пространство Бэра

В математике топологическое пространство называется пространством Бэра , если счетные объединения замкнутых множеств с пустой внутренней частью также имеют пустую внутреннюю часть. ^[1] Согласно теореме Бэра о категории , компактные хаусдорфовы пространства и полные метрические пространства являются примерами пространств Бэра. Теорема Бэра о категории в сочетании со свойствами пространств Бэра имеет многочисленные приложения в топологии , геометрии и анализе , в частности, функциональном анализе . ^{[2] [3]} Для получения дополнительной мотивации и приложений см. статью Теорема Бэра о категории . Текущая статья больше фокусируется на характеристиках и основных свойствах пространств Бэра как таковых.${\displaystyle X}$

Бурбаки ввел термин «пространство Бэра» ^{[4] [5]} в честь Рене Бэра , который исследовал теорему Бэра о категории в контексте евклидова пространства в своей диссертации 1899 года. ^[6]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Следующее определение основано на понятиях тощего (или первой категории) множества (а именно, множества, которое является счетным объединением множеств, замыкание которых имеет пустую внутренность) и нетощего (или второй категории) множества (а именно, множества, которое не является тощим). Подробности см. в соответствующей статье.

Топологическое пространство называется пространством Бэра, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^{[1] [7] [8]}${\displaystyle X}$

1. Каждое счетное пересечение плотных открытых множеств плотно.
2. Каждое счетное объединение замкнутых множеств с пустой внутренностью имеет пустую внутренность.
3. У каждого скудного набора внутреннее пространство пустое.
4. Каждое непустое открытое множество является нетощим. ^{[примечание 1]}
5. Каждый набор комеагресов плотный.
6. Если счетное объединение замкнутых множеств имеет внутреннюю точку, то по крайней мере одно из замкнутых множеств имеет внутреннюю точку.

Эквивалентность между этими определениями основана на связанных свойствах дополнительных подмножеств (то есть множества и его дополнения ), как указано в таблице ниже.${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Теорема Бэра о категории дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра.

• ( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. ^{[9] [10]} В частности, каждое полностью метризуемое топологическое пространство является пространством Бэра.
• ( BCT2 ) Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра. ^{[9] [11]} В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра.

BCT1 показывает, что следующие пространства являются пространствами Бэра:

• Пространство действительных чисел .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространство иррациональных чисел , гомеоморфное пространству Бэра теории множеств${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ .
• Каждое польское пространство .

BCT2 показывает, что следующие пространства являются пространствами Бэра:

• Каждое компактное хаусдорфово пространство; например, множество Кантора (или пространство Кантора ).
• Каждое многообразие , даже если оно не паракомпактно (следовательно, не метризуемо ), подобно длинной линии .

Однако следует отметить, что существует множество пространств, которые являются пространствами Бэра, но не удовлетворяют условиям теоремы Бэра о категории, как показано в разделе «Примеры» ниже.

• Каждое непустое пространство Бэра является неразреженным. В терминах счетных пересечений плотных открытых множеств быть пространством Бэра эквивалентно тому, что такие пересечения являются плотными, в то время как быть неразреженным пространством эквивалентно более слабому условию, что такие пересечения являются непустыми.
• Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра. ^[12]
• Каждое плотное множество G _δ в пространстве Бэра является пространством Бэра. ^{[13] [14]} Результат не обязательно должен быть справедлив, если множество G _δ не является плотным. См. раздел Примеры.
• Каждое множество комеагр в пространстве Бэра является пространством Бэра. ^[15]
• Подмножество пространства Бэра является коагрегом тогда и только тогда, когда оно содержит плотное множество G _δ . ^[16]
• Замкнутое подпространство пространства Бэра не обязано быть пространством Бэра. См. раздел Примеры.
• Если пространство содержит плотное подпространство, являющееся пространством Бэра, то оно также является пространством Бэра. ^[17]
• Пространство, которое локально является пространством Бэра, в том смысле, что каждая точка имеет окрестность, которая является пространством Бэра, является пространством Бэра. ^{[18] [19]}
• Любая топологическая сумма пространств Бэра является бэровской. ^[20]
• Произведение двух пространств Бэра не обязательно является пространством Бэра. ^{[21] [22]}
• Произвольное произведение полных метрических пространств — это Бэр. ^[23]
• Каждое локально компактное трезвое пространство является пространством Бэра. ^[24]
• Каждое конечное топологическое пространство является пространством Бэра (потому что конечное пространство имеет лишь конечное число открытых множеств, а пересечение двух открытых плотных множеств является открытым плотным множеством ^[25] ).
• Топологическое векторное пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда оно не является разреженным, ^[26] что происходит тогда и только тогда, когда каждое замкнутое сбалансированное поглощающее подмножество имеет непустую внутреннюю часть. ^[27]

Дана последовательность непрерывных функций с поточечным пределом. Если — пространство Бэра, то множество точек, в которых является ненепрерывным, является разреженным в , а множество точек, в которых является непрерывным, является плотным в . Частным случаем этого является принцип равномерной ограниченности .${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$

• Пустое пространство — это пространство Бэра. Это единственное пространство, которое одновременно является и пространством Бэра, и скудным.
• Пространство действительных чисел с обычной топологией является пространством Бэра.${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространство рациональных чисел (с топологией, индуцированной из ) не является пространством Бэра, поскольку оно тощее.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространство иррациональных чисел (с топологией, индуцированной из ) является пространством Бэра, поскольку оно совпадает с${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Пространство (с топологией, индуцированной из ) является неразреженным, но не Бэровым. Есть несколько способов увидеть, что оно не является Бэровым: например, потому что подмножество является разреженным, но не плотным; или потому что непустое подмножество является открытым и разреженным.${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$
• Аналогично, пространство не есть Бэр. Оно не является тощим, поскольку является изолированной точкой.${\displaystyle X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$${\displaystyle 1}$

Ниже приведены примеры пространств Бэра, для которых теорема Бэра о категории неприменима, поскольку эти пространства не являются локально компактными и не полностью метризуемыми:

• Линия Зоргенфрея . ^[28]
• Самолет Зоргенфрея . ^[29]
• Самолет Немыцкого . ^[29]
• Подпространство , состоящее из открытой верхней полуплоскости вместе с рациональными числами на оси x , а именно, является пространством Бэра, ^[30] поскольку открытая верхняя полуплоскость плотна в и полностью метризуема, следовательно, Бэра. Пространство не является локально компактным и полностью метризуемо. Множество замкнуто в , но не является пространством Бэра. Поскольку в метрическом пространстве замкнутые множества являются множествами G _δ , это также показывает, что в общем случае множества G _δ в пространстве Бэра не обязательно должны быть множествами Бэра.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} \times \{0\}}$${\displaystyle X}$

Алгебраические многообразия с топологией Зарисского являются пространствами Бэра. Примером является аффинное пространство, состоящее из множества n -кортежей комплексных чисел, вместе с топологией, замкнутые множества которой являются исчезающими множествами многочленов${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

• Игра Банаха–Мазура
• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Теорема Блумберга  – Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R
• Игра в шоке
• Свойство Бэра  – Разность открытого множества с разреженным множеством
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, MW; Scott, DS (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0521803380.
• Хаворт, Колорадо; Маккой, Р.А. (1977), Baire Spaces, Варшава: Instytut Matematyczny Polskiej Polskiej Akademi Nauk
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

• Статья в Энциклопедии математики о пространстве Бэра
• Статья в Энциклопедии математики о теореме Бэра