Слабо компактный кардинал

В математике слабо компактный кардинал — это определенный вид кардинального числа, введенный Эрдёшем и Тарским (1961); слабо компактные кардиналы — это большие кардиналы , что означает, что их существование не может быть доказано с помощью стандартных аксиом теории множеств . (Тарский первоначально называл их «не сильно некомпактными» кардиналами.)

Формально кардинал κ определяется как слабо компактный, если он несчетен и для каждой функции f : [κ] ² → {0, 1} существует множество мощности κ, однородное для f . В этом контексте [κ] ^{2 означает множество 2-элементных} подмножеств κ, а подмножество S из κ однородно для f тогда и только тогда, когда либо все [ S ] ² отображается в 0, либо все оно отображается в 1.

Название «слабо компактный» относится к тому факту, что если кардинал слабо компактен, то определенный связанный с ним бесконечный язык удовлетворяет версии теоремы о компактности ; см. ниже.

Следующие условия эквивалентны для любого несчетного кардинала κ:

1. κ слабо компактно.
2. для любого λ<κ, натурального числа n ≥ 2 и функции f: [κ] ⁿ → λ существует множество мощности κ, однородное для f. (Дрейк 1974, глава 7, теорема 3.5)
3. κ недоступно и обладает свойством дерева , то есть каждое дерево высоты κ имеет либо уровень размера κ, либо ветвь размера κ.
4. Каждый линейный порядок мощности κ имеет восходящую или нисходящую последовательность типа порядка κ. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p.185)
5. κ - неописуемо .${\displaystyle \Пи _{1}^{1}}$
6. κ обладает свойством расширения. Другими словами, для всех U ⊂ V _κ существует транзитивное множество X с κ ∈ X и подмножество S ⊂ X , такое, что ( V _κ , ∈, U ) является элементарной подструктурой ( X , ∈, S ). Здесь U и S рассматриваются как унарные предикаты .
7. Для каждого множества S мощности κ подмножеств κ существует нетривиальный κ-полный фильтр, который определяет S.
8. κ является κ- разворачиваемым .
9. κ недостижимо, а бесконечный язык L _κ,κ удовлетворяет теореме о слабой компактности.
10. κ недостижимо, а бесконечный язык L _κ,ω удовлетворяет теореме о слабой компактности.
11. κ недостижимо и для любого транзитивного множества мощности κ с κ , и удовлетворяющего достаточно большому фрагменту ZFC , существует элементарное вложение из в транзитивное множество мощности κ такое, что , с критической точкой κ. (Хаузер 1991, Теорема 1.3)${\displaystyle М}$${\displaystyle \in М}$${\displaystyle {}^{<\каппа }M\subset M}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle ^{<\каппа }N\подмножество N}$ ${\displaystyle крит(j)=}$
12. ${\displaystyle \каппа =\каппа ^{<\каппа }}$( определяется как ) и каждый -полный фильтр -полного поля множеств мощности содержится в -полном ультрафильтре. (WW Comfort, S. Negrepontis, Теория ультрафильтров , стр. 185)${\displaystyle \ каппа ^ {<\ каппа }}$${\displaystyle \sum _{\lambda <\kappa }\kappa ^{\lambda }}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \leq \каппа}$${\displaystyle \каппа}$
13. ${\displaystyle \каппа}$имеет свойство Александера, т.е. для любого пространства с -подбазой с мощностью , и каждое покрытие из элементами из имеет подпокрытие мощности , то является -компактным. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p.182--185)${\displaystyle X}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \leq \каппа}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle <\каппа}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \каппа}$
14. ${\displaystyle (2^{\каппа})_{\каппа }}$-компактный . (WW Comfort, S. Negrepontis, Теория ультрафильтров , стр.185)${\displaystyle \каппа}$

Говорят, что язык L _{κ,κ удовлетворяет теореме слабой компактности, если всякий раз, когда Σ является множеством предложений мощности не более κ и каждое подмножество с менее чем κ элементами имеет модель, то Σ имеет модель.} Сильно компактные кардиналы определяются аналогичным образом без ограничения на мощность множества предложений.

Каждый слабо компактный кардинал является рефлективным кардиналом , а также пределом рефлективных кардиналов. Это также означает, что слабо компактные кардиналы являются кардиналами Мало , а множество кардиналов Мало, меньших данного слабо компактного кардинала, является стационарным .

Если слабо компактно, то существуют цепочки хорошо обоснованных элементарных концевых расширений произвольной длины . ^{[1] с.6}${\displaystyle \каппа}$${\ displaystyle (V _ {\ каппа}, \ in)}$${\displaystyle <\каппа ^{+}}$

Слабо компактные кардиналы остаются слабо компактными в . ^[2] Если предположить, что V = L, кардинал слабо компактен тогда и только тогда, когда он 2-стационарен. ^[3]${\displaystyle L}$

• Список крупных кардинальных свойств

• Дрейк, Ф. Р. (1974), Теория множеств: Введение в большие кардиналы , Исследования по логике и основам математики, т. 76, Elsevier Science Ltd, ISBN 0-444-10535-2
• Эрдёш, Пол ; Тарский, Альфред (1961), «О некоторых проблемах, связанных с недоступными кардиналами», Очерки об основаниях математики , Иерусалим: Magnes Press, Еврейский ун-т, стр. 50–82, MR  0167422
• Хаузер, Кай (1991), «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения», Журнал символической логики , 56 (2), Ассоциация символической логики: 439–457, doi : 10.2307/2274692, JSTOR  2274692, S2CID  288779
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3