Ароншайн дерево

В теории множеств дерево Ароншайна — это дерево несчетной высоты без несчетных ветвей и несчетных уровней. Например, каждое дерево Суслина является деревом Ароншайна. В более общем смысле, для кардинального κ дерево κ -Ароншайна — это дерево высоты κ, в котором все уровни имеют размер меньше κ , а все ветви имеют высоту меньше κ (поэтому деревья Ароншайна — это то же самое, что и деревья -Ароншайна). Они названы в честь Нахмана Ароншайна , который построил дерево Ароншайна в 1934 году; его конструкция была описана Курепой (1935). ${\displaystyle \алеф _{1}}$

Говорят, что кардинальное число κ, для которого не существует деревьев κ -Ароншайна, обладает свойством дерева (иногда включается условие, что κ является регулярным и несчетным).

Лемма Кёнига утверждает, что деревьев Ароншайна не существует.${\displaystyle \алеф _{0}}$

Существование деревьев Ароншайна ( -деревьев Ароншайна) было доказано Нахманом Ароншайном и подразумевает, что аналог леммы Кёнига не верен для несчетных деревьев.${\displaystyle =\алеф _{1}}$

Существование -деревьев Ароншайна неразрешимо в ZFC: точнее, континуум-гипотеза подразумевает существование -дерева Ароншайна, а Митчелл и Сильвер показали, что непротиворечиво ( относительно существования слабо компактного кардинала ), что -деревьев Ароншайна не существует.${\displaystyle \алеф _{2}}$${\displaystyle \алеф _{2}}$${\displaystyle \алеф _{2}}$

Йенсен доказал, что из V = L следует, что для каждого бесконечного кардинального числа потомков  κ существует κ -дерево Ароншайна (фактически κ - дерево Суслина ) .

Каммингс и Форман (1998) показали (используя большую кардинальную аксиому), что непротиворечиво, что не существует деревьев Ароншайна для любого конечного n, отличного от 1.${\displaystyle \алеф _{н}}$

Если κ слабо компактно, то не существует κ -деревьев Ароншайна. И наоборот, если κ недостижимо и не существует κ -деревьев Ароншайна, то κ слабо компактно.

Дерево Ароншайна называется специальным , если существует функция f от дерева до рациональных чисел, такая что f ( x ) <  f ( y ) всякий раз, когда x  <  y . Аксиома Мартина MA( ) подразумевает, что все деревья Ароншайна являются специальными, предложение иногда сокращается как EATS . Более сильная аксиома собственного принуждения подразумевает более сильное утверждение, что для любых двух деревьев Ароншайна существует клубный набор уровней, такой что ограничения деревьев на этот набор уровней изоморфны, что говорит о том, что в некотором смысле любые два дерева Ароншайна по существу изоморфны (Abraham & Shelah 1985). С другой стороны, непротиворечиво, что существуют неспециальные деревья Ароншайна, и это также согласуется с обобщенной континуум-гипотезой плюс гипотезой Суслина (Schlindwein 1994).${\displaystyle \алеф _{1}}$

Специальное дерево Ароншайна можно построить следующим образом.

Элементами дерева являются некоторые вполне упорядоченные множества рациональных чисел с супремумом, который является рациональным или −∞. Если x и y являются двумя из этих множеств, то мы определяем x  ≤  y (в порядке дерева), что означает, что x является начальным сегментом упорядоченного множества  y . Для каждого счетного ординала α мы записываем U _α для элементов дерева уровня α, так что элементы U _α являются определенными множествами рациональных чисел с типом порядка α. Специальное дерево Ароншайна T является объединением множеств U _α для всех счетных α.

Построим счетные уровни U _α трансфинитной индукцией по α следующим образом, начиная с пустого множества U ₀ :

• Если α  + 1 является последователем, то U _{α +1} состоит из всех расширений последовательности x в U _α посредством рационального числа, большего, чем sup x . U _{α  + 1} является счетным, поскольку он состоит из счетного числа расширений каждого из счетного числа элементов в U _α .
• Если α — предел, то пусть T _α будет деревом всех точек уровня, меньшего α . Для каждого x в T _α и для каждого рационального числа q, большего sup x , выберем ветвь уровня α в T _α, содержащую x с супремумом q . Тогда U _α состоит из этих ветвей. U _α счетно, поскольку состоит из счетного числа ветвей для каждого из счетного числа элементов в T _α .

Функция f ( x ) = sup  x является рациональной или −∞ и обладает свойством, что если x  <  y , то f ( x ) <  f ( y ). Любая ветвь в T счетна, поскольку f отображает ветви инъективно в −∞ и рациональные числа. T несчетна, поскольку имеет непустой уровень U _α для каждого счетного ординала α , которые составляют первый несчетный ординал . Это доказывает, что T является специальным деревом Ароншайна.

Эту конструкцию можно использовать для построения деревьев κ -Ароншайна всякий раз, когда κ является последователем регулярного кардинала и верна обобщенная континуум-гипотеза, путем замены рациональных чисел более общим набором η .

• Дерево курепа
• линия Ароншайна

• Авраам, Ури; Шелах, Сахарон (1985), «Типы изоморфизма деревьев Ароншайна», Israel Journal of Mathematics , 50 : 75–113, doi : 10.1007/BF02761119
• Каммингс, Джеймс; Форман, Мэтью (1998), «Свойство дерева», Успехи в математике , 133 (1): 1–32, doi : 10.1006/aima.1997.1680 , MR  1492784
• Кунен, Кеннет (2011), Теория множеств , Исследования по логике, т. 34, Лондон: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, ЗБЛ  1262.03001
• Курепа, Г. (1935), «Ансамбли ordonnés et ramifiés», Publ. математика. унив. Белград , 4 : 1–138, JFM  61.0980.01, Zbl  0014.39401
• Шлиндвайн, Чаз (1994), «Последовательность гипотезы Суслина, неспециальное дерево Ароншайна и GCH», Журнал символической логики , 59 (1), Журнал символической логики, т. 59, № 1: 1–29, doi : 10.2307/2275246, JSTOR  2275246
• Шлиндвайн, Ч. (2001) [1994], "Дерево Ароншайна", Энциклопедия математики , EMS Press
• Шлиндвайн, Чаз (1989), «Специальные неспециальные -деревья», Теория множеств и ее приложения , 1401 : 160–166, doi :10.1007/BFb0097338${\displaystyle \алеф _{1}}$
• Тодорчевич, С. (1984), «Деревья и линейно упорядоченные множества», Справочник по теоретико-множественной топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 235–293, MR  0776625

• ПланетаМатематика