Мало кардинал

В математике кардинал Мало — это определенный вид большого кардинального числа. Кардиналы Мало были впервые описаны Полом Мало  (1911, 1912, 1913). Как и в случае со всеми большими кардиналами, ни одно из этих разновидностей кардиналов Мало не может быть доказано с помощью ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива ).

Кардинальное число называется сильно Мало, если оно сильно недостижимо и множество стационарно относительно κ.${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$ ${\displaystyle U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ строго недоступен}}\}}$

Кардинал называется слабо Мало, если он слабо недостижим и множество слабо недостижимых кардиналов, меньших , является стационарным в .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$

Термин «кардинал Мало» теперь обычно означает «сильный кардинал Мало», хотя кардиналы, первоначально рассматриваемые Мало, были слабыми кардиналами Мало.

• Если κ — предельный ординал и множество регулярных ординалов, меньших κ, стационарно относительно κ, то κ — слабо Мало.

Основная трудность в доказательстве этого состоит в том, чтобы показать, что κ является регулярным. Мы предположим, что он не является регулярным, и построим клубный набор , который даст нам μ, такой что:

µ = cf(µ) < cf(κ) < µ < κ, что является противоречием.

Если бы κ не было регулярным, то cf(κ) < κ. Мы могли бы выбрать строго возрастающую и непрерывную cf(κ)-последовательность, которая начинается с cf(κ)+1 и имеет κ в качестве своего предела. Пределы этой последовательности были бы клубом по κ. Поэтому среди этих пределов должен быть регулярный μ. Поэтому μ является пределом начальной подпоследовательности cf(κ)-последовательности. Таким образом, ее конфинальность меньше конфинальности κ и больше ее в одно и то же время; что является противоречием. Таким образом, предположение о том, что κ не является регулярным, должно быть ложным, т. е. κ является регулярным.

Никакого стационарного множества не может существовать ниже с требуемым свойством, поскольку {2,3,4,...} является клубом в ω, но не содержит регулярных ординалов; поэтому κ несчетно. И это регулярный предел регулярных кардиналов; поэтому он слабо недостижим. Затем используется множество несчетных предельных кардиналов ниже κ в качестве клубного множества, чтобы показать, что стационарное множество можно считать состоящим из слабо недостижимых.${\displaystyle \алеф _{0}}$

• Если κ является слабым пределом Мало и одновременно сильным пределом, то κ является пределом Мало.

κ слабо недостижимо и является сильным пределом, поэтому оно сильно недостижимо.

Мы показываем, что множество несчетных сильных предельных кардиналов ниже κ является клубом по κ. Пусть μ ₀ будет большим из порога и ω ₁ . Для каждого конечного n пусть μ _n+1 = 2 ^{μ _n} , что меньше κ, потому что это сильный предельный кардинал. Тогда их предел является сильным предельным кардиналом и меньше κ по своей регулярности. Пределы несчетных сильных предельных кардиналов также являются несчетными сильными предельными кардиналами. Поэтому их множество является клубом по κ. Пересечем этот клубный набор со стационарным набором слабо недостижимых кардиналов, меньших κ, чтобы получить стационарный набор сильно недостижимых кардиналов, меньших κ.

Термин «гипернедоступный» неоднозначен. В этом разделе кардинал κ называется гипернедоступным, если он является κ-недоступным (в отличие от более распространенного значения 1-недоступный).

Предположим, что κ — это Мало. Мы действуем посредством трансфинитной индукции по α, чтобы показать, что κ является α-недостижимым для любого α ≤ κ. Поскольку κ — это Мало, κ недостижимо; и, таким образом, 0-недостижимо, что одно и то же.

Если κ является α-недоступным, то существуют β-недоступные (для β < α), произвольно близкие к κ. Рассмотрим множество одновременных пределов таких β-недоступных, больших некоторого порога, но меньших κ. Оно неограниченно по κ (представьте себе вращение по β-недоступным для β < α ω-раз, выбирая каждый раз больший кардинал, а затем берём предел, который меньше κ по регулярности (это то, что не выполняется, если α ≥ κ)). Оно замкнуто, поэтому является клубом по κ. Таким образом, по Мало-недоступности κ оно содержит недостижимое. Это недостижимое на самом деле является α-недостижимым. Поэтому κ является α+1-недостижимым.

Если λ ≤ κ — предельный ординал и κ является α-недоступным для всех α < λ, то каждое β < λ также меньше α для некоторого α < λ. Так что этот случай тривиален. В частности, κ является κ-недоступным и, таким образом, гипер-недоступным .

Чтобы показать, что κ является пределом гипернедоступности и, таким образом, 1-гипернедоступностью, нам нужно показать, что диагональное множество кардиналов μ < κ, которые являются α-недоступными для любого α < μ, является клубом в κ. Выберите 0-недоступность выше порога, назовите ее α ₀ . Затем выберите α ₀ -недоступность, назовите ее α ₁ . Продолжайте повторять это и брать пределы на пределах, пока не достигнете фиксированной точки, назовите ее μ. Тогда μ обладает требуемым свойством (будучи одновременным пределом α-недоступности для всех α < μ) и меньше κ по регулярности. Пределы таких кардиналов также обладают свойством, поэтому их множество является клубом в κ. По Мало-недоступности κ в этом множестве есть недостижимая, и она гипернедоступна. Итак, κ является 1-гипернедоступным. Мы можем пересечь этот же клубный набор со стационарным набором, меньшим κ, чтобы получить стационарный набор гипернедоступных элементов, меньших κ.

Остальная часть доказательства того, что κ является α-гипернедоступным, имитирует доказательство того, что оно является α-недоступным. Так что κ является гипер-гипернедоступным и т. д.

Термин α-Mahlo неоднозначен, и разные авторы дают неэквивалентные определения. Одно из определений заключается в том, что кардинал κ называется α-Mahlo для некоторого ординала α, если κ является строго недостижимым, и для каждого ординала β<α множество кардиналов β-Mahlo ниже κ является стационарным в κ. ^{[1] с. 3} Однако условие «κ является строго недостижимым» иногда заменяется другими условиями, такими как «κ является регулярным» или «κ является слабо недостижимым» или «κ является Мало». Мы можем определить «гипер-Мало», «α-гипер-Мало», «гипер-гипер-Мало», «слабо α-Мало», «слабо гипер-Мало», «слабо α-гипер-Мало» и так далее по аналогии с определениями для недоступных, так, например, кардинальное κ называется гипер-Мало, если оно является κ-Мало.

Регулярный несчетный кардинал κ является сильно Мало тогда и только тогда, когда существует нормальный (т.е. нетривиальный и замкнутый относительно диагональных пересечений ) κ-полный фильтр на множестве мощности κ, замкнутый относительно операции Мало, которая отображает множество ординалов S в {α S : α имеет несчетную конфинальность и S∩α является стационарным в α}${\displaystyle \в}$

Для α < κ ⁺ определим подмножества M _α (κ) ⊆ κ индуктивно следующим образом:

• M ₀ (κ) — множество регулярных кардиналов ниже κ,
• M _α+1 (κ) — множество регулярных λ < κ таких, что M _α (κ) ∩ λ стационарно по λ,
• для пределов α с cf(α) < κ, M _α (κ) есть пересечение M _β (κ) по всем β < α, и
• для пределов α с cf(α) = κ выберите нумерацию f : κ → α конфинального подмножества. Тогда M _α (κ) — это множество всех λ < κ таких, что λ ∈ M _f(γ) (κ) для всех γ < λ.

Хотя точное определение зависит от выбора конфинального подмножества для каждого α < κ ⁺ конфинальности κ, любой выбор даст ту же последовательность подмножеств по модулю нестационарного идеала.

Для δ ≤ κ ⁺ , κ тогда называется δ-Mahlo тогда и только тогда, когда M _α (κ) является стационарным по κ для всех α < δ. Кардинальное κ является κ ⁺ -Mahlo тогда и только тогда, когда оно является значительно Mahlo.

Свойства недоступности, Мало, слабо Мало, α-Мало, сильно Мало и т. д. сохраняются, если мы заменим вселенную внутренней моделью .

Каждый отражающий кардинал имеет строго большую силу согласованности, чем в значительной степени Мало, но недоступные отражающие кардиналы не являются в общем Мало -- см. https://mathoverflow.net/q/212597

Если X — класс ординалов, то мы можем сформировать новый класс ординалов M ( X ), состоящий из ординалов α несчетной конфинальности, таких что α ∩ X является стационарным относительно α. Эта операция M называется операцией Мало . Ее можно использовать для определения кардиналов Мало: например, если X — класс регулярных кардиналов, то M ( X ) — класс слабо кардиналов Мало. Условие того, что α имеет несчетную конфинальность, гарантирует, что замкнутые неограниченные подмножества α замкнуты относительно пересечения и, таким образом, образуют фильтр; на практике элементы X часто уже имеют несчетную конфинальность, и в этом случае это условие избыточно. Некоторые авторы добавляют условие того, что α находится в X , что на практике обычно не имеет большого значения, поскольку часто выполняется автоматически.

Для фиксированного регулярного несчетного кардинала κ операция Мало индуцирует операцию над булевой алгеброй всех подмножеств κ по модулю нестационарного идеала.

Операция Мало может быть итерирована трансфинитно следующим образом:

• М ⁰ ( Х ) = Х
• M ^α+1 ( Икс ) знак равно М ( М ^α ( Икс ))
• Если α — предельный ординал, то M ^α ( X ) — это пересечение M ^β ( X ) для β < α

Эти итеративные операции Мало создают классы кардиналов α-Мало, начиная с класса строго недоступных кардиналов.

Также возможно диагонализировать этот процесс, определив

• M ^Δ ( X ) — это множество ординалов α, которые содержатся в M ^β ( X ) для β<α.

И, конечно, этот процесс диагонализации также может быть итерирован. Диагонализованная операция Мало производит кардиналы гипер-Мало и так далее.

Аксиома F — это утверждение, что каждая нормальная функция на ординалах имеет регулярную неподвижную точку. (Это не аксиома первого порядка, поскольку она квантифицирует все нормальные функции, поэтому ее можно рассматривать либо как аксиому второго порядка, либо как схему аксиом.) Кардинал называется Мало, если каждая нормальная функция на нем имеет регулярную неподвижную точку ^{[ требуется ссылка ]} , поэтому аксиома F в некотором смысле утверждает, что класс всех ординалов — Мало. ^{[ требуется ссылка ]} Кардинал κ является Мало тогда и только тогда, когда форма второго порядка аксиомы F выполняется в V _κ . ^{[ требуется ссылка ]} Аксиома F, в свою очередь, эквивалентна утверждению, что для любой формулы φ с параметрами существуют произвольно большие недоступные ординалы α, такие что V _α отражает φ (другими словами, φ выполняется в V _α тогда и только тогда, когда оно выполняется во всей вселенной) (Drake 1974, глава 4).

Харви Фридман  (1981) показал, что существование кардиналов Мало является в некотором смысле необходимым предположением для доказательства некоторых теорем о функциях Бореля на произведениях замкнутого единичного интервала.

Пусть будет , -кратное итеративное декартово произведение замкнутого единичного интервала с самим собой. Группа всех перестановок , которые перемещают только конечное число натуральных чисел, может рассматриваться как действующая на перестановкой координат. Действие группы также действует диагонально на любое из произведений , определяя злоупотребление обозначениями . Для , пусть , если и находятся на одной орбите под этим диагональным действием.${\displaystyle Q}$${\displaystyle [0,1]^{\омега }}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle (H,\cdot)}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Q^{n}}$${\displaystyle g\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(g\cdot x_{1},\ldots ,g\cdot x_{n})}$${\displaystyle x,y\in Q^{n}}$${\displaystyle x\сим y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

Пусть будет борелевской функцией такой, что для любого и , если то . Тогда существует последовательность такая, что для всех последовательностей индексов , является первой координатой . Эта теорема доказуема в , но не в любой теории для некоторого фиксированного . ^[2]${\displaystyle F:Q\times Q^{n}\to [0,1]}$${\displaystyle x\in Q^{n}}$${\displaystyle y,z\in Q}$${\displaystyle y\сим z}$${\displaystyle F(x,y)=F(x,z)}$${\displaystyle (x_{k})_{0\leq k\leq m}}$${\displaystyle s<t_{1}<\ldots <t_{n}\leq m}$${\displaystyle F(x_{s},(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}}))}$${\displaystyle x_{s+1}}$${\displaystyle ZFC+\forall (n<\omega )\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})}$${\displaystyle ZFC+\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})}$${\displaystyle n<\omega }$

• Недоступный кардинал
• Стационарный набор
• Внутренняя модель

• Drake, Frank R. (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы . Исследования по логике и основаниям математики. Том 76. Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2. Збл  0294.02034.
• Фридман, Харви (1981). «О необходимом использовании абстрактной теории множеств» (PDF) . Advances in Mathematics . 41 (3): 209–280. doi : 10.1016/0001-8708(81)90021-9 . Получено 19 декабря 2022 г. .
• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала . Springer Monographs in Mathematics (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-00384-3. Збл  1022.03033.
• Мало, Пауль (1911), «Über Lineare Transfinite Mengen», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 63 : 187–225, JFM  42.0090.02.
• Мало, Пауль (1912), «Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Математически-физический класс , 64 : 108–112, JFM  43.0113.01
• Мало, Пауль (1913), «Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen II», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 65 : 268–282, JFM  44.0092.02.