Вселенная (математика)

В математике , и особенно в теории множеств , теории категорий , теории типов и основаниях математики , вселенная — это совокупность, содержащая все сущности, которые мы хотим рассмотреть в данной ситуации.

В теории множеств универсумы часто являются классами , которые содержат (в качестве элементов ) все множества, для которых надеются доказать определенную теорему . Эти классы могут служить внутренними моделями для различных аксиоматических систем, таких как ZFC или теория множеств Морса–Келли . Вселенные имеют решающее значение для формализации концепций в теории категорий внутри теоретико-множественных основ. Например, каноническим мотивирующим примером категории является Set , категория всех множеств, которая не может быть формализована в теории множеств без некоторого понятия универсума.

В теории типов вселенная — это тип, элементами которого являются типы.

Возможно, самая простая версия заключается в том, что любое множество может быть вселенной, пока объект исследования ограничен этим конкретным множеством. Если объект исследования образован действительными числами , то действительная линия R , которая является множеством действительных чисел, может быть рассматриваемой вселенной. Неявно, это вселенная, которую использовал Георг Кантор , когда он впервые разработал современную наивную теорию множеств и мощность в 1870 - х и 1880-х годах в приложениях к действительному анализу . Единственными множествами , которые изначально интересовали Кантора, были подмножества R.

Эта концепция вселенной отражена в использовании диаграмм Венна . В диаграмме Венна действие традиционно происходит внутри большого прямоугольника, который представляет вселенную U. Обычно говорят, что множества представлены кругами; но эти множества могут быть только подмножествами U. Дополнение множества A тогда задается той частью прямоугольника за пределами круга A. Строго говоря, это относительное дополнение U \ A множества A относительно U ; но в контексте, где U является вселенной, его можно рассматривать как абсолютное дополнение A ^C множества A. Аналогично, существует понятие нулевого пересечения , то есть пересечения нулевых множеств (что означает отсутствие множеств, ненулевые множества ).

Без вселенной нулевое пересечение было бы множеством абсолютно всего, что обычно считается невозможным; но имея в виду вселенную, нулевое пересечение можно рассматривать как множество всего рассматриваемого, которое есть просто U. Эти соглашения весьма полезны в алгебраическом подходе к базовой теории множеств, основанной на булевых решетках . За исключением некоторых нестандартных форм аксиоматической теории множеств (таких как Новые основания ), класс всех множеств не является булевой решеткой (это только относительно дополненная решетка ).

Напротив, класс всех подмножеств U , называемый множеством мощности U , является булевой решеткой. Абсолютное дополнение, описанное выше, является операцией дополнения в булевой решетке; и U , как нульарное пересечение, служит верхним элементом (или нульарным пересечением ) в булевой решетке. Тогда законы Де Моргана , которые имеют дело с дополнениями встреч и объединений (которые являются объединениями в теории множеств) применяются и применяются даже к нульарному пересечению и нульарному соединению (которое является пустым множеством ).

Однако, как только рассматриваются подмножества заданного множества X (в случае Кантора X = R ), вселенная может потребовать, чтобы была набором подмножеств X . (Например, топология на X является набором подмножеств X .) Различные наборы подмножеств X сами по себе не будут подмножествами X , но вместо этого будут подмножествами P X , множества мощности X . Это может быть продолжено; объект исследования может затем состоять из таких наборов подмножеств X , и так далее, в этом случае вселенная будет P ( P X ). В другом направлении могут быть рассмотрены бинарные отношения на X (подмножества декартова произведения X × X ) или функции от X к себе, требующие вселенные, такие как P ( X × X ) или X ^X .

Таким образом, даже если первичный интерес представляет X , вселенная может быть значительно больше X. Следуя вышеизложенным идеям, можно захотеть, чтобы надстройка над X была вселенной. Это можно определить с помощью структурной рекурсии следующим образом:

• Пусть S ₀ X будет самим X.
• Пусть S ₁ X будет объединением X и P X .​
• Пусть S ₂ X будет объединением S ₁ X и P ( S ₁ X ).
• В общем случае пусть S _{n +1} X будет объединением S _n X и P ( S _n X ).

Тогда надстройка над X , обозначаемая как S X , представляет собой объединение S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X и т. д.; или

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

Независимо от того, какое множество X является начальной точкой, пустое множество {} будет принадлежать S ₁ X . Пустое множество — это ординал фон Неймана [0]. Тогда {[0]}, множество, единственным элементом которого является пустое множество, будет принадлежать S ₂ X ; это ординал фон Неймана [1]. Аналогично, {[1]} будет принадлежать S ₃ X , и, таким образом, также будут принадлежать {[0],[1]}, как объединение {[0]} и {[1]}; это ординал фон Неймана [2]. Продолжая этот процесс, каждое натуральное число представляется в надстройке своим ординалом фон Неймана. Далее, если x и y принадлежат надстройке, то также принадлежат {{ x },{ x , y }}, что представляет упорядоченную пару ( x , y ). Таким образом, надстройка будет содержать различные желаемые декартовы произведения. Тогда надстройка также содержит функции и отношения , поскольку они могут быть представлены как подмножества декартовых произведений. Процесс также дает упорядоченные n -кортежи, представленные как функции, областью определения которых является ординал фон Неймана [ n ], и так далее.

Итак, если отправной точкой является просто X = {}, большая часть множеств, необходимых для математики, появляется как элементы надстройки над {}. Но каждый из элементов S {} будет конечным множеством . Каждое из натуральных чисел принадлежит ему, но множество N всех натуральных чисел не принадлежит (хотя оно является подмножеством S {}). Фактически, надстройка над {} состоит из всех наследственно конечных множеств . Как таковая, она может считаться вселенной финитистской математики . Говоря анахронично , можно предположить, что финитист 19-го века Леопольд Кронекер работал в этой вселенной; он считал, что каждое натуральное число существует, но множество N (« завершенная бесконечность ») — нет.

Однако S {} неудовлетворителен для обычных математиков (которые не являются финитистами), потому что, хотя N может быть доступно как подмножество S {}, все еще не является множеством степеней N. В частности, произвольные множества действительных чисел недоступны. Поэтому может потребоваться начать процесс заново и сформировать S ( S {}). Однако, чтобы не усложнять, можно взять множество N натуральных чисел как данность и сформировать SN , надстройку над N . Это часто считают вселенной обычной математики . Идея состоит в том, что вся математика, которая обычно изучается, относится к элементам этой вселенной. Например, любая из обычных конструкций действительных чисел (скажем, с помощью разрезов Дедекинда ) принадлежит SN . Даже нестандартный анализ может быть выполнен в надстройке над нестандартной моделью натуральных чисел.

Есть небольшое изменение в философии по сравнению с предыдущим разделом, где вселенная была любым интересующим множеством U. Там изучаемые множества были подмножествами s вселенной; теперь они являются членами вселенной. Таким образом, хотя P ( S X ) является булевой решеткой, важно то, что само S X таковым не является. Следовательно, редко применяются понятия булевых решеток и диаграмм Венна непосредственно к суперструктурной вселенной, как это было к вселенным степенных множеств предыдущего раздела. Вместо этого можно работать с отдельными булевыми решетками P A , где A — любое соответствующее множество, принадлежащее S X ; тогда P A является подмножеством S X (и фактически принадлежит S X ). В частности, в случае Кантора X = R произвольные наборы действительных чисел недоступны, поэтому там действительно может потребоваться начать процесс заново.

Можно дать точное значение утверждению, что SN является вселенной обычной математики; это модель теории множеств Цермело , аксиоматической теории множеств , первоначально разработанной Эрнстом Цермело в 1908 году. Теория множеств Цермело была успешной именно потому, что она была способна аксиоматизировать «обычную» математику, выполняя программу, начатую Кантором более 30 лет назад. Но теория множеств Цермело оказалась недостаточной для дальнейшего развития аксиоматической теории множеств и других работ в области оснований математики , особенно теории моделей .

В качестве яркого примера, описание процесса надстройки выше само по себе не может быть выполнено в теории множеств Цермело. Последний шаг, формирование S как бесконечного объединения, требует аксиомы замены , которая была добавлена ​​к теории множеств Цермело в 1922 году для формирования теории множеств Цермело–Френкеля , набора аксиом, наиболее широко принятого сегодня. Таким образом, хотя обычная математика может быть выполнена в SN , обсуждение SN выходит за рамки «обычной», в метаматематику .

Но если вводится мощная теория множеств, то процесс суперструктуры выше оказывается всего лишь началом трансфинитной рекурсии . Возвращаясь к X = {}, пустому множеству, и вводя (стандартную) нотацию V _i для S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {} и так далее, как и прежде. Но то, что раньше называлось «суперструктурой», теперь является просто следующим пунктом в списке: V _ω , где ω — первое бесконечное порядковое число . Это можно распространить на произвольные порядковые числа :

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

определяет V _i для любого порядкового числа i . Объединение всех V _i является вселенной фон Неймана V :

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$.

Каждый отдельный V _i является множеством, но их объединение V является собственным классом . Аксиома основания , которая была добавлена ​​в теорию множеств ZF примерно в то же время, что и аксиома замены, гласит, что каждое множество принадлежит V .

Конструктивная вселенная Курта Гёделя L и аксиома конструируемости

Недоступные кардиналы дают модели ZF и иногда дополнительные аксиомы и эквивалентны существованию множества вселенной Гротендика

В интерпретации логики первого порядка вселенная (или область дискурса) — это множество индивидуумов (индивидуальных констант), по которым пробегают кванторы . Предложение, такое как ∀ x ( x ² ≠ 2) , неоднозначно, если не определена область дискурса. В одной интерпретации областью дискурса может быть множество действительных чисел ; в другой интерпретации это может быть множество натуральных чисел . Если областью дискурса является множество действительных чисел, предложение ложно, с x = √ 2 в качестве контрпримера; если областью является множество натуральных чисел, предложение истинно, поскольку 2 не является квадратом никакого натурального числа.

Существует еще один подход к вселенным, который исторически связан с теорией категорий . Это идея вселенной Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это множество, внутри которого могут быть выполнены все обычные операции теории множеств. Эта версия вселенной определяется как любое множество, для которого выполняются следующие аксиомы: ^[1]

1. ${\displaystyle x\in u\in U}$подразумевает${\displaystyle x\in U}$
2. ${\displaystyle u\in U}$и подразумевают { u , v }, ( u , v ) и .${\displaystyle v\in U}$${\displaystyle u\times v\in U}$
3. ${\displaystyle x\in U}$подразумевает и${\displaystyle {\mathcal {P}}x\in U}$${\displaystyle \cup x\in U}$
4. ${\displaystyle \omega \in U}$(здесь представлено множество всех конечных ординалов .)${\displaystyle \omega =\{0,1,2,...\}}$
5. если — сюръективная функция с и , то .${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle b\subset U}$${\displaystyle b\in U}$

Наиболее распространенное использование универсума Гротендика U — взять U в качестве замены категории всех множеств. Говорят, что множество S является U - малым, если S ∈ U , и U - большим в противном случае. Категория U - множество всех U - малых множеств имеет в качестве объектов все U - малых множества и в качестве морфизмов все функции между этими множествами. И множество объектов, и множество морфизмов являются множествами, поэтому становится возможным обсуждать категорию «всех» множеств без привлечения надлежащих классов. Тогда становится возможным определить другие категории в терминах этой новой категории. Например, категория всех U - малых категорий — это категория всех категорий, множество объектов и множество морфизмов которых находятся в U . Тогда обычные аргументы теории множеств применимы к категории всех категорий, и не нужно беспокоиться о том, что случайно заговоришь о надлежащих классах. Поскольку вселенные Гротендика чрезвычайно велики, этого достаточно почти во всех приложениях.

Часто при работе со вселенными Гротендика математики принимают Аксиому Вселенных : «Для любого множества x существует вселенная U такая, что x ∈ U ». Суть этой аксиомы в том, что любое множество, с которым мы сталкиваемся, является U -малым для некоторого U , поэтому можно применить любое рассуждение, сделанное в общей вселенной Гротендика. ^[2] Эта аксиома тесно связана с существованием строго недоступных кардиналов .

В некоторых теориях типов, особенно в системах с зависимыми типами , сами типы могут рассматриваться как термины . Существует тип, называемый вселенной (часто обозначаемый ), элементы которого — типы. Чтобы избежать парадоксов, таких как парадокс Жирара (аналог парадокса Рассела для теории типов), теории типов часто снабжаются счетной бесконечной иерархией таких вселенных, где каждая вселенная является термином следующей. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Существует по крайней мере два вида вселенных, которые можно рассматривать в теории типов: вселенные в стиле Рассела (названные в честь Бертрана Рассела ) и вселенные в стиле Тарского (названные в честь Альфреда Тарского ). ^{[3] [4] [5]} Вселенная в стиле Рассела — это тип, термины которого являются типами. ^[3] Вселенная в стиле Тарского — это тип вместе с операцией интерпретации, позволяющей нам рассматривать его термины как типы. ^[3]

Например: ^[6]

Открытость теории типов Мартина-Лёфа особенно проявляется во введении так называемых универсумов. Типовые универсумы инкапсулируют неформальное понятие отражения, роль которого можно объяснить следующим образом. В ходе разработки конкретной формализации теории типов теоретик типов может оглянуться на правила для типов, скажем, C, которые были введены до сих пор, и выполнить шаг признания того, что они действительны в соответствии с неформальной семантикой объяснения смысла Мартина-Лёфа . Этот акт «интроспекции» является попыткой осознать концепции, которые управляли нашими конструкциями в прошлом. Он порождает « принцип отражения , который, грубо говоря, говорит, что все, что мы привыкли делать с типами, может быть сделано внутри универсума» (Martin-Löf 1975, 83). На формальном уровне это приводит к расширению существующей формализации теории типов в том, что типообразующие способности C становятся закрепленными в типовом универсуме U _C, отражающем C.

• Конгломерат (математика)
• Область дискурса
• вселенная Гротендика
• Вселенная Эрбранда
• Свободный объект
• Открытая формула
• Космос (математика)

• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика . Springer-Verlag New York, Inc.

• «Вселенная», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор». Математический мир .