество)
∧ ∨ → ↔ ¬ ∀ ∃: Стандартные логические символы с их обычными значениями (и, или, подразумевает, эквивалентно, нет, для всех, существует)
$\equiv$: Отношение эквивалентности
⨡: $f ⨡ X$ теперь является ограничением функции или отношения f на некоторое множество X , хотя его первоначальным значением было корестрикция
↿: $f ↿ X$ — ограничение функции или отношения f на некоторое множество X
∆ (Треугольник, не путать с греческой буквой $Δ$ ): 1. Симметричная разность двух множеств; 2. Диагональное пересечение
◊: Принцип алмаза
♣: Принцип клубного костюма
□: Квадратный принцип
∘: Состав функций
⁀: s ⁀ x — это расширение последовательности s на x
+: 1. Сложение порядковых числительных; 2. Добавление кардиналов; 3. α ⁺ — наименьшее кардинальное число, большее α.; 4. B ⁺ — частично упорядоченное множество ненулевых элементов булевой алгебры B; 5. Операция «включительно или» в булевой алгебре. (В теории колец используется для операции «исключительно или»).
~: 1. Разность двух множеств: x ~ y — это множество элементов x , не содержащихся в y .; 2. Отношение эквивалентности
\: Разность двух множеств: x \ y — это множество элементов x , не содержащихся в y .
−: Разность двух множеств: x − y — это множество элементов x, не входящих в y .
≈: Имеет ту же мощность, что и
×: Произведение множеств
/: Частное множества по отношению эквивалентности
⋅: 1. x ⋅ y — порядковое произведение двух порядковых чисел; 2. x ⋅ y — кардинальное произведение двух кардинальных чисел
*: Операция, которая берет принудительное ЧУМ-множество и имя принудительного ЧУМ-множества и создает новое принудительное ЧУМ-множество.
∞: Класс всех ординалов или, по крайней мере, нечто большее, чем все ординалы.
$\альфа ^{\бета}$: 1. Кардинальное возведение в степень; 2. Порядковое возведение в степень
${}^{\beta }\alpha$: 1. Множество функций от β до α
→: 1. Подразумевает; 2. f : X → Y означает, что f является функцией от X до Y.; 3. Обычный символ разбиения , где $κ \to(λ) н м$ означает, что для каждой раскраски n -элементных подмножеств $κ$ в m цветов существует подмножество размера λ, все n -элементные подмножества которого имеют один и тот же цвет.
ф ′ х: Если существует уникальный y такой, что ⟨ x , y ⟩ принадлежит f , то f ′ x есть y , в противном случае это пустое множество. Так что если f — функция и x принадлежит ее области определения, то f ′ x есть f ( x ).
ж ″ Х: f ″ X — это образ множества X с помощью f . Если f — это функция, область определения которой содержит X, то это { f ( x ): x ∈ X }
[ ]: 1. M [ G ] — наименьшая модель ZF, содержащая G и все элементы M .; 2. [ α ] ^β — множество всех подмножеств множества α мощности β или упорядоченного множества α типа порядка β.; 3. [ x ] — класс эквивалентности x
{ }: 1. { a , b , ...} — множество с элементами a , b , ...; 2. { x : φ ( x )} — это множество x , такое что φ ( x )
⟨ ⟩: ⟨ a , b ⟩ — упорядоченная пара , и аналогично для упорядоченных n -кортежей
$|X|$: Мощность множества X
$\|\varphi \|$: Значение формулы φ в некоторой булевой алгебре
⌜ φ ⌝: ⌜ φ ⌝ ( кавычки Куайна , юникод U+231C, U+231D) — это число Гёделя формулы φ
⊦: $A ⊦ φ$ означает, что формула φ следует из теории A
⊧: $A ⊧ φ$ означает, что формула φ верна в модели A
⊩: Вынуждающее отношение
≺: Элементарное вложение
⊥: Ложный символ; p ⊥ q означает, что p и q являются несовместимыми элементами частичного порядка
$0 #$: ноль диез , множество истинных формул о неразличимых и упорядоченно-неразличимых в конструируемой вселенной
$0 †$: нулевой кинжал , определенный набор истинных формул
⁠ ⁠ $\алеф$: Еврейская буква алеф , которая индексирует числа алеф или бесконечные кардиналы $ℵ α$
⁠ ⁠ $\бет$: Еврейская буква бет , которая индексирует числа бет $ב α$
$\гимел$: Форма с засечками еврейской буквы гимель , представляющая функцию гимель. $\gimel (\kappa)=\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }$
$ת$: Еврейская буква Тау , используемая Кантором для обозначения класса всех количественных числительных.

А

𝔞: Число почти непересекающихся множеств, наименьший размер максимального почти непересекающегося семейства бесконечных подмножеств ω
А: Операция Суслина
абсолютный: 1. Утверждение называется абсолютным , если его истинность в некоторой модели подразумевает его истинность в некоторых связанных моделях.; 2. Абсолют Кантора — несколько неясное понятие, иногда используемое для обозначения класса всех множеств.; 3. Абсолютная бесконечность Ω Кантора — это несколько неясное понятие, относящееся к классу всех ординалов.
АС: 1. AC — аксиома выбора; 2. AC _ω — аксиома счетного выбора
ОБЪЯВЛЕНИЕ: Аксиома определенности
добавлять
аддитивность: Аддитивность add( I ) множества I — это наименьшее число множеств I с объединением, не содержащимся в I.
аддитивно: Ординал называется аддитивно неразложимым , если он не является суммой конечного числа меньших ординалов. Они совпадают с гамма-числами или степенями ω.
допустимый: Допустимое множество — это модель теории множеств Крипке–Платека, а допустимое ординальное число — это ординальное число α, такое что L _α — допустимое множество.
АХ: Обобщенная континуальная гипотеза утверждает, что 2 ^{ℵ _α} = ℵ _α+1
алеф: 1. Еврейская буква ℵ; 2. Бесконечный кардинал; 3. Функция алеф, преобразующая порядковые числа в бесконечные кардинальные числа; 4. Гипотеза алеф является формой обобщенной континуум-гипотезы.
почти универсальный: Класс называется почти универсальным, если каждое его подмножество содержится в некотором его члене.
податливый: Аменабельное множество — это множество, которое является моделью теории множеств Крипке–Платека без аксиомы совокупности.
аналитический: Аналитическое множество — это непрерывное изображение польского пространства. (Это не то же самое, что аналитическое множество)
аналитический: Аналитическая иерархия — это иерархия подмножеств эффективного польского пространства (например, ω). Они определяются формулой второго порядка без параметров, а аналитическое множество — это множество в аналитической иерархии. (Это не то же самое, что аналитическое множество)
антицепь: Антицепь — это набор попарно несовместимых элементов частично упорядоченного множества .
антифундаментная аксиома: Аксиома теории множеств, допускающая существование не вполне обоснованных множеств, в отличие от традиционной аксиомы основания , которая запрещает такие множества.
антиномия: парадокс
арифметика: Порядковая арифметика — это арифметика порядковых чисел.; Количественная арифметика — это арифметика над количественными числами.
арифметический: Арифметическая иерархия — это иерархия подмножеств польского пространства, которая может быть определена формулами первого порядка.
Ароншайн: 1. Нахман Ароншайн; 2. Дерево Ароншайна — это несчетное дерево, такое что все ветви и уровни счетны. В более общем смысле κ- дерево Ароншайна — это дерево мощности κ, такое что все ветви и уровни имеют мощность меньше κ
атом: 1. Элемент-урэлемент , то, что не является множеством, но может быть элементом множества.; 2. Элемент частично упорядоченного множества, такой, что любые два элемента, меньшие его, совместимы.; 3. Множество положительной меры, такое, что каждое измеримое подмножество имеет одну и ту же меру или меру 0.
атомный: Атомная формула (в теории множеств) — это формула вида x = y или x ∈ y
аксиома: Антиаксиома Ацеля утверждает, что каждый доступный направленный граф соответствует уникальному множеству; AD+ Расширение аксиомы определенности; Аксиома F утверждает, что класс всех ординалов — это Мало; Аксиома присоединения Присоединение множества к другому множеству создает множество; Аксиома объединения Объединение всех элементов множества есть множество. То же, что аксиома объединения; Аксиома выбора Произведение любого множества непустых множеств непусто.; Аксиома сбора Это может означать как аксиому замены, так и аксиому разделения.; Аксиома понимания Класс всех множеств с заданным свойством является множеством. Обычно противоречиво.; Аксиома конструктивности. Любое множество конструктивно, часто обозначается как V = L.; Аксиома счетности Каждое множество наследственно счетно.; Аксиома счетного выбора Произведение счетного числа непустых множеств непусто.; Аксиома зависимого выбора Слабая форма аксиомы выбора; Аксиома детерминированности Некоторые игры детерминированы, другими словами, у одного игрока есть выигрышная стратегия.; Аксиома элементарных множеств описывает множества, состоящие из 0, 1 или 2 элементов.; Аксиома пустого множества. Пустое множество существует.; Аксиома экстенсиональности или аксиома протяженности; Аксиома конечного выбора Любое произведение непустых конечных множеств непусто.; Аксиома основания То же, что и аксиома регулярности; Аксиома глобального выбора Существует функция глобального выбора; Аксиома наследственности (любой элемент множества является множеством; используется в системе Аккермана).; Аксиома бесконечности Существует бесконечное множество; Аксиома ограничения размера Класс является множеством тогда и только тогда, когда он имеет меньшую мощность, чем класс всех множеств.; Аксиома спаривания Неупорядоченные пары множеств являются множествами; Аксиома множества степеней Множество степеней любого множества является множеством; Аксиома проективной определенности. Определенные игры, заданные проективным множеством, определены, другими словами, один игрок имеет выигрышную стратегию.; Аксиома реальной детерминированности Некоторые игры детерминированы, другими словами, у одного игрока есть выигрышная стратегия.; Аксиома регулярности Множества хорошо обоснованы; Аксиома замены Изображение множества под функцией есть множество. То же, что и аксиома замены; Аксиома подмножеств. Набор степеней множества — это множество. То же, что и аксиома наборов степеней.; Аксиома подстановки Изображение множества под функцией есть множество; Аксиома объединения Объединение всех элементов множества есть множество.; Схема аксиом предикативного разделения Аксиома разделения для формул, квантификаторы которых ограничены; Аксиоматическая схема замены Изображение множества под функцией есть множество; Аксиоматическая схема разделения Элементы множества с некоторым свойством образуют множество; Аксиоматическая схема спецификации Элементы множества с некоторым свойством образуют множество. То же, что и аксиоматическая схема разделения; Аксиома симметрии Фрейлинга эквивалентна отрицанию континуум-гипотезы; Аксиома Мартина очень грубо утверждает, что кардиналы, меньшие мощности континуума, ведут себя как ℵ ₀ .; Правильная аксиома принуждения является усилением аксиомы Мартина.

Б

𝔟: Ограничивающее число , наименьший размер неограниченного семейства последовательностей натуральных чисел.
Б: Булева алгебра
БА: Аксиома Баумгартнера — одна из трёх аксиом, введённых Баумгартнером.
БАХ: Аксиома Баумгартнера плюс гипотеза континуума.
Бэр: 1. Рене-Луи Бэр; 2. Подмножество топологического пространства обладает свойством Бэра , если оно отличается от открытого множества на разреженное множество; 3. Пространство Бэра — топологическое пространство, точками которого являются последовательности натуральных чисел.; 4. Пространство Бэра — это топологическое пространство, в котором каждое пересечение счетного набора открытых плотных множеств является плотным.
базовая теория множеств: 1. Наивная теория множеств; 2. Слабая теория множеств, заданная теорией множеств Крипке–Платека без аксиомы собирательности. Иногда также называется «элементарной теорией множеств». ^[1]
до нашей эры: кардинал Беркли
БД: Определенность Бореля
кардинал Беркли: Кардинал Беркли — это кардинал κ в модели ZF, такой что для каждого транзитивного множества M , включающего κ, существует нетривиальное элементарное вложение M в M с критической точкой ниже κ.
Бернейс: 1. Пол Бернейс; 2. Теория множеств Бернайса–Геделя — это теория множеств с классами
Парадокс Берри: Парадокс Берри рассматривает наименьшее положительное целое число, не определяемое десятью словами.
Бет: 1. Еврейская буква ב; 2. Бет число ב _α
Бет: Эверт Виллем Бет , как в Бет определимость
БГ: Теория множеств Бернайса–Гёделя без аксиомы выбора
БГК: Теория множеств Бернайса–Гёделя с аксиомой выбора
жирный шрифт: Иерархия жирного шрифта — это иерархия подмножеств польского пространства, определяемая формулами второго порядка с параметрами (в отличие от иерархии светлого шрифта, которая не допускает параметров). Она включает борелевские множества, аналитические множества и проективные множества
Булева алгебра: Булева алгебра — это коммутативное кольцо, все элементы которого удовлетворяют условию x ² = x
Борель: 1. Эмиль Борель; 2. Множество Бореля — это множество в наименьшей сигма-алгебре, содержащее открытые множества
ограничивающее число: Ограничивающее число — это наименьший размер неограниченного семейства последовательностей натуральных чисел.
БП: собственность Бэра
БС
БСТ: Базовая теория множеств
Бурали-Форти: 1. Чезаре Бурали-Форти; 2. Парадокс Бурали-Форти утверждает, что порядковые числительные не образуют множества.

С

с
𝔠: Мощность континуума
∁: Дополнение к набору
С: Множество Кантора
как: условие счетной антицепи (то же самое, что и условие счетной цепи)
Кантор: 1. Георг Кантор; 2. Нормальная форма Кантора ординала — это его разложение по основанию ω.; 3. Парадокс Кантора гласит, что множество, превосходящее множество, больше самого множества, что приводит к противоречию при применении к универсальному множеству.; 4. Множество Кантора , совершенное нигде не плотное подмножество действительной прямой; 5. Абсолютная бесконечность Кантора Ω имеет отношение к классу всех ординалов.; 6. Абсолют Кантора — несколько неясное понятие, иногда используемое для обозначения класса всех множеств.; 7. Теорема Кантора утверждает, что операция powerset увеличивает мощность множества
Карточка: Мощность множества
Декартово произведение: Множество всех упорядоченных пар, полученных из двух множеств, где каждая пара состоит из одного элемента из каждого множества.
кардинальный: 1. Количественное число — это порядковое число с большим количеством элементов, чем любое меньшее порядковое число.
мощность: Количество элементов множества
категорический: 1. Теория называется категоричной, если все модели изоморфны. Это определение больше не используется, поскольку теории первого порядка с бесконечными моделями никогда не бывают категоричными.; 2. Теория называется k-категоричной, если все модели мощности κ изоморфны
категория: 1. Множество первой категории — это то же самое, что и разреженное множество : множество, которое является объединением счетного числа нигде не плотных множеств, а множество второй категории — это множество, которое не принадлежит первой категории.; 2. Категория в смысле теории категорий .
ссс: счетное цепное условие
ср: Конфинальность порядкового числа
Ч.: Гипотеза континуума
цепь: Линейно упорядоченное подмножество (частично упорядоченного множества)
характеристическая функция: Функция, указывающая принадлежность элемента к набору, принимающая значение 1, если элемент входит в набор, и 0 в противном случае.
функция выбора: Функция, которая, имея набор непустых множеств, присваивает каждому множеству элемент из этого множества. Фундаментальная в формулировке аксиомы выбора в теории множеств.
выбор отрицания: В логике — операция, которая отрицает принципы, лежащие в основе аксиомы выбора, исследуя альтернативные теории множеств, в которых аксиома не выполняется.
выбор набора: Множество, построенное из коллекции непустых множеств путем выбора одного элемента из каждого множества, связанное с понятием функции выбора.
кл: Сокращение для «замыкания» (множества под некоторым набором операций)
сорт: 1. Класс — это совокупность множеств; 2. Ординалы первого класса — это конечные ординалы, а ординалы второго класса — счетные бесконечные ординалы.
схема понимания класса: Принцип теории множеств, позволяющий формировать классы на основе свойств или условий, которым удовлетворяют их члены.
клуб: Сокращение от «закрытый неограниченный»; 1. Клубное множество — это замкнутое неограниченное подмножество, часто порядкового; 2. Фильтр клуба — это фильтр всех подмножеств, содержащих набор клуба.; 3. Трефовая масть — комбинаторный принцип, аналогичный принципу алмаза, но более слабый.
коаналитический: Коаналитическое множество является дополнением аналитического множества.
софинал: Подмножество частично упорядоченного множества называется конфинальным , если каждый элемент частично упорядоченного множества является не более чем некоторым элементом подмножества.
коф: софинальность
софинальность: 1. Конфинальность частично упорядоченного множества (особенно порядкового или кардинального) — это наименьшая мощность конфинального подмножества.; 2. Конфинальность cof( I ) идеала I подмножеств множества X — это наименьшая мощность подмножества B множества I, такая, что каждый элемент I является подмножеством чего-либо из B .
кофинитный: Относится к множеству, дополнение которого в большем множестве конечно; часто используется в обсуждениях топологии и теории множеств.
Коэн: 1. Пол Коэн; 2. Метод Коэна для построения моделей ZFC.; 3. Алгебра Коэна — это булева алгебра, пополнение которой свободно.
Кол
коллапсирующая алгебра: Коллапсирующая алгебра Col(κ,λ) коллапсирует кардиналы между λ и κ
комбинаторная теория множеств: Раздел теории множеств, занимающийся изучением комбинаторных свойств множеств и их влияния на структуру математической вселенной.
компактный кардинал: Кардинальное число, которое не поддается счету и обладает тем свойством, что любая совокупность множеств данной мощности имеет подсовокупность той же мощности с непустым пересечением.
дополнение (множества): Множество, содержащее все элементы, не входящие в данное множество, в рамках большего множества, рассматриваемого как вселенная.
полный: 1. «Полный набор» — это старый термин для «транзитивного набора».; 2. Теория называется полной , если она присваивает истинностное значение (истина или ложь) каждому утверждению своего языка.; 3. Идеал называется κ-полным, если он замкнут относительно объединения менее κ элементов.; 4. Мера называется κ-полной, если объединение множеств меры 0, меньших κ, имеет меру 0.; 5. Линейный порядок называется полным, если каждое непустое ограниченное подмножество имеет наименьшую верхнюю границу
Кон: Con( T ) для теории T означает, что T является непротиворечивым
лемма о конденсации: Лемма Гёделя о конденсации гласит, что элементарная подмодель элемента L _α конструируемой иерархии изоморфна элементу L _γ конструируемой иерархии.
конструктивный: Множество называется конструируемым, если оно находится в конструируемой вселенной .
континуум: Континуум — это действительная линия или ее мощность .
гипотеза континуума: Гипотеза теории множеств о том, что не существует множества, мощность которого строго находится между мощностью целых и действительных чисел.
континуум много: Неформальный способ сказать, что множество имеет мощность континуума, размер множества действительных чисел.
проблема континуума: Проблема определения возможных мощностей бесконечных множеств, включая вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза.
основной: Основная модель — это особый вид внутренней модели, обобщающей конструируемую вселенную.
исчисляемый: Множество является счетным, если оно конечно или если его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами.
счетное антицепное условие: Термин, используемый для обозначения счетного цепного состояния авторами, которые считают, что терминология должна быть логичной.
исчисляемый кардинальный: Кардинальное число, представляющее размер счетного множества, обычно мощность множества натуральных чисел.
счетное цепное условие: Условие счетной цепи (ccc) для частично упорядоченного множества гласит, что каждая антицепь счетна.
исчисляемый порядковый: Порядковое число, представляющее тип порядка вполне упорядоченного множества, которое является счетным, включая все конечные порядковые числа и первое бесконечное порядковое число . $\омега$
счетно бесконечно: Множество, имеющее ту же мощность, что и множество натуральных чисел, то есть его элементы можно перечислять в бесконечной последовательности.
cov( Я )
покрывающий номер: Число покрытия cov( I ) идеала I подмножеств X — это наименьшее число множеств в I, объединение которых равно X .
критический: 1. Критическая точка κ элементарного вложения j — это наименьшее ординальное число κ с условием j (κ) > κ.; 2. Критическое число функции j — это ординал κ, где j (κ) = κ. Это почти противоположно первому значению.
ЭЛТ: Критическая точка чего-либо.
СТМ: Счетная транзитивная модель
кумулятивная иерархия: Кумулятивная иерархия — это последовательность множеств, индексированных порядковыми числами, которая удовлетворяет определенным условиям и объединение которых используется в качестве модели теории множеств.

Д

𝔡: Доминирующее число частично упорядоченного множества
округ Колумбия: Аксиома зависимого выбора
Дедекинд: 1. Ричард Дедекинд; 2. Дедекиндово-бесконечное множество — это множество, которое можно поставить в однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, указывающее тип бесконечности; дедекиндово-конечное множество — это множество, которое не является дедекиндово-бесконечным. (Они также пишутся без дефиса, как «Дедекиндово конечное» и «Дедекиндово бесконечное».)
определение: Множество определяемых подмножеств множества
определяемый: Подмножество множества называется определимым множеством, если оно представляет собой совокупность элементов, удовлетворяющих предложению на некотором заданном языке.
дельта: 1. Дельта-число — это порядковое число вида ω ^{ω ^α}; 2. Дельта-система , также называемая подсолнухом, представляет собой набор множеств, такой что любые два различных множества имеют пересечение X для некоторого фиксированного множества X.
счетный: исчислимое и бесконечное
зависимый выбор: См. Аксиому зависимого выбора.
определенность: См . Аксиому экстенсиональности.
Дф: Множество определяемых подмножеств множества
диагональный аргумент: Диагональный аргумент Кантора
диагонализация: Метод, используемый в теории множеств и логике для построения множества или последовательности, не входящей в заданную коллекцию, путем обеспечения ее отличия от каждого члена коллекции по крайней мере одним элементом.
диагональное пересечение: Если — последовательность подмножеств ординала , то диагональное пересечение равно $\displaystyle \langle X_ {\alpha } \mid \alpha <\delta \rangle$ $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \Дельта _{\альфа <\дельта }X_{\альфа },$ $\displaystyle \{\бета <\дельта \мид \бета \в \bigcap _{\альфа <\бета }X_{\альфа }\}.$
принцип алмаза: Алмазный принцип Йенсена утверждает, что существуют множества A _α ⊆α для α < ω ₁ такие, что для любого подмножества A из ω ₁ множество α с A ∩ α = A _α является стационарным в ω ₁ .
дискретный: Свойство множества или пространства, состоящее из отдельных, отдельных элементов или точек, не имеющих промежуточных значений.
непересекающийся: Относится к множествам, не имеющим общих элементов, т. е. их пересечение пусто.
дом: Область определения функции
летнее время: Описательная теория множеств

Э

Э: E ( X ) — отношение принадлежности множества X
Теорема Истона: Теорема Истона описывает возможное поведение функции powerset на регулярных кардиналах.
ЕСТ: Утверждение «каждое дерево Ароншайна особенное»
эффективно разрешимое множество: Множество, для которого существует алгоритм, позволяющий определить для любого заданного элемента, принадлежит ли он множеству.
эффективно перечислимое множество: Множество, члены которого могут быть перечислены или пронумерованы с помощью некоторого алгоритма, даже если список потенциально бесконечен.
элемент: Отдельный объект или член множества.
элементарный: Элементарное вложение — это функция, сохраняющая все свойства, описываемые на языке теории множеств.
пустой набор: Уникальный набор, не содержащий ни одного элемента, обозначается как . $\emptyset$
аксиома пустого множества: См. Аксиому пустого множества .
перечислимое множество: Множество, элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, что делает его счетным.
перечисление: Процесс перечисления или подсчета элементов в наборе, особенно для счетных наборов.
эпсилон: 1. Эпсилон-число — это порядковое число α, такое что α=ω ^α.; 2. Эпсилон ноль (ε ₀ ) — наименьшее число эпсилон
равновеликий: Имеющий одинаковое кардинальное число или количество элементов, используется для описания двух множеств, которые можно поставить во взаимно-однозначное соответствие.
равноценный: Синоним слова equinumerous
класс эквивалентности: Подмножество внутри множества, определяемое отношением эквивалентности, где каждый элемент подмножества эквивалентен друг другу в рамках этого отношения.
Эрдос
Эрдёш: 1. Пол Эрдёш; 2. Кардинал Эрдёша — это большой кардинал, удовлетворяющий определенному условию разбиения. (Их также называют кардиналами разбиения.); 3. Теорема Эрдеша–Радо распространяет теорему Рамсея на бесконечные кардиналы.
эфирный кардинал: Эфирный кардинал — это тип большого кардинала, схожий по силе с тонкими кардиналами.
Диаграмма Эйлера: 1. Графическое представление логических отношений между множествами с использованием перекрывающихся кругов для иллюстрации пересечений, объединений и дополнений множеств.
удлинитель: Расширитель — это система ультрафильтров, кодирующих элементарное внедрение .
расширяемый кардинальный: Кардинал κ называется расширяемым , если для всех η существует нетривиальное элементарное вложение V _κ+η в некоторое V _λ с критической точкой κ
расширение: 1. Если R — отношение на классе, то расширением элемента y является класс x, такой что xRy; 2. Расширение модели — это более крупная модель, содержащая ее.
экстенсиональный: 1. Отношение R на классе называется экстенсиональным, если каждый элемент y класса определяется его экстенсионалом.; 2. Класс называется экстенсиональным, если отношение ∈ на классе является экстенсиональным

Ф

Ф: F _σ — это объединение счетного числа замкнутых множеств
Порядковый номер Фефермана–Шютте: Ординал Фефермана –Шютте Γ ₀ в некотором смысле является наименьшим непредикативным ординалом
фильтр: Фильтр — это непустое подмножество частично упорядоченного множества, направленное вниз и замкнутое вверх .
свойство конечного пересечения
ФИП: Свойство конечного пересечения , сокращенно FIP, гласит, что пересечение любого конечного числа элементов множества непусто.
первый: 1. Множество первой категории — это то же самое, что и разреженное множество: множество, представляющее собой объединение счетного числа нигде не плотных множеств.; 2. Ординал первого класса — это конечный ординал.; 3. Порядковый номер первого рода — это порядковый номер-последователь.; 4. Логика первого порядка допускает квантификацию элементов модели, но не подмножеств.
Фодор: 1. Геза Фодор; 2. Лемма Фодора утверждает, что регрессивная функция на регулярном несчетном кардинале постоянна на стационарном подмножестве.
принуждение: Форсинг (математика) — это метод присоединения общего фильтра G частично упорядоченного множества P к модели теории множеств M для получения новой модели M [ G ]
формула: Что-то образованное из атомарных формул x = y , x ∈ y с использованием ∀∃∧∨¬
аксиома основания: См. Аксиому основания.
Френкель: Авраам Френкель

Г

𝖌: Число групповой плотности
Г: 1. Обычный ультрафильтр; 2. A G _δ — счетное пересечение открытых множеств
гамма-число: Гамма -число — это порядковое число вида ω ^α
ГЧ: Обобщенная гипотеза континуума
обобщенная гипотеза континуума: Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что 2 ^{א _α} = א _α+1
общий: 1. Общий фильтр частично упорядоченного множества P — это фильтр, который пересекает все плотные подмножества P , содержащиеся в некоторой модели M.; 2. Обобщенное расширение модели M — это модель M [ G ] для некоторого обобщенного фильтра G .
гимел: 1. Еврейская буква гимель $\гимел$; 2. Функция гимела $\gimel (\kappa)=\kappa ^{{\text{cf}}(\kappa)}$; 3. Гипотеза Гимела утверждает, что $\gimel (\kappa)=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa)},\kappa ^{+})$
глобальный выбор: Аксиома глобального выбора гласит, что существует хорошее упорядочение класса всех множеств.
глобальный порядок: Другое название аксиомы глобального выбора
наибольшая нижняя граница: Наибольшее значение, служащее нижней границей для набора в частично упорядоченном наборе, также известное как инфимум.
Гёдель
Гёдель: 1. Курт Гёдель; 2. Число Гёделя — это число, присвоенное формуле.; 3. Вселенная Гёделя — это другое название конструируемой вселенной.; 4. Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что достаточно мощные непротиворечивые рекурсивно перечислимые теории не могут быть полными.; 5. Теорема Гёделя о полноте утверждает, что непротиворечивые теории первого порядка имеют модели

ЧАС

𝔥: Число дистрибутивности
ЧАС: Сокращение от «наследственно»
H _к
Н (κ): Множество множеств, которые наследственно имеют мощность меньше κ
Хартогс: 1. Фридрих Хартогс; 2. Число Хартогса множества X — это наименьшее порядковое число α , такое, что не существует инъекции из α в X.
Хаусдорф: 1. Феликс Хаусдорф; 2. Разрыв Хаусдорфа — это разрыв в упорядоченном наборе темпов роста последовательностей целых чисел или в подобном упорядоченном наборе.
ХК: Множество наследственно счетных множеств
наследственно: Если P — свойство, то множество является наследственно P , если все элементы его транзитивного замыкания обладают свойством P. Примеры: Наследственно счетное множество Наследственно конечное множество
Хессенберг: 1. Герхард Хессенберг; 2. Сумма Хессенберга и произведение Хессенберга являются коммутативными операциями над ординалами.
ВЧ: Множество наследственно конечных множеств
Гильберт: 1. Дэвид Гилберт; 2. Парадокс Гильберта гласит, что отель с бесконечным числом номеров может разместить дополнительных гостей, даже если он заполнен.
ГС: Класс наследственно симметричных множеств
ХОД: Класс наследственно порядковых определимых множеств
огромный кардинал: 1. Огромный кардинал — это кардинальное число κ такое, что существует элементарное вложение j : V → M с критической точкой κ из V в транзитивную внутреннюю модель M, содержащую все последовательности длины j (κ), элементы которых принадлежат M.; 2. ω-огромный кардинал — это большой кардинал, связанный с аксиомой $I 1$ ранг-в-ранг
гиперарифметический: Гиперарифметическое множество — это подмножество натуральных чисел, заданное трансфинитным расширением понятия арифметического множества.
гипернедоступный
гипернедоступный: 1. «Гипернедоступный кардинал» обычно означает 1-недоступный кардинал.; 2. «Гипернедоступный кардинал» иногда означает кардинал κ, который является κ-недоступным кардиналом.; 3. «Гипернедоступный кардинал» иногда означает кардинал Мало
гипер-Махло: Гипер -Мало кардинал — это кардинал κ, который является κ-Мало кардиналом.
гиперсет: Множество, которое может содержать само себя в качестве члена или определяется в терминах циклической или самореферентной структуры, используемой при изучении необоснованных теорий множеств .
гипервселенная: Гипервселенная — это множество счетных транзитивных моделей ZFC.

я

𝔦: Независимое число
И0, И1, И2, И3: Большие кардинальные аксиомы ранга -в-ранге
идеальный: Идеал в смысле теории колец , обычно булевой алгебры , особенно булевой алгебры подмножеств множества.
если да: если и только если
ненадлежащий
недоступный кардинал: (Слабо или сильно) недоступный кардинал — это регулярный несчетный кардинал, который является (слабым или сильным) пределом.
неразложимый ординал: Неразложимый ординал — это ненулевой ординал, который не является суммой двух меньших ординалов, или, что эквивалентно, ординал вида ω ^α или гамма-число .
число независимости: Число независимости 𝔦 — это наименьшая возможная мощность максимального независимого семейства подмножеств счетного бесконечного множества.
неописуемый кардинал: Неописуемое кардиналическое числительное — это тип большого кардинала, который невозможно описать в терминах меньших порядковых числительных, используя определенный язык.
индивидуальный: Что-то без элементов, либо пустое множество, либо урэлемент , либо атом
неразличимый: Множество неразличимых — это множество I ординалов, такое, что две возрастающие конечные последовательности элементов I имеют одинаковые свойства первого порядка.
индуктивный: 1. Индуктивный набор — это набор, который может быть получен из базового набора путем многократного применения определенной операции, например, набор натуральных чисел, полученный из числа 0 с помощью последующей операции.; 2. Индуктивное определение — это определение, которое указывает, как построить элементы множества на основе элементов, о которых уже известно, что они находятся в этом множестве, часто используется для определения рекурсивно определенных последовательностей, функций и структур.; 3. Посет называется индуктивным, если каждое непустое упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу
аксиома бесконечности: См. Аксиому бесконечности .
внутренняя модель: Модель теории множеств, построенная в рамках теории множеств Цермело-Френкеля и содержащая все порядковые числа вселенной, служащая для исследования свойств более крупных теоретико-множественных вселенных с ограниченной точки зрения.
невыразимый кардинал: Невыразимый кардинал — это тип большого кардинала, относящегося к обобщенной гипотезе Курепы, сила согласованности которого лежит между силой непротиворечивости тонких кардиналов и силой непротиворечивости замечательных кардиналов.
внутренняя модель: Внутренняя модель — это транзитивная модель ZF, содержащая все ординалы.
Инт: Внутренность подмножества топологического пространства
целые числа: Множество целых чисел, включая положительные, отрицательные и ноль, обозначается . $\mathbb {Z}$
внутренний: Архаичный термин для обозначения экстенсионального (отношения)
пересечение: Множество, содержащее все элементы, которые являются членами двух или более множеств, обозначается для множеств и . $A\cap B$ $А$ $Б$
итеративная концепция множества: Философское и математическое представление о том, что множества формируются путем итеративного объединения объектов в новый объект — множество, которое затем может быть включено в другие множества.

Дж.

дж: Элементарное вложение
Дж.: Уровни иерархии Дженсена
Йенсен: 1. Рональд Дженсен; 2. Иерархия Дженсена — это разновидность конструируемой иерархии.; 3. Теорема Йенсена о покрытии утверждает, что если 0 ^# не существует, то каждое несчетное множество ординалов содержится в конструируемом множестве той же мощности.
присоединиться: В логике и математике, особенно в теории решеток, объединение множества элементов — это точная верхняя граница или супремум этих элементов, представляющий их объединение в контексте операций над множествами или наименьший элемент, который больше или равен каждому из них в частичном порядке.
Йонссон: 1. Бьярни Йонссон; 2. Кардинал Йонссона — это большой кардинал, такой что для каждой функции f : [κ] ^<ω → κ существует множество H типа порядка κ, такое что для каждого n , f, ограниченное подмножествами H из n элементов, пропускает по крайней мере одно значение в κ.; 3. Функция Йонссона — это функция , обладающая тем свойством, что для любого подмножества y множества x с той же мощностью , что и x , ограничение на имеет образ . $f:[x]^{\omega }\to x$ $f$ $[y]^{\omega }$ $x$

К

Келли: 1. Джон Л. Келли; 2. Теория множеств Морса–Келли (также называемая теорией множеств Келли–Морса), теория множеств с классами
КХ: Гипотеза Курепы
добрый: Ординалы первого рода являются порядковыми числами-последователями, а порядковые числа второго рода являются предельными порядковыми числами или 0.
КМ: Теория множеств Морса–Келли
Упорядочение Клини–Брауэра: Порядок Клини –Брауэра — это полный порядок на конечных последовательностях ординалов
Иерархия Клини: Классификация множеств натуральных чисел или строк, основанная на сложности определяющих их предикатов, с использованием арифметической иерархии Клини в теории рекурсии.
Лемма Кёнига: Результат в теории графов и комбинаторике, утверждающий, что каждое бесконечное, конечно ветвящееся дерево имеет бесконечный путь, используемый в доказательствах различных математических и логических теорем. Он эквивалентен аксиоме зависимого выбора .
Парадокс Кёнига: Парадокс в теории множеств и комбинаторике, возникающий из-за неверных предположений о бесконечных множествах и их мощностях, связанный с теоремой Кёнига о суммах и произведениях кардиналов.
КП: Теория множеств Крипке–Платека
Крипке: 1. Сол Крипке; 2. Теория множеств Крипке–Платека состоит примерно из предикативных частей теории множеств.
Куратовский: 1. Казимеж Куратовский; 2. Упорядоченная пара Куратовского — это определение упорядоченной пары , использующее только концепции теории множеств, в частности, упорядоченная пара (a, b) определяется как множество {{a}, {a, b}}.; 3. « Лемма Куратовского-Цорна » — альтернативное название леммы Цорна.
Курепа: 1. Джуро Курепа; 2. Гипотеза Курепа утверждает, что деревья Курепа существуют.; 3. Дерево Курепа — это дерево ( T , <) высоты , каждый из уровней которого счетен, с по крайней мере ветвями $\омега _{1}$ $\алеф _{2}$

Л

Л: 1. L — это конструируемая вселенная , а L _α — это иерархия конструируемых множеств.; 2. L _κλ — бесконечный язык
большой кардинал: 1. Большой кардинал — это тип кардинала, существование которого не может быть доказано в ZFC.; 2. Большой кардинал — это большой кардинал, который не совместим с аксиомой V = L.
решетка: Частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют уникальный супремум (наименьшую верхнюю границу) и инфимум (наибольшую нижнюю границу), используемое в различных областях математики и логики.
Лавр: 1. Ричард Лейвер; 2. Функция Лэйвера — это функция, связанная с суперкомпактными кардиналами, которая переводит ординалы в множества.
наименьшая верхняя граница: Наименьший элемент в частично упорядоченном множестве, который больше или равен каждому элементу в подмножестве этого множества, также известный как супремум.
Лебег: 1. Анри Лебег; 2. Мера Лебега — это полная трансляционно-инвариантная мера на действительной прямой.
ЛЕМ: Закон исключенного третьего
Леви: 1. Азриэль Леви; 2. Крах Леви — это способ уничтожить кардиналов; 3. Иерархия Леви классифицирует формулы по числу чередований неограниченных кванторов
светлолицый: Классы lightface представляют собой наборы подмножеств эффективного польского пространства, определяемого формулами второго порядка без параметров (в отличие от иерархии boldface, которая допускает параметры). Они включают арифметические, гиперарифметические и аналитические множества
предел: 1. (Слабый) предельный кардинал — это кардинал, обычно считающийся ненулевым, который не является последователем κ ⁺ другого кардинала κ; 2. Сильный предельный кардинал — это кардинал, обычно считающийся ненулевым, больший, чем множество любого меньшего кардинала.; 3. Предельный ординал — это ординал, обычно считающийся ненулевым, который не является последователем α+1 другого ординала α.
концепция ограничения размера множества: Концепция, которая определяет множества таким образом, чтобы избежать некоторых парадоксов, исключая совокупности, которые слишком велики, чтобы быть множествами.
ограниченный: Ограниченный квантификатор — это то же самое, что и ограниченный квантификатор.
ЛМ: мера Лебега
местный: Свойство множества x называется локальным, если оно имеет вид ∃δ V _δ ⊧ φ( x ) для некоторой формулы φ
МНОГО: Линейно упорядоченное топологическое пространство
Лёвенхайм: 1. Леопольд Лёвенгейм; 2. Теорема Лёвенгейма–Скулема утверждает, что если теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет модель любой заданной бесконечной мощности.
нижняя граница: Элемент частично упорядоченного множества, который меньше или равен каждому элементу заданного подмножества множества, обеспечивая минимальный стандарт или предел для сравнения.
ЛСТ: Язык теории множеств (с одним бинарным отношением ∈)

М

м: 1. Мера; 2. Натуральное число
𝔪: Наименьший кардинал, при котором аксиома Мартина не выполняется
М: 1. Модель теории множеств ZF; 2. M _α — старый символ для уровня L _α конструируемой вселенной.
МА: Аксиома Мартина
БЕЗУМНЫЙ: Максимально почти непересекающиеся
Мак Лейн: 1. Сондерс Мак Лейн; 2. Теория множеств Маклейна — это теория множеств Цермело с аксиомой разделения, ограниченной формулами с ограниченными кванторами.
Мало: 1. Пол Мало; 2. Кардинал Мало — это недоступный кардинал, такой что множество недоступных кардиналов, меньших его, является стационарным.
Мартин: 1. Дональд А. Мартин; 2. Аксиома Мартина для кардинала κ утверждает, что для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепи, и любого семейства D плотных множеств в P мощности не более κ существует фильтр F на P такой, что F ∩ d непусто для каждого d из D; 3. Максимум Мартина утверждает, что если D представляет собой совокупность плотных подмножеств понятия принуждения, сохраняющую стационарные подмножества ω ₁ , то существует D -генерический фильтр $\алеф _{1}$
скудный
скудный: Тощий набор — это набор, который является объединением счетного числа нигде не плотных наборов. Также называется набором первой категории.
мера: 1. Мера на σ-алгебре подмножеств множества; 2. Вероятностная мера на алгебре всех подмножеств некоторого множества; 3. Мера на алгебре всех подмножеств множества, принимающая значения 0 и 1.
измеримый кардинал: Измеримый кардинал — это кардинальное число κ, такое, что существует κ-аддитивная, нетривиальная, 0-1-значная мера на множестве мощности κ. Большинство (но не все) авторов добавляют условие, что оно должно быть несчетным
встретиться: В теории решеток — операция, объединяющая два элемента для получения их точной нижней границы, аналогичная пересечению в теории множеств.
член: Отдельный элемент набора .
членство: Отношение между элементом и множеством, при котором элемент включен в множество.
мыши: Множественное число слова мышь
Парадокс Милнера–Радо: Парадокс Милнера –Радо утверждает, что каждое порядковое число α, меньшее, чем последующее число κ ⁺ некоторого кардинального числа κ, может быть записано в виде объединения множеств X1,X2,..., где Xn имеет тип порядка не более κ ⁿ для n положительного целого числа.
МК: Теория множеств Морса–Келли
ММ: Максимум Мартина
болото: Болото — это дерево с порядковыми номерами, связанными с узлами, и некоторой дополнительной структурой, удовлетворяющей некоторым довольно сложным аксиомам.
Морзе: 1. Энтони Морс; 2. Теория множеств Морса–Келли , теория множеств с классами
Мостовский: 1. Анджей Мостовский; 2. Коллапс Мостовского — это транзитивный класс, связанный с хорошо обоснованным экстенсиональным отношением типа множества.
мышь: Определенный тип структуры, используемый при построении основных моделей; см. мышь (теория множеств)
аксиома мультипликативности: Старое название аксиомы выбора.
мультисет: Обобщение множества, допускающее многократное появление его элементов, часто используемое в математике и информатике для моделирования коллекций с повторениями.

Н

Н: 1. Множество натуральных чисел; 2. Пространство Бэра ω ^ω
наивная схема понимания: Неограниченный принцип в теории множеств, позволяющий формировать множества на основе любого свойства или условия, что приводит к парадоксам, таким как парадокс Рассела в наивной теории множеств.
наивная теория множеств: 1. Наивная теория множеств может означать теорию множеств, разработанную нестрогим образом без аксиом.; 2. Наивная теория множеств может означать противоречивую теорию с аксиомами экстенсиональности и понимания.; 3. «Наивная теория множеств» — вводная книга по теории множеств, написанная Халмошем.
естественный: Натуральная сумма и натуральное произведение ординалов — это сумма и произведение Хессенберга.
НКФ: Почти когерентность фильтров
теория отсутствия классов: Теория, созданная Бертраном Расселом и использованная в его Principia Mathematica , согласно которой множества могут быть сведены к определенным видам пропозициональных функциональных формул. (Во времена Рассела различие между «классом» и «множеством» еще не было разработано, и Рассел использовал слово «класс» в своих работах, поэтому название «теория без класса» или «без классов» сохранилось по этой исторической причине, хотя теория относится к тому, что сейчас называется множествами.) ^[2]
не: non( I ) — однородность I , наименьшая мощность подмножества X, не входящего в идеал I подмножеств X
нестатистический
нестационарный: 1. Подмножество ординала называется нестационарным, если оно не является стационарным, другими словами, если его дополнение содержит клубное множество; 2. Нестационарный идеал I _NS — это идеал нестационарных множеств
нормальный: 1. Нормальная функция — это непрерывная строго возрастающая функция от ординалов к ординалам.; 2. Нормальный фильтр или нормальная мера на ординале — это фильтр или мера, замкнутая относительно диагональных пересечений.; 3. Нормальная форма Кантора ординала — это его разложение по основанию ω.
НС: Нестационарный
нулевой: Немецкое обозначение нуля, иногда используется в таких терминах, как «алеф ноль» (алеф ноль) или «нулевой набор» (пустой набор)
числовой класс: Первый числовой класс состоит из конечных порядковых чисел, а второй числовой класс состоит из счетных порядковых чисел.

О

ОСА: Аксиома открытой раскраски
ОД: Порядковые определимые множества
Омега логика: Ω-логика — форма логики, введенная Хью Вудином.
На: Класс всех ординалов
тип заказа: Концепция в теории множеств и логике, которая классифицирует хорошо упорядоченные множества по их структуре таким образом, что два множества имеют одинаковый тип порядка, если между ними существует биективная функция, сохраняющая порядок.
порядковый: 1. Ординал — это тип порядка хорошо упорядоченного множества, обычно представленный ординалом фон Неймана , транзитивным множеством, хорошо упорядоченным относительно ∈.; 2. Порядковое определимое множество — это множество, которое можно определить с помощью формулы первого порядка с порядковыми числами в качестве параметров.
от: Сокращение для «тип заказа»

П

𝔭: Число псевдопересечения — наименьшая мощность семейства бесконечных подмножеств ω, обладающего сильным свойством конечного пересечения , но не имеющего бесконечного псевдопересечения .
П: 1. Функция powerset; 2. Посет
функция сопряжения: Функция спаривания — это биекция из X × X в X для некоторого множества X.
попарно непересекающиеся: Свойство коллекции множеств, при котором каждая пара множеств в коллекции не имеет общих элементов.
пантачи
пантачи: Пантахия — это максимальная цепь частично упорядоченного множества .
парадокс: 1. Парадокс Берри; 2. Парадокс Бурали-Форти; 3. Парадокс Кантора; 4. Парадокс Гильберта; 5. Парадокс Кёнига; 6. Парадокс Милнера–Радо; 7. Парадокс Ричарда; 8. Парадокс Рассела; 9. Парадокс Скулема
парадокс обозначения: Парадокс, который использует определенные описания существенным образом, например , парадокс Берри , парадокс Кёнига и парадокс Ричарда . ^[3]
частичный заказ: Транзитивное антисимметричное или транзитивное симметричное отношение на множестве; см. частично упорядоченное множество .
раздел: Разделение множества на непересекающиеся подмножества, объединение которых представляет собой всё множество, при этом ни один элемент не исключается.
раздел кардинальный: Альтернативное имя кардинала Эрдеша.
ФКП: Сокращение для «возможных конфинальностей», используемое в теории PCF
ПД: Аксиома проективной определенности
идеальный набор: Совершенное множество — это подмножество топологического множества, равное его производному множеству.
перестановка: Перестановка элементов набора или последовательности, при которой структура набора изменяется, но элементы остаются неизменными.
модель перестановки: Модель перестановки ZFA строится с использованием группы
ПФА: Правильная аксиома принуждения
ПМ: Гипотеза о том, что все проективные подмножества действительных чисел измеримы по Лебегу
по: Сокращение для «частичного порядка» или «частичного упорядочения».
посет: Множество с частичным порядком
теория положительных множеств: Вариант теории множеств, включающий универсальное множество и, возможно, другие нестандартные аксиомы, фокусирующийся на том, что можно сконструировать или определить положительно.
Польское пространство: Польское пространство — это сепарабельное топологическое пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству.
пух: Сокращение для «power (set)»
власть: «Мощность» — устаревший термин, обозначающий мощность.
набор мощности
набор мощности: Множество элементов множества — это множество всех его подмножеств.
предварительный заказ: Отношение, которое является рефлексивным и транзитивным, но не обязательно антисимметричным, позволяющее сравнивать элементы в наборе.
примитивно рекурсивный набор: Множество, характеристическая функция которого является примитивной рекурсивной функцией, указывающей, что принадлежность к множеству может быть определена с помощью вычислимого процесса.
проективный: 1. Проективное множество — это множество, которое можно получить из аналитического множества путем многократного взятия дополнений и проекций.; 2. Проективная определенность — аксиома, утверждающая, что проективные множества определены
правильный: 1. Правильный класс — это класс, который не является множеством.; 2. Собственное подмножество множества X — это подмножество, не равное X.; 3. Собственное принуждение — это понятие принуждения, которое не разрушает никакое стационарное множество.; 4. Аксиома правильного принуждения утверждает, что если P является правильным и D _α является плотным подмножеством P для каждого α < ω ₁ , то существует фильтр G P такой, что D _α ∩ G непусто для всех α < ω _{1 .} $\subseteq$
ПСП: Идеальное свойство подмножества

чистый набор

Термин для наследственных множеств , то есть множеств, элементами которых являются только другие множества, то есть не имеющих никаких праэлементов .

чистая теория множеств

Теория множеств, которая имеет дело только с чистыми множествами, также известными как наследственные множества.

В

В: (Упорядоченный набор) рациональных чисел
КПД: Квазипроективная определенность
квантификатор: ∀ или ∃
Квазипроективная определенность: Все наборы действительных чисел в L ( R ) определены

Р

𝔯: Неделимое число
Р: 1. R _α — альтернативное название уровня V _α иерархии фон Неймана .; 2. Множество действительных чисел , обычно стилизованное под $\mathbb {R}$
Рэмси: 1. Фрэнк П. Рэмси; 2. Кардинал Рамсея — это большой кардинал, удовлетворяющий определенному условию разбиения.
побежал: Диапазон функции
классифицировать: 1. Ранг множества — это наименьшее порядковое число, большее рангов его элементов.; 2. Ранг V _α — это совокупность всех множеств ранга меньше α для порядкового числа α.; 3. ранг-в-ранг — это тип большого кардинала (аксиома)
рекурсивный набор: Множество, принадлежность к которому может быть определена с помощью рекурсивной процедуры или алгоритма, также известное как разрешимое или вычислимое множество .
рекурсивно перечислимое множество: Множество, для которого существует машина Тьюринга, которая перечислит все элементы множества, возможно, без остановки, если множество бесконечно; также называется «полуразрешимым множеством» или «множеством, распознаваемым по Тьюрингу».
отражающий кардинал: Отражающий кардинал — это тип большого кардинала, сила которого лежит между слабой компактностью и Мало.
принцип отражения: Принцип отражения утверждает, что существует множество, в некотором роде похожее на вселенную всех множеств.
регрессивный: Функция f из подмножества ординала в ординал называется регрессивной, если f (α) < α для всех α в ее области определения.
обычный: Правильный кардинал — это число, равное своей собственной конфинальности; правильный ординал — это предельное ординал , равное своей собственной конфинальности.
Рейнхардт кардинал: Кардинал Рейнхардта — это кардинал в модели V ZF, который является критической точкой элементарного вложения V в себя.
связь: Множество или класс, элементы которого представляют собой упорядоченные пары.
относительное дополнение: Набор элементов, которые входят в один набор, но не входят в другой, часто обозначается как для наборов и . $A\setminus B$ $А$ $Б$
Ричард: 1. Жюль Ришар; 2. Парадокс Ричарда рассматривает действительное число, n- я двоичная цифра которого противоположна n- й цифре n -го определяемого действительного числа.
РО: Регулярные открытые множества топологического пространства или частично упорядоченного множества
Ровнобок: 1. Фредерик Роуботтом; 2. Кардинал Rowbottom — это большой кардинал, удовлетворяющий определенному условию разбиения.
руд: Элементарное замыкание множества
рудиментарный: Элементарная функция — это функция, определяемая некоторыми элементарными операциями, используемыми при построении иерархии Йенсена.
элементарная теория множеств: См. базовую теорию множеств.
Рассел: 1. Бертран Рассел; 2. Парадокс Рассела заключается в том, что множество всех множеств, не содержащих самих себя, противоречиво, поэтому не может существовать.
набор Рассела: 1. Множество, вовлеченное в парадокс Рассела

С

𝔰: Число расщепления
Удовлетворенность отношения: См. ⊨
СБХ: Гипотеза стационарного базиса
SCH: Единственная кардинальная гипотеза
СКС: Полуконструктивная система
Скотт: 1. Дэна Скотт; 2. Прием Скотта — это способ кодирования правильных классов эквивалентности с помощью множеств, беря элементы класса наименьшего ранга.
второй: 1. Множество второй категории — это множество, которое не принадлежит первой категории : другими словами, множество, которое не является объединением счетного числа нигде не плотных множеств.; 2. Ординал второго класса — это счетный бесконечный ординал.; 3. Ординал второго рода — это предельный ординал или 0.; 4. Логика второго порядка допускает количественную оценку как подмножеств, так и элементов модели.
полуразрешимое множество: Множество, принадлежность к которому может быть определена с помощью вычислительного процесса, который останавливается и принимает, если элемент является членом, но не может останавливаться, если элемент не является членом. ^[4]
предложение: Формула без несвязанных переменных
разделительный набор: 1. Разделяющее множество — это множество, содержащее данное множество и не пересекающееся с другим данным множеством.; 2. Разделяющее множество — это множество S функций на множестве, такое, что для любых двух различных точек существует функция из S с различными значениями на них.
аксиома разделения: В теории множеств иногда относится к схеме аксиом разделения ; ^[5] не следует путать с аксиомой разделения из топологии .
разделительный: Сепаративное частично упорядоченное множество — это множество, которое может быть плотно вложено в частично упорядоченное множество ненулевых элементов булевой алгебры.
набор: Совокупность отдельных объектов, рассматриваемая как отдельный объект.
теоретико-множественный: Прилагательное, относящееся к теории множеств. В сочетании с существительными оно создает фразы «множественно-теоретическая иерархия», относящаяся к кумулятивной иерархии , «множественно-теоретический парадокс», относящийся к парадоксам теории множеств , «множественно-теоретический преемник», относящийся к последующему порядковому или последующему кардинальному числу , и «множественно-теоретический реализм» для позиции в философии математики , которая отстаивает то, что множества, как они понимаются в теории множеств, существуют независимо от человеческого мышления и языка, подобно математическому платонизму .
синглтон: Множество, содержащее ровно один элемент; его значение заключается в его роли в определении функций и в формулировании математических и логических понятий.
СФИП: Сильное свойство конечного пересечения
Ш: Гипотеза Суслина
Шелах: 1. Сахарон Шелах; 2. Кардинал Шелаха — это большой кардинал, который является критической точкой элементарного вложения, удовлетворяющего определенным условиям.
проницательный кардинал: Проницательный кардинал — это тип большого кардинала, обобщающий неописуемые кардиналы до трансфинитных уровней.
Серпинский
Серпинский: 1. Вацлав Серпинский; 2. Множество Серпинского — это несчетное подмножество действительного векторного пространства, пересечение которого с каждым множеством меры нуль счетно.
Серебро: 1. Джек Сильвер; 2. Неразличимые элементы Сильвера образуют класс I ординалов, такой что I ∩ L _κ является множеством неразличимых элементов для L _κ для любого несчетного кардинального числа κ.
просто бесконечное множество: Термин, который иногда используется для бесконечных множеств , т. е. множеств, равночисленных с ℕ, чтобы противопоставить их дедекиндово-бесконечным множествам . ^[3] В ZF можно доказать, что все дедекиндово-бесконечные множества просто бесконечны, но обратное — что все просто бесконечные множества являются дедекиндово-бесконечными — можно доказать только в ZFC. ^[6]
единственное число: 1. Единичный кардинал — это тот, который не является регулярным.; 2. Гипотеза сингулярного кардинала утверждает, что если κ — любой сингулярный сильный предельный кардинал, то 2 ^κ = κ ⁺ .
СИС: Полуинтуиционистская система
Сколем: 1. Торальф Сколем; 2. Парадокс Скулема утверждает, что если ZFC непротиворечива, то существуют счетные ее модели.; 3. Функция Сколема — это функция, значением которой является нечто с заданным свойством, если что-либо с этим свойством существует.; 4. Скулемовская оболочка модели — это ее замыкание относительно функций Скулема.
маленький: Малая большая кардинальная аксиома — это большая кардинальная аксиома, согласующаяся с аксиомой V = L
SOCA: Аксиома полуоткрытой раскраски
Соловей: 1. Роберт М. Соловей; 2. Модель Соловея — это модель ZF, в которой каждый набор действительных чисел измерим.
особенный: Особое дерево Ароншайна — это дерево с сохраняющим порядок отображением в рациональные числа.
квадрат: Квадратный принцип — это комбинаторный принцип, действующий в конструируемой вселенной и некоторых других внутренних моделях.
стандартная модель: Модель теории множеств, в которой отношение ∈ такое же, как обычно.
стационарный набор: Стационарный набор — это подмножество ординала, пересекающее каждый клубный набор.
стратифицированный: Формула теории множеств является стратифицированной тогда и только тогда, когда существует функция , которая переводит каждую переменную, появляющуюся в (рассматриваемую как элемент синтаксиса), в натуральное число (это работает одинаково хорошо, если используются все целые числа) таким образом, что любая атомарная формула, появляющаяся в , удовлетворяет , а любая атомарная формула, появляющаяся в , удовлетворяет . $\сигма$ $\фи$ $x\in y$ $\фи$ $\сигма (x)+1=\сигма (y)$ $x=y$ $\фи$ $\сигма (x)=\сигма (y)$
строгий порядок: Отношение упорядочения, которое является транзитивным и иррефлексивным, подразумевая, что ни один элемент не считается находящимся строго до или после себя, и что отношение выполняется транзитивно.
сильный: 1. Сильное свойство конечного пересечения гласит, что пересечение любого конечного числа элементов множества бесконечно.; 2. Сильный кардинал — это кардинал κ такой, что если λ — любой ординал, то существует элементарное вложение с критической точкой κ из вселенной в транзитивную внутреннюю модель, содержащую все элементы V _λ; 3. Сильный предельный кардинал — это (обычно ненулевой) кардинал, который больше, чем множество любого меньшего кардинала.
сильно: 1. Сильно недоступный кардинал — это регулярный сильный предельный кардинал.; 2. Сильно кардинал Мало — это сильно недостижимый кардинал, такой что множество сильно недостижимых кардиналов под ним является стационарным.; 3. Сильно компактный кардинал — это кардинал κ такой, что каждый κ-полный фильтр может быть расширен до κ-полного ультрафильтра.
подмножество: Множество, все элементы которого содержатся в другом множестве, не обязательно будучи идентичными ему.
тонкий кардинал: Тонкий кардинал — это тип большого кардинала, тесно связанный с эфирными кардиналами.
преемник: 1. Последующий кардинал — это наименьший кардинал, больший некоторого заданного кардинала.; 2. Последующий ординал — это наименьший ординал, больший некоторого заданного ординала.
такой что: Условие, используемое при определении математического объекта.
подсолнечник: Подсолнух , также называемый дельта-системой, представляет собой набор множеств, такой что любые два различных множества имеют пересечение X для некоторого фиксированного множества X.
Суслин
Суслин: 1. Михаил Яковлевич Суслин (иногда пишется Суслин); 2. Алгебра Суслина — это булева алгебра, которая является полной, безатомной, счетно-дистрибутивной и удовлетворяет условию счетной цепи.; 3. Кардинал Суслина — это кардинал λ такой, что существует множество P ⊂ 2 ^ω такое, что P является λ-Суслиным, но P не является λ'-Суслиным для любого λ' < λ.; 4. Гипотеза Суслина утверждает, что линий Суслина не существует.; 5. Линия Суслина — это полное плотное неограниченное полностью упорядоченное множество, удовлетворяющее условию счетной цепи; 6. Число Суслина — это супремум мощностей семейств непересекающихся открытых непустых множеств.; 7. Операция Суслина , обычно обозначаемая как A , — это операция, которая строит множество из схемы Суслина.; 8. Задача Суслина заключается в том, существуют ли линии Суслина.; 9. Свойство Суслина утверждает, что не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств.; нет=10; нет=11; нет=12; нет=13; нет=14; нет=15; нет=16
сверхкомпактный: Суперкомпактный кардинал — это несчетный кардинал κ такой, что для любого A, такого что Card( A ) ≥ κ, существует нормальная мера над [ A ] ^κ .
суперпереходный
сверхтранзитивный: Супертранзитивное множество — это транзитивное множество, которое содержит все подмножества всех своих элементов.
симметричная разность: Операция над множествами, которая возвращает элементы, присутствующие в любом из двух множеств, но не находящиеся на их пересечении, по сути, элементы, уникальные для каждого множества.
симметричная модель: Симметричная модель — это модель ZF (без аксиомы выбора), построенная с использованием группового действия на вынужденном частично упорядоченном множестве.

Ссылки

^ П. Ацель, Теоретико-типовая интерпретация конструктивной теории множеств (1978)
^ Босток, Дэвид (2012). Логический атомизм Рассела . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-965144-3.
^ ab Кук, Рой Т. (2009-03-20). Словарь философской логики. doi :10.1515/9780748631971. ISBN 978-0-7486-3197-1.
^ Форстер, Томас (2003). Логика, индукция и множества . Студенческие тексты Лондонского математического общества (1-е изд.). Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-53361-4.
^ Багария, Джоан; Тодорчевич, Стево (2006). Теория множеств: Центр математических исследований, Барселона, 2003–2004 гг . Тенденции в математике. Центр математических исследований. Базель Бостон: Birkhäuser Verlag. п. 156. ИСБН 978-3-7643-7692-5.
^ Линдстрём, Стен; Пальмгрен, Эрик; Сегерберг, Кристер; Столтенберг-Хансен, Вигго (25.11.2008). Логицизм, интуиционизм и формализм: что с ними стало?. Springer Science & Business Media. стр. 5. ISBN 978-1-4020-8926-8.

Т

𝔱: Номер башни
Т: Дерево
высокий кардинал: Высокий кардинал — это тип большого кардинала, который является критической точкой определенного вида элементарного вложения.
Тарский: 1. Альфред Тарский; 2. Теорема Тарского утверждает, что аксиома выбора эквивалентна существованию биекции из X в X × X для всех бесконечных множеств X.
ТС: Транзитивное замыкание множества
общий заказ: Полный порядок — это отношение, которое является транзитивным и антисимметричным, при котором любые два элемента сравнимы.
совершенно неописуемо: Полностью неописуемый кардинал — это кардинал, который является Π^м
_н-неописуемый для всех m , n
трансфинитный: 1. Бесконечное порядковое или количественное число (см. Трансфинитное число ); 2. Трансфинитная индукция — это индукция по ординалам.; 3. Трансфинитная рекурсия — это рекурсия по ординалам.
переходный: 1. Транзитивное отношение; 2. Транзитивное замыкание множества — это наименьшее транзитивное множество, его содержащее.; 3. Транзитивное множество или класс — это множество или класс, на котором отношение принадлежности транзитивно.; 4. Транзитивная модель — это модель теории множеств, которая является транзитивной и имеет обычное отношение принадлежности
дерево: 1. Дерево — это частично упорядоченное множество ( T , <), такое, что для каждого t ∈ T множество { s ∈ T : s < t } вполне упорядочено отношением <; 2. Дерево — это набор конечных последовательностей, такой, что каждый префикс последовательности в наборе также принадлежит этому набору.; 3. Кардинал κ обладает свойством дерева , если не существует деревьев κ-Ароншайна.
кортеж: Упорядоченный список элементов с фиксированным числом компонентов, используемый в математике и информатике для описания упорядоченных совокупностей объектов.
Тьюринг узнаваемый набор: Множество, для которого существует машина Тьюринга, которая останавливается и принимает любые входные данные из множества, но может либо останавливаться и отклонять, либо работать бесконечно на входных данных, не входящих в множество.
тип класса: Класс типов или класс типов — это класс всех типов порядка заданной мощности, вплоть до эквивалентности порядка.

У

𝔲: Номер ультрафильтра, минимально возможная мощность базы ультрафильтра
Улам: 1. Станислав Улам; 2. Матрица Улама представляет собой набор подмножеств кардинала, индексированных парами порядковых чисел, которые удовлетворяют определенным свойствам.
Ульт: Сверхмощь или сверхпродукт
ультрафильтр: 1. Максимальный фильтр; 2. Число ультрафильтра 𝔲 — это минимально возможная мощность базы ультрафильтра.
сверхмощь: Ультрапродукт , в котором все факторы равны
ультрапродукт: Ультрапроизведение — это частное от деления произведения моделей на определенное отношение эквивалентности.
разворачивающийся кардинал: Разворачиваемый кардинал — это кардинал κ такой, что для каждого ординала λ и каждой транзитивной модели M мощности κ множества ZFC-минус-степени, такого, что κ принадлежит M и M содержит все его последовательности длины меньше κ, существует нетривиальное элементарное вложение j множества M в транзитивную модель с критической точкой j , равной κ, и j (κ) ≥ λ.
однородность: Равномерность non( I ) множества I — это наименьшая мощность подмножества X, не входящего в идеал I подмножеств X.
униформизация: Униформизация — это слабая форма аксиомы выбора, дающая поперечные сечения для специальных подмножеств произведения двух польских пространств.
союз: Операция в теории множеств, которая объединяет элементы двух или более множеств для формирования единого множества, содержащего все элементы исходных множеств, без дублирования.
универсальный
вселенная: 1. Универсальный класс , или универсум, — это класс всех множеств.; Квантор всеобщности — это квантификатор «для всех», обычно обозначаемый как ∀.
неупорядоченная пара: Набор из двух элементов, где порядок элементов не имеет значения, что отличает его от упорядоченной пары, где последовательность элементов имеет значение. Аксиома спаривания утверждает, что для любых двух объектов существует неупорядоченная пара, содержащая эти объекты.
верхняя граница: В математике элемент, который больше или равен каждому элементу заданного множества, используется при обсуждении интервалов, последовательностей и функций.
Теорема Левенгейма–Сколема вверх: Теорема в теории моделей, утверждающая, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет модели всех больших мощностей, что демонстрирует масштабируемость моделей в логике первого порядка. (См. теорему Лёвенгейма–Сколема )
urelement: Уреэлемент — это то, что не является множеством, но может быть элементом множества.

В

В: V — это вселенная всех множеств, а множества V _α образуют иерархию фон Неймана.
В = Л: Аксиома конструктивности
Веблен: 1. Освальд Веблен; 2. Иерархия Веблена представляет собой семейство порядковых функций, частные случаи которых называются функциями Веблена .
Диаграмма Венна: 1. Графическое представление логических отношений между множествами с использованием перекрывающихся кругов для иллюстрации пересечений, объединений и дополнений множеств.
фон Нейман: 1. Джон фон Нейман; 2. Ординал фон Неймана — это ординал, закодированный как объединение всех меньших (фон Неймана) ординалов.; 3. Иерархия фон Неймана представляет собой кумулятивную иерархию V _{α ,} где V _α+1 является множеством, превосходящим V _α .
Вопенка
Вопенко: 1. Петр Вопенка; 2. Принцип Вопенки утверждает, что для каждого собственного класса бинарных отношений существует одно, элементарно вложимое в другое.; 3. Кардинал Вопенки — это недоступный кардинал κ такой, что и принцип Вопенки справедлив для V _κ

Вт

слабо: 1. Слабо недостижимый кардинал — это обычный слабый предельный кардинал.; 2. Слабо компактный кардинал — это кардинал κ (обычно также предполагаемый недоступным), такой что бесконечный язык L _κ,κ удовлетворяет теореме о слабой компактности; 3. Слабо кардинал Мало — это кардинал κ, который слабо недостижим и такой, что множество слабо недостижимых кардиналов, меньших κ, является стационарным относительно κ.
обоснованный: Отношение называется хорошо обоснованным , если каждое непустое подмножество имеет минимальный элемент (в противном случае оно «нехорошо обосновано»).
хорошо упорядоченный: Вполне упорядоченное отношение — это хорошо обоснованное отношение, обычно также предполагаемое как полный порядок.
принцип хорошего порядка: что положительные целые числа хорошо упорядочены, т.е. каждое непустое множество положительных целых чисел содержит наименьший элемент
теорема о хорошем порядке: что каждый набор может быть хорошо упорядочен
Вф: Класс вполне обоснованных множеств, который совпадает с классом всех множеств, если принять аксиому обоснованности.
Вудин: 1. Хью Вудин; 2. Кардинал Вудина — это тип большого кардинала, который является критической точкой определенного вида элементарного вложения, тесно связанного с аксиомой проективной определенности.

XYZ

З: Теория множеств Цермело без аксиомы выбора
ЗС: Теория множеств Цермело с аксиомой выбора
Цермело: 1. Эрнст Цермело; 2. Теория множеств Цермело-Френкеля — это стандартная система аксиом для теории множеств.; 3. Теория множеств Цермело похожа на обычную теорию множеств Цермело-Френкеля, но без аксиом замены и основания.; 4. Теорема Цермело о хорошем порядке утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено.
ЗФ: Теория множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора
ЗФА: Теория множеств Цермело-Френкеля с атомами
ЗФК: Теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора
нулевая функция: Математическая функция, которая всегда возвращает нулевое значение независимо от входных данных; часто используется при обсуждении функций, исчисления и алгебры.
ЗФ-П: Теория множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора или аксиомы множества степеней
Зорн: 1. Макс Зорн; 2. Лемма Цорна утверждает, что если каждая цепь непустого частично упорядоченного множества имеет верхнюю границу, то частично упорядоченное множество имеет максимальный элемент

Смотрите также

Ссылки

Jech, Thomas (2003). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Збл 1007.03002.

[1] П. Ацель, Теоретико-типовая интерпретация конструктивной теории множеств (1978)

[2] Босток, Дэвид (2012). Логический атомизм Рассела . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-965144-3.

[CookDictionary-3] Кук, Рой Т. (2009-03-20). Словарь философской логики. doi :10.1515/9780748631971. ISBN 978-0-7486-3197-1.

[4] Форстер, Томас (2003). Логика, индукция и множества . Студенческие тексты Лондонского математического общества (1-е изд.). Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-53361-4.

[5] Багария, Джоан; Тодорчевич, Стево (2006). Теория множеств: Центр математических исследований, Барселона, 2003–2004 гг . Тенденции в математике. Центр математических исследований. Базель Бостон: Birkhäuser Verlag. п. 156. ИСБН 978-3-7643-7692-5.

[6] Линдстрём, Стен; Пальмгрен, Эрик; Сегерберг, Кристер; Столтенберг-Хансен, Вигго (25.11.2008). Логицизм, интуиционизм и формализм: что с ними стало?. Springer Science & Business Media. стр. 5. ISBN 978-1-4020-8926-8.