Предельный порядковый номер

В теории множеств предельный ординал — это ординальное число , которое не является ни нулем, ни последующим ординалом . С другой стороны, ординал λ является предельным ординалом, если существует ординал, меньший λ, и всякий раз, когда β является ординалом, меньшим λ, то существует ординал γ такой, что β < γ < λ. Каждое ординальное число является либо нулем, либо последующим ординалом, либо предельным ординалом.

Например, наименьший предельный ординал — это ω , наименьший предельный ординал, больший любого натурального числа . Это предельный ординал, потому что для любого меньшего ординала (т. е. для любого натурального числа) n мы можем найти другое натуральное число, большее его (например, n +1), но все еще меньшее ω. Следующий наименьший предельный ординал — это ω+ω. Это будет обсуждаться далее в статье.

Используя определение фон Неймана для ординалов , каждый ординал является вполне упорядоченным множеством всех меньших ординалов. Объединение непустого множества ординалов, не имеющее наибольшего элемента , всегда является предельным ординалом. Используя кардинальное назначение фон Неймана , каждое бесконечное кардинальное число также является предельным ординалом.

Другие способы определения предельных порядковых чисел:

• Он равен супремуму всех ординалов ниже него, но не равен нулю. (Сравните с последующим ординалом: набор ординалов ниже него имеет максимум, поэтому супремум — это этот максимум, предыдущий ординал.)
• Он не равен нулю и не имеет максимального элемента.
• Его можно записать в виде ωα для α > 0. То есть в нормальной форме Кантора нет конечного числа в качестве последнего члена, а порядковый номер отличен от нуля.
• Это предельная точка класса порядковых чисел относительно топологии порядка . (Остальные порядковые числа являются изолированными точками .)

Существуют некоторые разногласия относительно того, следует ли классифицировать 0 как предельное порядковое число, поскольку у него нет непосредственного предшественника; некоторые учебники включают 0 в класс предельных порядковых чисел ^[1], тогда как другие исключают его. ^[2]

Поскольку класс порядковых чисел хорошо упорядочен , существует наименьший бесконечный предельный порядковый номер; обозначается ω (омега). Порядковый номер ω также является наименьшим бесконечным порядковым номером (не принимая во внимание предел ), так как он является наименьшей верхней границей натуральных чисел . Следовательно, ω представляет собой тип порядка натуральных чисел. Следующий предельный порядковый номер выше первого — ω + ω = ω·2, что обобщается до ω· n для любого натурального числа n . Взяв объединение ( операцию супремума на любом наборе порядковых номеров) всех ω·n, мы получаем ω·ω = ω ² , что обобщается до ω ⁿ для любого натурального числа n . Этот процесс можно дополнительно повторить следующим образом, чтобы получить:

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

В общем, все эти рекурсивные определения через умножение, возведение в степень, повторное возведение в степень и т. д. дают предельные ординалы. Все обсуждавшиеся до сих пор ординалы по-прежнему являются счетными ординалами. Однако не существует рекурсивно перечислимой схемы для систематического именования всех ординалов, меньших ординала Чёрча-Клини , который является счетным ординалом.

За счетным первым несчетным ординалом обычно понимают ω ₁ . Он также является предельным ординалом.

Продолжая, можно получить следующее (все из которых теперь увеличиваются по мощности):

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

В общем случае мы всегда получаем предельный ординал при объединении непустого множества ординалов, не имеющего максимального элемента.

Ординалы вида ω²α при α > 0 являются пределами пределов и т. д.

Классы последовательных ординалов и предельных ординалов (различных конфинальностей ), а также ноль исчерпывают весь класс ординалов, поэтому эти случаи часто используются в доказательствах с помощью трансфинитной индукции или определениях с помощью трансфинитной рекурсии . Предельные ординалы представляют собой своего рода «поворотную точку» в таких процедурах, в которых необходимо использовать ограничивающие операции, такие как взятие объединения по всем предыдущим ординалам. В принципе, можно сделать что угодно с предельными ординалами, но взятие объединения непрерывно в топологии порядка, и это обычно желательно.

Если мы используем кардинальное назначение фон Неймана , каждое бесконечное кардинальное число также является предельным ординалом (и это уместное замечание, поскольку кардинальное число происходит от латинского cardo, означающего шарнир или поворотную точку ): доказательство этого факта осуществляется простой демонстрацией того, что каждый бесконечный последующий ординал равночисленен предельному ординалу с помощью аргумента Hotel Infinity .

Количественные числительные имеют свое собственное представление о преемственности и пределе (все переходит на более высокий уровень).

Аддитивно неразложимый

Предельный ординал α называется аддитивно неразложимым, если его нельзя выразить в виде суммы β < α ординалов, меньших α. Эти числа — любой ординал вида для β ординал. Наименьшее записывается , второе записывается , и т.д. ^[3]${\displaystyle \omega ^{\beta }}$${\displaystyle \гамма _{0}}$${\displaystyle \гамма _{1}}$

Мультипликативно неразложимый

Предельный ординал α называется мультипликативно неразложимым, если его нельзя выразить как произведение β < α ординалов, меньших α. Эти числа являются любым ординалом вида для β ординал. Наименьшее записывается , второе записывается , и т.д. ^[3]${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\beta }}}$${\displaystyle \дельта _{0}}$${\displaystyle \дельта _{1}}$

Экспоненциально неразложимый и за его пределами

Термин «экспоненциально неразложимый» не относится к ординалам, не выражаемым как экспоненциальное произведение (?) β < α ординалов, меньших α, а скорее к числам эпсилон , «тетрационно неразложимый» относится к дзета-числам, «пентационно неразложимый» относится к эта-числам и т. д. ^[3]

• Порядковая арифметика
• Ограничить кардинальное
• Фундаментальная последовательность (порядковые номера)