Сверхкомпактный кардинал

В теории множеств суперкомпактный кардинал — это тип большого кардинала, независимо введенный Соловеем и Рейнхардтом. ^[1] Они демонстрируют разнообразные свойства отражения.

Если - любой ординал , то -суперкомпакт означает, что существует элементарное вложение из вселенной в транзитивную внутреннюю модель с критической точкой , и${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \лямбда}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle М}$ ${\displaystyle \каппа}$${\ displaystyle j (\ каппа)> \ лямбда }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

То есть содержит все свои -последовательности. Тогда суперкомпактность означает , что она -суперкомпактна для всех ординалов .${\displaystyle М}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \лямбда}$

С другой стороны, несчетный кардинал является суперкомпактным, если для любого такого, что существует нормальная мера над , в следующем смысле.${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \vert A\vert \geq \ каппа}$${\displaystyle [A]^{<\каппа }}$

${\displaystyle [A]^{<\каппа }}$определяется следующим образом:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$.

Ультрафильтр над является хорошим, если он является -полным и , для каждого . Нормальная мера над является хорошим ультрафильтром над с дополнительным свойством, что каждая функция такая, что является постоянной на множестве в . Здесь «постоянная на множестве в » означает, что существует такое, что .${\displaystyle U}$${\displaystyle [A]^{<\каппа }}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$${\displaystyle а\в А}$${\displaystyle [A]^{<\каппа }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [A]^{<\каппа }}$${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle а\в А}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$

Суперкомпактные кардиналы обладают свойствами отражения. Если кардинал с некоторым свойством (скажем, 3- огромный кардинал ), который засвидетельствован структурой ограниченного ранга, существует выше суперкомпактного кардинала , то кардинал с этим свойством существует ниже . Например, если является суперкомпактным и обобщенная континуум-гипотеза (GCH) выполняется ниже , то она выполняется везде, поскольку биекция между множеством степеней и кардиналом по крайней мере была бы свидетелем ограниченного ранга для отказа GCH в , поэтому она также должна была бы существовать ниже .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu ^{++}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

Нахождение канонической внутренней модели для суперкомпактных кардиналов является одной из основных проблем теории внутренних моделей .

Наименьший суперкомпактный кардинал — это наименьший такой, что для каждой структуры с мощностью области и для каждого предложения, такого что , существует подструктура с меньшей областью (т.е. ), которая удовлетворяет . ^[2]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$${\displaystyle \phi }$

Суперкомпактность имеет комбинаторную характеристику, похожую на свойство быть невыразимым . Пусть будет множеством всех непустых подмножеств, мощность которых составляет . Кардинал является суперкомпактным тогда и только тогда, когда для каждого множества (эквивалентно каждому кардиналу ), для каждой функции , если для всех , то существует некоторое такое, что является стационарным. ^[3]${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle f(X)\subseteq X}$${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

Магидор получил вариант свойства дерева , который выполняется для недостижимого кардинала тогда и только тогда, когда он является суперкомпактным. ^[4]

• Неуязвимость
• Сильно компактный кардинал
• Список крупных кардинальных свойств