Вселенная фон Неймана

В теории множеств и смежных разделах математики универсум фон Неймана или иерархия множеств фон Неймана , обозначаемая V , является классом наследственных хорошо обоснованных множеств . Эта коллекция, формализованная теорией множеств Цермело–Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или обоснования аксиом ZFC. Концепция названа в честь Джона фон Неймана , хотя впервые была опубликована Эрнстом Цермело в 1930 году.

Ранг хорошо обоснованного множества определяется индуктивно как наименьшее порядковое число, большее рангов всех членов множества. ^[1] В частности, ранг пустого множества равен нулю, и каждый порядковый номер имеет ранг, равный самому себе. Множества в V делятся на трансфинитную иерархию V _α , называемую кумулятивной иерархией , на основе их ранга. 

Кумулятивная иерархия — это набор множеств V _α, индексированных классом порядковых чисел ; в частности, V _α — это множество всех множеств, имеющих ранги меньше α. Таким образом, существует одно множество V _α для каждого порядкового числа α. V _α можно определить с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

• Пусть V ₀ будет пустым множеством :

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• Для любого порядкового числа β пусть V _β+1 будет множеством степеней V _β :

  ${\displaystyle V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

• Для любого предельного ординала λ пусть V _λ будет объединением всех V -этапов на данный момент:

  ${\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.}$

Важнейшим фактом этого определения является то, что в языке ZFC существует единственная формула φ(α, x ), которая утверждает, что «множество x принадлежит V _α ».

Множества V _α называются ступенями или рангами .

Класс V определяется как объединение всех V -стадий:

${\displaystyle V:=\bigcup _ {\alpha }V_{\alpha }.}$

Ранг множества S — это наименьшее α, такое что Другими словами, это множество множеств с рангом ≤α. Стадию V _α можно также охарактеризовать как множество множеств с рангом строго меньше α, независимо от того, равно ли α 0, последующему ординалу или предельному ординалу:${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(V_{\alpha})}$

${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

Это дает эквивалентное определение V _α посредством трансфинитной рекурсии.

Подстановка приведенного выше определения V _α обратно в определение ранга множества дает замкнутое рекурсивное определение:

Ранг множества — это наименьшее порядковое число, строго большее ранга всех его членов.

Другими словами,

${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}}$.

Первые пять стадий фон Неймана от V ₀ до V ₄ можно визуализировать следующим образом. (Пустой ящик представляет собой пустой набор. Ящик, содержащий только пустой ящик, представляет собой набор, содержащий только пустой набор, и т. д.)

Эта последовательность демонстрирует тетрациональный рост. Множество V ₅ содержит 2 ¹⁶ = 65536 элементов; множество V ₆ содержит 2 ⁶⁵⁵³⁶ элементов, что существенно превышает число атомов в известной вселенной ; и для любого натурального n множество V _{n +1} содержит 2 ⇈ n элементов, используя обозначение Кнута со стрелкой вверх . Таким образом, конечные этапы кумулятивной иерархии не могут быть записаны явно после этапа 5. Множество V _ω имеет ту же мощность, что и ω. Множество V _ω+1 имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Если ω — множество натуральных чисел , то V _ω — множество наследственно конечных множеств , которое является моделью теории множеств без аксиомы бесконечности . ^{[2] [3]}

V _ω+ω — это вселенная «обычной математики», и она является моделью теории множеств Цермело (но не моделью ZF ). ^[4] Простым аргументом в пользу адекватности V _ω+ω является наблюдение, что V _ω+1 адекватно для целых чисел, тогда как V _ω+2 адекватно для действительных чисел, и большая часть другой нормальной математики может быть построена как отношения различных видов из этих множеств без необходимости аксиомы замены, чтобы выйти за пределы V _ω+ω .

Если κ — недостижимый кардинал , то V _κ — это модель теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), а V _κ+1 — это модель теории множеств Морса–Келли . ^{[5] [6]} (Обратите внимание, что каждая модель ZFC также является моделью ZF, а каждая модель ZF также является моделью Z.)

V не является « множеством всех (наивных) множеств » по ​​двум причинам. Во-первых, это не множество; хотя каждая отдельная стадия V _α является множеством, их объединение V является собственным классом . Во-вторых, множества в V являются только хорошо обоснованными множествами. Аксиома основания (или регулярности) требует, чтобы каждое множество было хорошо обосновано и, следовательно, в V , и, таким образом, в ZFC каждое множество находится в V . Но другие системы аксиом могут опускать аксиому основания или заменять ее сильным отрицанием (примером является аксиома антиоснования Ацеля ). Эти нехорошо обоснованные теории множеств обычно не используются, но их все еще можно изучать.

Третье возражение против интерпретации «множества всех множеств» заключается в том, что не все множества обязательно являются «чистыми множествами», которые строятся из пустого множества с использованием множеств мощности и объединений. Цермело предложил в 1908 году включение праэлементов , из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году. ^[7] Такие праэлементы широко используются в теории моделей , особенно в моделях Френкеля-Мостовского. ^[8]

Вселенная фон Неймана удовлетворяет следующим двум свойствам:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$для каждого набора .${\displaystyle x\in V}$
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$для каждого подмножества .${\displaystyle x\subseteq V}$

Действительно, если , то для некоторого ординала . Любой этап является транзитивным множеством , следовательно, каждый уже есть , и поэтому каждое подмножество является подмножеством . Следовательно, и . Для объединений подмножеств, если , то для каждого , пусть будет наименьшим ординалом, для которого . Поскольку по предположению является множеством, мы можем образовать предел . Этапы являются кумулятивными, и поэтому снова каждый есть . Тогда каждый также есть , и поэтому и .${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V_{\альфа}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_ {\alpha +1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$${\displaystyle x\subseteq V}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle \beta _{y}}$${\displaystyle y\in V_{\beta _{y}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$${\displaystyle z\in y}$${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha }}$${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$

Парадокс Гильберта подразумевает, что не существует множества с указанными выше свойствами. ^[9] Предположим, что было множеством. Тогда было бы подмножеством самого себя и принадлежало бы , и поэтому было бы . Но в более общем случае, если , то . Следовательно, , что невозможно в моделях ZFC, таких как оно само.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U=\чашка V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$${\displaystyle А\в Б}$${\displaystyle A\subseteq \cup B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$${\displaystyle V}$

Интересно, что является подмножеством , если и только если, является членом . Поэтому мы можем рассмотреть, что произойдет, если условие объединения заменить на . В этом случае нет известных противоречий, и любая вселенная Гротендика удовлетворяет новой паре свойств. Однако существуют ли вселенные Гротендика — это вопрос, выходящий за рамки ZFC.${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in V\подразумевает \cup x\in V}$

Формула V = ⋃ _α V _α часто считается теоремой, а не определением. ^{[10] [11]} Ройтман утверждает (без ссылок), что осознание того, что аксиома регулярности эквивалентна равенству вселенной множеств ZF кумулятивной иерархии, принадлежит фон Нейману. ^[12]

Поскольку класс V можно считать ареной для большей части математики, важно установить, что он «существует» в некотором смысле. Поскольку существование — сложная концепция, обычно вопрос о существовании заменяют вопросом о согласованности, то есть о том, свободна ли концепция от противоречий. Главным препятствием являются теоремы Гёделя о неполноте , которые фактически подразумевают невозможность доказательства согласованности теории множеств ZF в самой теории множеств ZF, при условии, что она на самом деле согласована. ^[13]

Целостность вселенной фон Неймана зависит в основном от целостности порядковых чисел , которые действуют как параметр ранга в конструкции, и целостности трансфинитной индукции , с помощью которой строятся как порядковые числа, так и вселенная фон Неймана. Можно сказать, что целостность конструкции порядковых чисел опирается на статьи фон Неймана 1923 и 1928 годов. ^[14] Можно сказать, что целостность конструкции V трансфинитной индукцией была установлена ​​в статье Цермело 1930 года. ^[7]

Грегори Х. Мур (1982) утверждает, что кумулятивная иерархия типов, также известная как вселенная фон Неймана, ошибочно приписывается фон Нейману . ^[15] Первая публикация вселенной фон Неймана была сделана Эрнстом Цермело в 1930 году. ^[7]

Существование и единственность общего трансфинитного рекурсивного определения множеств были продемонстрированы в 1928 году фон Нейманом как для теории множеств Цермело-Френкеля ^[16] , так и для собственной теории множеств фон Неймана (которая позже развилась в теорию множеств NBG ). ^[17] Ни в одной из этих работ он не применял свой трансфинитный рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. Представления вселенной фон Неймана Бернайсом ^[10] и Мендельсоном ^[11] оба отдают должное фон Нейману за метод построения трансфинитной индукции, хотя и не за его применение к построению вселенной обычных множеств.

Обозначение V не является данью имени фон Неймана. Оно было использовано для вселенной множеств в 1889 году Пеано, буква V означала «Verum», которую он использовал и как логический символ, и для обозначения класса всех индивидуумов. ^[18] Обозначение Пеано V было также принято Уайтхедом и Расселом для класса всех множеств в 1910 году. ^[19] Обозначение V (для класса всех множеств) не использовалось фон Нейманом в его работах 1920-х годов о порядковых числах и трансфинитной индукции. Пол Коэн ^[20] явно приписывает свое использование буквы V (для класса всех множеств) статье Гёделя 1940 года, ^[21] хотя Гёдель, скорее всего, получил обозначение из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел. ^[19]

Существует два подхода к пониманию связи вселенной фон Неймана V с ZFC (вместе со многими вариациями каждого подхода и оттенками между ними). ​​Грубо говоря, формалисты будут склонны рассматривать V как нечто, вытекающее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество находится в V). С другой стороны, реалисты более склонны рассматривать иерархию фон Неймана как нечто, напрямую доступное интуиции, а аксиомы ZFC — как предложения, для истинности которых в V мы можем привести прямые интуитивные аргументы на естественном языке. Возможная средняя позиция заключается в том, что ментальная картина иерархии фон Неймана обеспечивает аксиомы ZFC мотивацией (так что они не являются произвольными), но не обязательно описывает объекты с реальным существованием.

• Бернайс, Пол (1991) [1958]. Аксиоматическая теория множеств . Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9.
• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Гёдель, Курт (1931). «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I». Монашефте по математике и физике . 38 : 173–198. дои : 10.1007/BF01700692.
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств . Annals of Mathematics Studies. Том 3. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Последствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 175–221. ISBN 9780821809778.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
• Манин, Юрий И. (2010) [1977]. Курс математической логики для математиков . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 53. Перевод Koblitz, N. (2-е изд.). New York: Springer-Verlag. pp. 89–96. doi :10.1007/978-1-4419-0615-1. ISBN 978-144-190-6144.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Ван Ностранд Рейнхольд.
• Мириманов, Дмитрий (1917). «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей». L'Enseignement Mathématique . 19 : 37–52.
• Мур, Грегори Х. (2013) [1982]. Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Пеано, Джузеппе (1889). Принципы арифметики: новый метод экспозиции. Братья Бокка.
• Ройтман, Джудит (2011) [1990]. Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3.
• Рубин, Джин Э. (1967). Теория множеств для математиков . Сан-Франциско: Holden-Day. ASIN  B0006BQH7S.
• Смаллиан, Рэймонд М.; Фиттинг , Мелвин (2010) [исправленное и переработанное издание работы, первоначально опубликованной в 1996 году издательством Оксфордского университета, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума . Довер. ISBN 978-0-486-47484-7.
• фон Нейман, Джон (1923). «Zur Einführung der transfiniten Zahlen». Акта Литт. акад. наук. Сегед X. 1 : 199–208.Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967), «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, стр. 346–354
• фон Нейман, Джон (1928a). «Аксиоматика Менгенлера». Mathematische Zeitschrift . 27 : 669–752. дои : 10.1007/bf01171122.
• фон Нейман, Джон (1928b). «Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre». Математические Аннален . 99 : 373–391. дои : 10.1007/bf01459102.
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (2009) [1910]. Principia Mathematica . Том первый. Merchant Books. ISBN 978-1-60386-182-3.
• Цермело, Эрнст (1930). «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre». Фундамента Математика . 16 : 29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 .