Необоснованная теория множеств
Теория, которая позволяет множествам быть элементами самих себя

Необоснованные теории множеств — это варианты аксиоматической теории множеств , которые позволяют множествам быть элементами самих себя и в противном случае нарушают правило обоснованности . В необоснованных теориях множеств аксиома основания ZFC заменяется аксиомами, подразумевающими ее отрицание .

Изучение не вполне обоснованных множеств было начато Дмитрием Миримановым в серии статей между 1917 и 1920 годами, в которых он сформулировал различие между вполне обоснованными и не вполне обоснованными множествами; он не считал обоснованность аксиомой . Хотя впоследствии был предложен ряд аксиоматических систем не вполне обоснованных множеств, они не нашли широкого применения, пока в 1988 году книга Не вполне обоснованные множества Питера Ацеля не ввела теорию гипермножеств. [1] [2] [3]

Теория не вполне обоснованных множеств применялась в логическом моделировании незавершающихся вычислительных процессов в информатике ( алгебра процессов и конечная семантика), лингвистике и семантике естественного языка ( теория ситуаций ), философии (работа над парадоксом лжеца ) и в другой обстановке, нестандартном анализе . [4]

Подробности

В 1917 году Дмитрий Мириманов ввел [5] [6] [7] [8] понятие обоснованности множества:

Множество x 0 является хорошо обоснованным, если оно не имеет бесконечной убывающей последовательности членства. ⋯ ∈ х 2 ∈ х 1 ∈ х 0 . {\displaystyle \cdots \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}.}

В ZFC нет бесконечной нисходящей ∈-последовательности по аксиоме регулярности . Фактически, аксиому регулярности часто называют аксиомой основания , поскольку в ZFC − (то есть ZFC без аксиомы регулярности) можно доказать , что обоснованность влечет регулярность. В вариантах ZFC без аксиомы регулярности возникает возможность необоснованных множеств с ∈-цепями, подобными множествам. Например, множество A , такое что A ∈ A, не является обоснованным.

Хотя Мириманофф также ввел понятие изоморфизма между, возможно, не вполне обоснованными множествами, он не рассматривал ни аксиому основания, ни антиоснования. [7] В 1926 году Пол Финслер ввел первую аксиому, которая допускала не вполне обоснованные множества. После того, как Цермело принял Основание в свою собственную систему в 1930 году (из предыдущей работы фон Неймана 1925–1929), интерес к не вполне обоснованным множествам угас на десятилетия. [9] Ранней не вполне обоснованной теорией множеств была « Новые основания » Уилларда Ван Ормана Куайна , хотя это не просто ZF с заменой Основания.

Несколько доказательств независимости Foundation от остальной части ZF были опубликованы в 1950-х годах, в частности Полом Бернайсом (1954), после объявления результата в его более ранней статье от 1941 года, и Эрнстом Шпеккером , который дал другое доказательство в своем Habilitationsschrift 1951 года, доказательство, которое было опубликовано в 1957 году. Затем в 1957 году была опубликована теорема Ригера, которая давала общий метод для проведения такого доказательства, возрождая некоторый интерес к не вполне обоснованным аксиоматическим системам. [10] Следующее предложение об аксиоме появилось в докладе на конгрессе 1960 года Даны Скотта (никогда не опубликованном в качестве статьи), предлагавшего альтернативную аксиому, которая теперь называется SAFA. [11] Другой аксиомой, предложенной в конце 1960-х годов, была аксиома Мориса Боффы о сверхуниверсальности, описанная Ацелем как вершина исследований этого десятилетия. [12] Идея Боффы состояла в том, чтобы сделать так, чтобы основание было несостоятельным настолько, насколько это возможно (или, скорее, насколько это позволяет экстенсиональность): аксиома Боффы подразумевает, что каждое экстенсиональное отношение , подобное множеству, изоморфно предикату элементности в транзитивном классе.

Более поздний подход к теории множеств, не являющихся хорошо обоснованными, впервые предложенный М. Форти и Ф. Хонселлом в 1980-х годах, заимствует из компьютерной науки концепцию бисимуляции . Бисимуляционные множества считаются неразличимыми и, таким образом, равными, что приводит к усилению аксиомы экстенсиональности . В этом контексте аксиомы, противоречащие аксиоме регулярности, называются аксиомами антиоснования , а множество, которое не обязательно является хорошо обоснованным, называется гипермножеством .

Хорошо известны четыре взаимно независимые антиосновные аксиомы, иногда их сокращают по первой букве в следующем списке:

  1. Аксиома антиоснования (FA) – принадлежит М. Форти и Ф. Хонселлу (также известна как аксиома антиоснования Ацеля );
  2. S AFA («Scott's AFA») – благодаря Дане Скотт ,
  3. F AFA («AFA Финслера») – принадлежит Полу Финслеру ,
  4. B AFA («AFA Боффы») - благодаря Морису Боффе.

Они по сути соответствуют четырем различным понятиям равенства для не вполне обоснованных множеств. Первое из них, AFA, основано на доступных точечных графах (apg) и утверждает, что два гипермножества равны тогда и только тогда, когда их можно изобразить одним и тем же apg. В рамках этой структуры можно показать, что так называемый атом Куайна , формально определяемый как Q={Q}, существует и является уникальным.

Каждая из приведенных выше аксиом расширяет вселенную предыдущей, так что: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. Во вселенной Боффа отдельные атомы Куайна образуют собственный класс. [13]

Стоит подчеркнуть, что теория гипермножеств является расширением классической теории множеств, а не ее заменой: хорошо обоснованные множества в области гипермножеств соответствуют классической теории множеств.

Приложения

В опубликованных исследованиях не вполне обоснованные множества также называются гипермножествами, параллельно с гипердействительными числами нестандартного анализа . [14] [15]

Гипермножества широко использовались Джоном Барвайзом и Джоном Этчеменди в их книге 1987 года «Лжец» , посвященной парадоксу лжеца . Предложения книги внесли вклад в теорию истины . [14] Книга также является хорошим введением в тему не вполне обоснованных множеств. [14]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Паккан и Акман (1994), ссылка на раздел.
  2. ^ Ратжен (2004).
  3. ^ Санджорджи (2011), стр. 17–19, 26.
  4. ^ Баллард и Хрбачек (1992).
  5. ^ Леви (2012), стр. 68.
  6. ^ Халлетт (1986), стр. 186.
  7. ^ ab Aczel (1988), стр. 105.
  8. ^ Мириманов (1917).
  9. ^ Ацель (1988), стр. 107.
  10. ^ Aczel (1988), стр. 107–108.
  11. ^ Aczel (1988), стр. 108–9.
  12. ^ Ацель (1988), стр. 110.
  13. ^ Нитта, Окада и Цуварас (2003).
  14. ^ abc Moss, Lawrence S. (2018), Zalta, Edward N. (ред.), "Non-wellfounded Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2018 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 30 мая 2024 г.
  15. ^ Гипермножества (ucsd.edu)

Ссылки

  • Aczel, Peter (1988), Non-Well-Founded Sets, CSLI Lecture Notes, т. 14, Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, стр. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, МР  0940014.
  • Баллард, Дэвид; Хрбачек, Карел (1992), «Стандартные основы нестандартного анализа», Журнал символической логики , 57 (2): 741–748, doi :10.2307/2275304, JSTOR  2275304, S2CID  39158351.
  • Барвайз, Джон; Этчеменди, Джон (1987), Лжец: Эссе об истине и круговороте, Oxford University Press, ISBN 9780195059441
  • Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. О математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, т. 60, CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
  • Боффа, М. (1968), «Выдающиеся ансамбли», Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 20 : 3–15, Zbl  0179.01602
  • Боффа, М. (1972), «Принуждение и отрицание аксиомы фонда», акад. Рой. Бельжик, Мем. кл. наук, сб. 8∘ , Серия II, 40 (7), Збл  0286.02068
  • Девлин, Кит (1993), «§7. Необоснованная теория множеств», Радость множеств: основы современной теории множеств (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
  • Финслер, П. (1926), «Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome», Math. З. , 25 : 683–713, номер документа : 10.1007/BF01283862, JFM  52.0192.01; перевод в Finsler, Paul; Booth, David (1996). Теория множеств Финслера: платонизм и круговость : перевод статей Пола Финслера по теории множеств с вводными комментариями . Springer. ISBN 978-3-7643-5400-8.
  • Халлетт, Майкл (1986), Канторовская теория множеств и ограничение размера, Oxford University Press, ISBN 9780198532835.
  • Кановей, Владимир ; Рикен, Майкл (2004), Нестандартный анализ, Аксиоматически , Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
  • Леви, Азриэль (2012) [2002], Базовая теория множеств, Dover Publications, ISBN 9780486150734.
  • Мириманофф, Д. (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальные проблемы теории ансамблей», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52, JFM  46.0306.01.
  • Нитта, Такаши; Окада, Томоко; Цуварас, Афанассиос (2003), «Классификация не вполне обоснованных множеств и ее применение» (PDF) , Mathematical Logic Quarterly , 49 (2): 187–200, doi :10.1002/malq.200310018, MR  1961461
  • Паккан, М.Дж.; Акман, В. (1994), «Проблемы теории множеств здравого смысла» (PDF) , Обзор искусственного интеллекта , 8 (4): 279–308, doi : 10.1007/BF00849061, hdl : 11693/25955 , S2CID  6323872
  • Ратьен, М. (2004), «Предикативность, кругообразность и антиоснование» (PDF) , в Link, Godehard (ред.), Сто лет парадокса Рассела: математика, логика, философия , Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-019968-0
  • Санджорджи, Давиде (2011), «Истоки бисимуляции и коиндукции», в Санджорджи, Давиде; Раттен, Ян (ред.), Расширенные темы бисимуляции и коиндукции , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
  • Скотт, Дана (1960), «Другой вид модели для теории множеств», неопубликованная статья, доклад, прочитанный на Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки в 1960 году

Дальнейшее чтение

  • Мосс, Лоуренс С. (2018). «Необоснованная теория множеств». Стэнфордская энциклопедия философии .
  • Страница Metamath об аксиоме Регулярности. Менее 1% теорем этой базы данных в конечном счете зависят от этой аксиомы, что можно показать с помощью команды ("show usage") в программе Metamath.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Необоснованная_теория_множества&oldid=1236939837"