Основная модель

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Основная модель» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории множеств основная модель — это определяемая внутренняя модель вселенной всех множеств . Хотя теоретики множеств ссылаются на «основную модель», это не однозначно идентифицированный математический объект. Скорее, это класс внутренних моделей, которые при правильных предположениях теории множеств обладают очень специальными свойствами, в частности, свойствами покрытия . Интуитивно основная модель — это «наибольшая каноническая внутренняя модель из существующих», ^[1] (здесь «канонический» — неопределенный термин) ^{[2] с. 28} и обычно ассоциируется с большим кардинальным понятием. Если Φ — большое кардинальное понятие, то фраза «основная модель ниже Φ» относится к определяемой внутренней модели, которая демонстрирует специальные свойства при предположении, что не существует кардинального числа, удовлетворяющего Φ. Программа основной модели стремится анализировать большие кардинальные аксиомы, определяя основные модели ниже них.

Первой базовой моделью была конструируемая вселенная L Курта Гёделя . Рональд Йенсен доказал лемму покрытия для L в 1970-х годах при условии несуществования нуля диеза , установив, что L является «базовой моделью ниже нуля диеза». Работа Соловея выделила другую базовую модель L [ U ], для U ультрафильтра на измеримом кардинале ( и связанного с ним « диеза » , нулевого кинжала ). Вместе с Тони Доддом Йенсен построил базовую модель Додда–Йенсена («базовую модель ниже измеримого кардинала») и доказал лемму покрытия для нее и обобщенную лемму покрытия для L [ U ].

Митчелл использовал связные последовательности мер для разработки основных моделей, содержащих множественные или более высокого порядка измеримые величины. Еще позже модель ядра Steel использовала расширители и итерационные деревья для построения основной модели ниже кардинала Вудина .

Основные модели строятся с помощью трансфинитной рекурсии из небольших фрагментов основной модели, называемых мышами . Важным компонентом построения является лемма сравнения, которая позволяет дать хорошее упорядочение соответствующих мышей.

На уровне сильных кардиналов и выше строится промежуточная счетно сертифицированная основная модель K ^c , а затем, если это возможно, извлекается K из K ^c .

K _c (и, следовательно, K) является тонкоструктурной счетно итерируемой моделью расширителя ниже длинных расширителей. (В настоящее время неизвестно, как обращаться с длинными расширителями, которые устанавливают, что кардинал является сверхсильным .) Здесь счетная итерируемость означает ω ₁ +1 итерируемость для всех счетных элементарных подструктур начальных сегментов, и достаточно разработать базовую теорию, включая определенные свойства конденсации. Теория таких моделей канонична и хорошо понятна. Они удовлетворяют GCH , принципу алмаза для всех стационарных подмножеств регулярных кардиналов, квадратному принципу (за исключением субкомпактных кардиналов ) и другим принципам, верным в L.

K ^c максимален в нескольких смыслах. K ^c вычисляет последователей измеримых и многих сингулярных кардиналов правильно. Также ожидается, что при соответствующем ослаблении счетной сертифицируемости K ^c будет правильно вычислять последователей всех слабо компактных и сингулярных сильных предельных кардиналов правильно. Если V замкнуто относительно оператора мыши (внутреннего оператора модели), то так же замкнуто и K ^c . K ^c не имеет диеза: нет естественного нетривиального элементарного вложения K ^c в себя. (Однако, в отличие от K, K ^c может быть элементарно самовкладываемым.)

Если в этой модели, кроме того, отсутствуют кардиналы Вудина (за исключением некоторых особых случаев, когда неизвестно, как следует определять основную модель, если K _c имеет кардиналы Вудина), мы можем извлечь фактическую основную модель K. K также является своей собственной основной моделью. K локально определима и генерически абсолютна: для каждого генерического расширения V, для каждого кардинала κ>ω ₁ в V[G], K, построенное в H(κ) из V[G], равно K∩H(κ). (Это было бы невозможно, если бы K содержала кардиналы Вудина). K является максимальным, универсальным и полностью итеративным. Это означает, что для каждой итерируемой модели расширения M (называемой мышью) существует элементарное вложение M→N и начального сегмента K в N, и если M является универсальным, то вложением является вложение K в M.

Предполагается, что если K существует и V замкнуто относительно диезного оператора M, то K является Σ ¹ ₁ корректным, допуская действительные числа в K в качестве параметров и M в качестве предиката. Это равносильно Σ ¹ ₃ корректности (в обычном смысле), если M есть x→x ^# .

Основная модель также может быть определена над определенным набором ординалов X: X принадлежит K(X), но K(X) удовлетворяет обычным свойствам K над X. Если нет итерируемой внутренней модели с ω кардиналами Вудина, то для некоторого X существует K(X). Приведенное выше обсуждение K и K ^c обобщается на K(X) и K ^c (X).

Предположение:

• Если не существует итерируемой модели ω ₁ +1 с длинными расширителями (и, следовательно, моделей со сверхсильными кардиналами), то K ^c существует.
• Если K ^c существует и, будучи построенным в каждом общем расширении V (эквивалентно, при некотором общем коллапсе Coll(ω, <κ) для достаточно большого порядкового числа κ), удовлетворяет условию «кардиналов Вудина не существует», то Базовая Модель K существует.

Частичные результаты этой гипотезы таковы:

1. Если внутренней модели с кардиналом Вудина не существует, то K существует.
2. Если (жирный шрифт) определенность Σ ¹ _n (n конечно) выполняется в каждом общем расширении V, но не существует итерируемой внутренней модели с n кардиналами Вудина, то K существует.
3. Если существует измеримый кардинал κ, то либо существует K ^c ниже κ, либо существует итеративная модель ω ₁ +1 с измеримым пределом λ как кардиналов Вудина, так и кардиналов, сильных вплоть до λ.

Если V имеет кардиналы Вудина, но не кардиналы, сильные после кардинала Вудина, то при соответствующих обстоятельствах (кандидат на) K может быть построен путем построения K ниже каждого кардинала Вудина (и ниже класса всех ординалов) κ, но выше этого K, как построенного ниже супремума кардиналов Вудина ниже κ. Модель ядра кандидата не является полностью итерируемой (итерируемость невозможна на кардиналах Вудина) или в общем случае абсолютной, но в остальном ведет себя как K.

• У. Хью Вудин (июнь/июль 2001 г.). «Гипотеза континуума, часть I». Извещения AMS.
• Уильям Митчелл. «Начало теории внутренних моделей» (глава 17 в томе 3 «Справочника по теории множеств») в [1].
• Мэтью Форман и Акихиро Канамори (редакторы). «Справочник по теории множеств», Springer Verlag, 2010, ISBN 978-1402048432 . 
• Рональд Дженсен и Джон Р. Стил. «К без измеримого». Журнал символической логики, том 78, выпуск 3 (2013), 708-734.