Аксиома правильного принуждения

В математической области теории множеств аксиома надлежащего принуждения ( PFA ) является существенным усилением аксиомы Мартина , где принуждения со счетным цепным условием (ccc) заменяются на надлежащие принуждения.

Заявление

Принудительное или частично упорядоченное множество является собственным , если для всех регулярных несчетных кардиналов принуждение с P сохраняет стационарные подмножества . П {\displaystyle P} λ {\displaystyle \лямбда} [ λ ] ω {\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}

Аксиома правильного принуждения утверждает, что если является правильным и является плотным подмножеством для каждого , то существует фильтр такой, что является непустым для всех . П {\displaystyle P} Д α {\displaystyle D_{\альфа}} П {\displaystyle P} α < ω 1 {\displaystyle \alpha <\omega _{1}} Г ⊆ П {\displaystyle G\subseteq P} Д α ∩ Г {\displaystyle D_{\alpha }\cap G} α < ω 1 {\displaystyle \alpha <\omega _{1}}

Класс собственных принуждений, к которым можно применить PFA, довольно велик. Например, стандартные аргументы показывают, что если является ccc или ω-замкнутым, то является собственным. Если является счетной итерацией поддержки собственных принуждений, то является собственным. Важно, что все собственные принуждения сохраняют . П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} ℵ 1 {\displaystyle \алеф _{1}}

Последствия

PFA напрямую подразумевает свою версию для ccc-форсингов, аксиому Мартина . В кардинальной арифметике PFA подразумевает . PFA подразумевает, что любые два -плотных подмножества R изоморфны, [1] любые два дерева Ароншайна являются клубно-изоморфными, [2] и каждый автоморфизм булевой алгебры тривиален. [3] PFA подразумевает, что гипотеза сингулярных кардиналов верна. Особенно примечательным следствием, доказанным Джоном Р. Стилом , является то, что аксиома определенности верна в L(R) , наименьшей внутренней модели , содержащей действительные числа. Другим следствием является несостоятельность квадратных принципов и, следовательно, существование внутренних моделей со многими кардиналами Вудина . 2 ℵ 0 = ℵ 2 {\displaystyle 2^{\алеф _{0}}=\алеф _{2}} ℵ 1 {\displaystyle \алеф _{1}} П ( ω ) /плавник {\displaystyle P(\omega ){\text{/fin}}}

Прочность консистенции

Если существует суперкомпактный кардинал , то существует модель теории множеств, в которой выполняется PFA. Доказательство использует тот факт, что собственные воздействия сохраняются при счетной итерации поддержки, и тот факт, что если является суперкомпактным, то существует функция Лэйвера для . к {\displaystyle \каппа} к {\displaystyle \каппа}

Пока еще точно не известно, насколько большую кардинальную силу дает PFA, и в настоящее время наилучшая нижняя граница находится немного ниже существования кардинального числа Вудина, которое является пределом кардинальных чисел Вудина.

Другие аксиомы принуждения

Ограниченная аксиома собственного принуждения (BPFA) является более слабым вариантом PFA, который вместо произвольных плотных подмножеств применяется только к максимальным антицепям размера . Максимум Мартина является наиболее сильной возможной версией аксиомы принуждения. ω 1 {\displaystyle \омега _{1}}

Аксиомы принуждения являются жизнеспособными кандидатами на расширение аксиом теории множеств в качестве альтернативы большим кардинальным аксиомам.

Основная теорема правильного принуждения

Основная теорема о правильном принуждении, принадлежащая Шелаху , утверждает, что любая счетная итерация поддержки правильного принуждения сама является правильной. Это следует из леммы о правильной итерации, которая утверждает, что всякий раз, когда есть счетная итерация поддержки, основанная на и есть счетная элементарная подструктура для достаточно большого регулярного кардинала , и и и является -генерическим и заставляет , то существует такое, что является -генерическим и ограничение на равно и заставляет ограничение на быть сильнее или равным . ( П α ) α ≤ к {\displaystyle (P_{\alpha})_{\alpha \leq \kappa }} ( В α ) α < к {\displaystyle (Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }} Н {\displaystyle N} ЧАС λ {\displaystyle H_{\лямбда}} λ {\displaystyle \лямбда} П к ∈ Н {\displaystyle P_{\kappa }\in N} α ∈ к ∩ Н {\displaystyle \альфа \in \каппа \cap N} п {\displaystyle p} ( Н , П α ) {\displaystyle (N,P_{\альфа})} п {\displaystyle p} д ∈ П к / Г П α ∩ Н [ Г П α ] {\displaystyle q\in P_{\kappa}/G_{P_{\alpha}}\cap N[G_{P_{\alpha}}]} г ∈ П к {\displaystyle r\in P_{\kappa }} г {\displaystyle r} Н {\displaystyle N} г {\displaystyle r} П α {\displaystyle P_{\альфа}} п {\displaystyle p} п {\displaystyle p} г {\displaystyle r} [ α , к ) {\displaystyle [\альфа,\каппа)} д {\displaystyle д}

Эта версия леммы о правильной итерации, в которой не предполагается, что имя находится в , принадлежит Шлиндвайну. [4] д {\displaystyle д} Н {\displaystyle N}

Лемма о правильной итерации доказывается довольно простой индукцией по , а основная теорема о правильном принуждении следует из . к {\displaystyle \каппа} α = 0 {\displaystyle \альфа =0}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Мур (2011)
  2. ^ Абрахам, У. и Шелах, С., Типы изоморфизма деревьев Ароншайна (1985) Израильский журнал математики (50) 75 -- 113
  3. ^ Мур (2011)
  4. ^ Шлиндвайн, К., «Согласованность гипотезы Суслина, неспециальное дерево Ароншайна и GCH», (1994), Журнал символической логики (59) стр. 1–29
  • Jech, Thomas (2002). Теория множеств (Третье тысячелетие (пересмотренное и расширенное) издание). Springer. doi :10.1007/3-540-44761-X. ISBN 3-540-44085-2. Збл  1007.03002.
  • Кунен, Кеннет (2011). Теория множеств . Исследования по логике. Том 34. Лондон: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9. Збл  1262.03001.
  • Мур, Джастин Тэтч (2011). «Логика и основы: надлежащая аксиома принуждения». В Бхатиа, Раджендра (ред.). Труды международного конгресса математиков (ICM 2010), Хайдарабад, Индия, 19–27 августа 2010 г. Том II: Приглашенные лекции (PDF) . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. стр.  3–29 . ISBN 978-981-4324-30-4. Збл  1258.03075.
  • Стил, Джон Р. (2005). «PFA подразумевает AD^L(R)». Журнал символической логики . 70 (4): 1255– 1296. doi :10.2178/jsl/1129642125.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Правильная_аксиома_принуждения&oldid=1217874816"