Невыразимый кардинал

В математике трансфинитных чисел невыразимый кардинал — это определенный вид большого кардинального числа, введенный Йенсеном и Кюненом (1969). В следующих определениях всегда будет обычным несчетным кардинальным числом .${\displaystyle \каппа}$

Кардинальное число называется почти невыразимым, если для каждого (где — степенное множество ) со свойством, что является подмножеством для всех порядковых чисел , существует подмножество , имеющее мощность и однородное для , в том смысле, что для любого из , .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\каппа)}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f(\дельта)}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \delta <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$

Кардинальное число называется невыразимым , если для каждой двоичнозначной функции существует стационарное подмножество на котором является однородным : то есть либо отображает все неупорядоченные пары элементов, взятые из этого подмножества, в ноль, либо отображает все такие неупорядоченные пары в единицу. Эквивалентная формулировка заключается в том, что кардинальное число является невыразимым, если для каждой последовательности ⟨A _α  : α ∈ κ⟩ такой, что каждое A _α ⊆ α , существует A ⊆ κ такое, что { α ∈ κ  : A ∩ α = A _α } является стационарным в κ .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f:[\каппа ]^{2}\to \{0,1\}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \каппа}$

Другая эквивалентная формулировка состоит в том, что регулярный несчетный кардинал невыразим, если для каждого множества мощности подмножеств существует нормальный (т.е. замкнутый относительно диагонального пересечения ) нетривиальный -полный фильтр при решении : то есть для любого , либо , либо . ^[1] Это похоже на характеристику слабо компактных кардиналов .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\in S}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$

В более общем смысле, называется -невыразимым (для положительного целого числа ), если для каждого существует стационарное подмножество , на котором является - однородным (принимает одно и то же значение для всех неупорядоченных -кортежей, взятых из подмножества). Таким образом, оно невыразимо тогда и только тогда, когда оно 2-невыразимо. Невыразимость строго слабее 3-невыразимости. ^{[2] стр. 399}${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f:[\каппа ]^{n}\to \{0,1\}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Полностью невыразимый кардинал — это кардинал, который является -невыразимым для каждого . Если является -невыразимым, то множество -невыразимых кардиналов ниже является стационарным подмножеством .${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$

Каждый -ineffable кардинал является -almost ineffable (с множеством -almost ineffable ниже него неподвижным), и каждый -almost ineffable является -subtle (с множеством -subtle ниже него неподвижным). Наименьший -subtle кардинал даже не является слабо компактным (и в отличие от невыразимых кардиналов, наименьший -almost ineffable является -describable), но -ineffable кардиналы неподвижны ниже каждого -subtle кардинала.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Пи _{2}^{1}}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$

Кардинал κ полностью невыразим, если существует непустое такое, что - каждое стационарно - для каждого и , существует однородное для f с .${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa)}$
${\displaystyle A\in R}$
${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle f:[\каппа ]^{2}\to \{0,1\}}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B\in R}$

Использование любого конечного  > 1 вместо 2 привело бы к тому же определению, поэтому полностью невыразимые кардиналы полностью невыразимы (и имеют большую силу согласованности ). Полностью невыразимые кардиналы -неописуемы для любого n , но свойство быть полностью невыразимым есть .${\displaystyle n}$${\displaystyle \Пи _{n}^{1}}$${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$

Сила согласованности полностью невыразимого ниже, чем у 1-итерабельных кардиналов, которые, в свою очередь, ниже замечательных кардиналов , которые, в свою очередь, ниже кардиналов ω-Эрдёша . Список больших кардинальных аксиом по силе согласованности доступен в разделе ниже.

• Список крупных кардинальных свойств

• Фридман, Харви (2001), «Тонкие кардиналы и линейные упорядочения», Annals of Pure and Applied Logic , 107 (1–3): 1–34, doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1.
• Йенсен, Рональд ; Кунен, Кеннет (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V, неопубликованная рукопись