Аксиома глобального выбора

В математике , в частности в теориях классов , аксиома глобального выбора является более сильным вариантом аксиомы выбора , которая применяется как к собственным классам множеств , так и к множествам множеств. Неформально она утверждает, что можно одновременно выбрать элемент из любого непустого множества.

Аксиома глобального выбора утверждает, что существует глобальная функция выбора τ, то есть функция такая, что для каждого непустого множества z , τ( z ) является элементом z .

Аксиому глобального выбора нельзя сформулировать напрямую на языке теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) с помощью аксиомы выбора (AC), известной как ZFC, поскольку функция выбора τ является собственным классом, а в ZFC нельзя квантифицировать по классам. Ее можно сформулировать, добавив новый символ функции τ к языку ZFC со свойством, что τ является глобальной функцией выбора. Это консервативное расширение ZFC: каждое доказуемое утверждение этой расширенной теории, которое может быть сформулировано на языке ZFC, уже доказуемо в ZFC (Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p.72). С другой стороны, Гёдель показал, что, учитывая аксиому конструктивности, можно записать явную (хотя и несколько сложную) функцию выбора τ на языке ZFC, так что в некотором смысле аксиома конструктивности подразумевает глобальный выбор (фактически, [ZFC доказывает, что] в языке, расширенном символом унарной функции τ, аксиома конструктивности подразумевает, что если τ называется явно определяемой функцией, то эта τ является глобальной функцией выбора. И тогда глобальный выбор морально выполняется, с τ в качестве свидетеля ).

На языке теории множеств фон Неймана–Бернейса–Геделя (NBG) и теории множеств Морса–Келли аксиому глобального выбора можно сформулировать напрямую (Френкель, Бар-Хиллель и Леви, 1973, стр. 133), и она эквивалентна различным другим утверждениям:

• Каждый класс непустых множеств имеет функцию выбора .
• V \ {∅} имеет функцию выбора (где V — класс всех множеств ).
• Существует вполне упорядоченное множество V.
• Существует биекция между V и классом всех порядковых чисел .

В теории множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя глобальный выбор не добавляет никаких следствий относительно множеств (не собственных классов) сверх того, что можно было бы вывести из обычной аксиомы выбора.

Глобальный выбор является следствием аксиомы ограниченности размера .