Глоссарий общей топологии

Найдите Приложение: Глоссарий топологии в Викисловаре, бесплатном словаре.

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в разделе математики, известном как топология . Хотя нет абсолютного различия между различными областями топологии, основное внимание здесь уделяется общей топологии . Следующие определения также являются основополагающими для алгебраической топологии , дифференциальной топологии и геометрической топологии . Список терминов, специфичных для алгебраической топологии, см. в Глоссарии алгебраической топологии .

Все пространства в этом глоссарии предполагаются топологическими, если не указано иное.

Абсолютно закрыто

См. H-закрыто

Доступный

Видеть .${\displaystyle T_{1}}$

Точка накопления

Смотри предельную точку .

топология Александрова

Топология пространства X является топологией Александрова (или конечно порождена ), если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты, или, что эквивалентно, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты, или, что снова эквивалентно, если открытые множества являются верхними множествами частично упорядоченного множества . [ ^1]

Почти дискретно

Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.

α-закрытый, α-открытый

Подмножество A топологического пространства X является α-открытым, если , а дополнение такого множества является α-замкнутым. ^[2]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)}$

Пространство подхода

Пространство подхода представляет собой обобщение метрического пространства, основанное на расстояниях от точки до множества, а не от точки до точки.

пространство Бэра

Это имеет два различных общих значения:

1. Пространство является пространством Бэра , если пересечение любого счетного набора плотных открытых множеств является плотным; см. пространство Бэра .
2. Пространство Бэра — это множество всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел с топологией поточечной сходимости; см. Пространство Бэра (теория множеств) .

База

Коллекция B открытых множеств является базой (или базисом ) для топологии, если каждое открытое множество в является объединением множеств в . Топология является наименьшей топологией на содержащем и, как говорят, порождается .${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle Б}$

Основа

См . Базу .

β-открытый

См. Полупредварительно открытый .

б-открыто, б-закрыто

Подмножество топологического пространства является b-открытым, если . Дополнение b-открытого множества является b-замкнутым. ^[2]${\displaystyle А}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

алгебра Бореля

Алгебра Бореля на топологическом пространстве — это наименьшая -алгебра, содержащая все открытые множества. Она получается пересечением всех -алгебр на , содержащих .${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \тау}$

набор Бореля

Множество Бореля — это элемент алгебры Бореля.

Граница

Граница ( или frontier ) множества — это замыкание множества за вычетом его внутренности. Эквивалентно, граница множества — это пересечение его замыкания с замыканием его дополнения. Граница множества обозначается или .${\displaystyle А}$${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle бд}$ ${\displaystyle А}$

Ограниченный

Множество в метрическом пространстве ограничено , если оно имеет конечный диаметр. Эквивалентно, множество ограничено, если оно содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса. Функция , принимающая значения в метрическом пространстве, ограничена , если ее образ является ограниченным множеством.

Категория топологических пространств

Категория Top имеет топологические пространства в качестве объектов и непрерывные отображения в качестве морфизмов .

Последовательность Коши

Последовательность { x _n } в метрическом пространстве ( M , d ) является последовательностью Коши , если для каждого положительного действительного числа r существует целое число N такое, что для всех целых чисел m , n > N , имеем d ( x _m , x _n ) < r .

Закрытое множество

Множество является открыто-замкнутым, если оно одновременно открыто и замкнуто.

Закрытый шар

Если ( M , d ) — метрическое пространство , замкнутый шар — это множество вида D ( x ; r ) := { y в M  : d ( x , y ) ≤ r }, где x принадлежит M , а r — положительное действительное число , радиус шара. Замкнутый шар радиуса r — это замкнутый r -шар . Каждый замкнутый шар — это замкнутое множество в топологии, индуцированной на M с помощью d . Обратите внимание, что замкнутый шар D ( x ; r ) может не совпадать с замыканием открытого шара B ( x ; r ).

Закрытый набор

Множество замкнуто , если его дополнение является членом топологии.

Закрытая функция

Функция из одного пространства в другое замкнута, если образ каждого замкнутого множества замкнут.

Закрытие

Замыкание множества — наименьшее замкнутое множество , содержащее исходное множество . Оно равно пересечению всех замкнутых множеств, которые его содержат. Элемент замыкания множества S — это точка замыкания S.

Оператор закрытия

См. аксиомы замыкания Куратовского .

Более грубая топология

Если X — множество, а T ₁ и T ₂ — топологии на X , то T ₁ грубее (или меньше , слабее ) , чем T _2, если T ₁ содержится в T _2. Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин «сильнее» .

Comeagre

Подмножество A пространства X называется комеагре ( комеагер ), если его дополнение X \ A является тощим . Также называется остаточным .

Компактный

Пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Каждое компактное пространство линделёфово и паракомпактное. Следовательно, каждое компактное хаусдорфово пространство нормально. См. также квазикомпакт .

Компактно-открытая топология

Компактно -открытая топология на множестве C ( X , Y ) всех непрерывных отображений между двумя пространствами X и Y определяется следующим образом: для заданного компактного подмножества K пространства X и открытого подмножества U пространства Y пусть V ( K , U ) обозначает множество всех отображений f в C ( X , Y ) таких, что f ( K ) содержится в U . Тогда совокупность всех таких V ( K , U ) является предбазой для компактно-открытой топологии.

Полный

Метрическое пространство является полным , если каждая последовательность Коши сходится.

Полностью метризуемый/полностью метризуемый

Смотреть полное пространство .

Совершенно нормально

Пространство является совершенно нормальным, если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.

Совершенно нормальный Хаусдорф

Совершенно нормальное хаусдорфово пространство (или _{пространство} T5 ) является совершенно нормальным пространством T1 _. (Совершенно нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T1 _, поэтому терминология является единообразной .) Каждое совершенно нормальное хаусдорфово пространство является нормальным хаусдорфовым.

Полностью регулярный

Пространство является полностью регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а x — точка, не лежащая в C , то C и { x } функционально разделены.

Полностью Т ₃

См . Тихонов .

Компонент

См. Связанный компонент / Компонент, связанный по пути .

Подключен

Пространство связно , если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными открыто-замкнутыми множествами являются все пространство и пустое множество.

Связанный компонент

Связная компонента пространства — это максимальное непустое связное подпространство. Каждая связная компонента замкнута, а множество связных компонент пространства — это разбиение этого пространства.

Непрерывный

Функция из одного пространства в другое непрерывна , если прообраз каждого открытого множества открыт.

Континуум

Пространство называется континуумом, если оно является компактным, связным хаусдорфовым пространством.

Сокращаемый

Пространство X стягиваемо, если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Каждое стягиваемое пространство односвязно.

Топология копродукта

Если { X _i } — набор пространств, а X — (теоретико-множественное) дизъюнктное объединение { X _i } , то топология копроизведения (или топология дизъюнктного объединения , топологическая сумма X _i ) на X — это наилучшая топология, для которой все отображения инъекции непрерывны.

Ядро-компактное пространство

Космическое пространство

Непрерывный образ некоторого отделимого метрического пространства . ^[3 ]

Условие счетной цепи

Пространство X удовлетворяет условию счетной цепи, если каждое семейство непустых попарно непересекающихся открытых множеств счетно.

Счётно компактный

Пространство счетно компактно, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Каждое счетно компактное пространство псевдокомпактно и слабо счетно компактно.

Счетно локально конечный

Совокупность подмножеств пространства X является счетно локально конечной (или σ - локально конечной ), если она является объединением счетной совокупности локально конечных совокупностей подмножеств X.

Крышка

Совокупность подмножеств пространства является покрытием (или покрытием ) этого пространства, если объединение этой совокупности представляет собой всё пространство.

Покрытие

См . обложку .

Точка отсечения

Если X — связное пространство с более чем одной точкой, то точка x пространства X является точкой разреза, если подпространство X − { x } несвязно.

δ-кластерная точка, δ-замкнутая, δ-открытая

Точка x топологического пространства X является точкой δ-кластера подмножества A , если для каждой открытой окрестности U точки x в X. Подмножество A является δ-замкнутым, если оно равно множеству своих точек δ-кластера, и δ-открытым, если его дополнение является δ-замкнутым. ^[4]${\displaystyle A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset }$

Плотный набор

Множество является плотным, если оно имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым множеством. Эквивалентно, множество является плотным, если его замыкание — все пространство.

Плотное множество в себе

Множество является плотным в себе, если оно не имеет изолированной точки .

Плотность

минимальная мощность плотного подмножества топологического пространства. Множество плотности ℵ ₀ является сепарабельным пространством . ^[5]

Производный набор

Если X — пространство, а S — подмножество X , то производное множество S в X — это множество предельных точек S в X.

Развертываемое пространство

Топологическое пространство с развёрткой . ^[6]

Разработка

Счётная совокупность открытых покрытий топологического пространства, такая, что для любого замкнутого множества C и любой точки p в его дополнении существует покрытие в совокупности, такое что каждая окрестность p в покрытии не пересекается с C. ^[6]

Диаметр

Если ( M , d ) — метрическое пространство, а S — подмножество M , то диаметр S — это супремум расстояний d ( x , y ), где x и y пробегают S.

Дискретная метрика

Дискретная метрика на множестве X — это функция d  : X × X  →  R такая, что для всех x , y в X , d ( x , x ) = 0 и d ( x , y ) = 1, если x ≠ y . Дискретная метрика индуцирует дискретную топологию на X.

Дискретное пространство

Пространство X является дискретным , если каждое подмножество X открыто. Мы говорим, что X несет дискретную топологию . ^[7]

Дискретная топология

См. дискретное пространство .

Топология несвязного объединения

См. Топология копроизведения .

Точка рассеивания

Если X — связное пространство с более чем одной точкой, то точка x пространства X является точкой дисперсии, если подпространство X − { x } наследственно несвязно (его единственными связными компонентами являются одноточечные множества).

Расстояние

См. метрическое пространство .

пространство Доукера

Дурацкий колпак (топология)

Антураж

См. Равномерное пространство .

Экстерьер

Внешняя часть набора — это внутренняя часть его дополнения.

F _σ набор

Множество F _σ представляет собой счетное объединение замкнутых множеств. ^[8]

Фильтр

См. также: Фильтры в топологии . Фильтр в пространстве X — это непустое семейство F подмножеств X , для которого выполняются следующие условия:

1. Пустое множество не принадлежит F.
2. Пересечение любого конечного числа элементов F снова находится в F.
3. Если A содержится в F и если B содержит A , то B содержится в F.

Окончательная топология

На множестве X относительно семейства функций в , есть наилучшая топология на X , которая делает эти функции непрерывными . ^[9]${\displaystyle X}$

Тонкая топология (теория потенциала)

На евклидовом пространстве — грубейшая топология, делающая все субгармонические функции (эквивалентно все супергармонические функции) непрерывными. ^[10]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Более тонкая топология

Если X — множество, а T ₁ и T ₂ — топологии на X , то T ₂ тоньше (или больше , сильнее ) , чем T ₁ , если T ₂ содержит T _1. Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин слабее .

Конечно сгенерированный

См. топологию Александрова .

Первая категория

См . Мигре .

Первый исчисляемый

Пространство является счетно-пространственным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.

Фреше

См. Т ₁ .

Граница

См . Граница .

Полный комплект

Компактное подмножество K комплексной плоскости называется полным, если его дополнение связно. Например, замкнутый единичный круг является полным, а единичная окружность — нет.

Функционально разделены

Два множества A и B в пространстве X функционально разделены, если существует непрерывное отображение f : X  → [0, 1] такое, что f ( A ) = 0 и f ( B ) = 1.

G _δ набор

Множество G _δ или внутреннее предельное множество — это счетное пересечение открытых множеств. ^[8 ]

G _δ пространство

Пространство, в котором каждое замкнутое множество является множеством G _δ . ^[8]

Общая точка

Общая точка для замкнутого множества — это точка, для которой замкнутое множество является замыканием одноэлементного множества, содержащего эту точку. ^[11]

Хаусдорф

Хаусдорфово пространство (или пространство T ₂ ) — это такое пространство, в котором каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Каждое хаусдорфово пространство является пространством T ₁ .

H-закрыто

Пространство называется H-замкнутым, или хаусдорфово замкнутым , или абсолютно замкнутым , если оно замкнуто в каждом содержащем его хаусдорфовом пространстве.

Полукомпактный

Пространство называется полукомпактным, если существует последовательность компактных подмножеств, такая, что каждое компактное подмножество содержится в одном из них.

Наследственно P

Пространство наследственно является P для некоторого свойства P , если каждое подпространство также является P.

Наследственный

Свойство пространств называется наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то им обладает и каждое его подпространство. ^[12] Например, секундарная счетность является наследственным свойством.

Гомеоморфизм

Если X и Y — пространства, то гомеоморфизм из X в Y — это биективная функция f  :  X  →  Y такая, что f и f ⁻¹ непрерывны. Тогда пространства X и Y называются гомеоморфными . С точки зрения топологии гомеоморфные пространства идентичны.

Однородный

Пространство X однородно , если для любых x и y в X существует гомеоморфизм f  : X  →  X такой, что f ( x ) = y . Интуитивно пространство выглядит одинаково в каждой точке. Каждая топологическая группа однородна.

Гомотопические карты

Два непрерывных отображения f , g  : X  →  Y гомотопны (в Y ), если существует непрерывное отображение H  : X × [0, 1] →  Y такое, что H ( x , 0 ) = f ( x ) и H ( x , 1) = g ( x ) для всех x из X . Здесь X × [0, 1] задано топологией произведения. Функция H называется гомотопией (в Y ) между f и g .

Гомотопия

См. Гомотопические карты .

Гиперсвязанный

Пространство гиперсвязно, если никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися ^[13]. Каждое гиперсвязное пространство связно. ^[13]

Идентификационная карта

См. Карту коэффициентов .

Пространство идентификации

См. Факторное пространство .

Недискретное пространство

См. Тривиальная топология .

Бесконечномерная топология

См. Гильбертово многообразие и Q-многообразия , т.е. (обобщенные) многообразия, смоделированные на основе гильбертова пространства и гильбертова куба соответственно.

Внутренний ограничивающий набор

Набор A G _δ . ^[8]

Интерьер

Внутренность множества — это наибольшее открытое множество , содержащееся в исходном множестве . Оно равно объединению всех открытых множеств, содержащихся в нем. Элементом внутренности множества S является внутренняя точка S.

Внутренняя точка

См . Интерьер .

Изолированная точка

Точка x является изолированной точкой , если синглтон { x } открыт. В более общем случае, если S является подмножеством пространства X , и если x является точкой S , то x является изолированной точкой S , если { x } открыт в топологии подпространства на S .

Изометрический изоморфизм

Если M ₁ и M ₂ — метрические пространства, изометрический изоморфизм из M ₁ в M ₂ — это биективная изометрия f  : M ₁  →  M ₂ . Тогда метрические пространства называются изометрически изоморфными . С точки зрения теории метрических пространств изометрически изоморфные пространства идентичны.

Изометрия

Если ( M ₁ , d ₁ ) и ( M ₂ , d ₂ ) — метрические пространства, изометрия из M ₁ в M ₂ — это функция f  : M ₁  →  M ₂ такая, что d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) для всех x , y в M ₁ . Каждая изометрия инъективна , хотя не каждая изометрия сюръективна .

аксиома Колмогорова

См. Т ₀ .

Аксиомы замыкания Куратовского

Аксиомы замыкания Куратовского — это набор аксиом, которым удовлетворяет функция, которая переводит каждое подмножество X в его замыкание:

1. Изотонность : каждое множество содержится в своем замыкании.
2. Идемпотентность : замыкание замыкания множества равно замыканию этого множества.
3. Сохранение бинарных объединений : Замыкание объединения двух множеств является объединением их замыканий.
4. Сохранение нулевых объединений : замыкание пустого множества пусто.

Если c — функция из множества мощности X в себя, то c — оператор замыкания , если он удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского. Аксиомы замыкания Куратовского затем можно использовать для определения топологии на X , объявляя замкнутые множества неподвижными точками этого оператора, т. е. множество A замкнуто тогда и только тогда, когда c ( A ) = A .

топология Колмогорова

T _Kol = {R, }∪{(a,∞): a — действительное число}; пара (R,T _Kol ) называется прямой Колмогорова .${\displaystyle \varnothing }$

L-пространство

L -пространство является наследственно линделёфовым пространством , которое не является наследственно сепарабельным . Линия Суслина была бы L-пространством. ^[14]

Большая топология

См. Более тонкая топология .

Предельная точка

Точка x в пространстве X является предельной точкой подмножества S , если каждое открытое множество, содержащее x, также содержит точку S , отличную от самого x . Это эквивалентно требованию, чтобы каждая окрестность x содержала точку S, отличную от самого x .

Компактная предельная точка

См. Слабо счетно компактно .

Линделёф

Пространство называется линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие.

Местная база

Множество B окрестностей точки x пространства X является локальной базой (или локальным базисом , базой соседства , базисом соседства ) в точке x , если каждая окрестность точки x содержит некоторый элемент B.

Местная основа

См. Локальная база .

Локально (P) пространство

Существует два определения пространства, которое должно быть "локально (P)", где (P) является топологическим или теоретико-множественным свойством: каждая точка имеет окрестность со свойством (P) или каждая точка имеет базу окрестностей, для которой каждый член имеет свойство (P). Первое определение обычно принимается для локально компактного, счетно компактного, метризуемого, сепарабельного, счетного; второе для локально связного. ^[15]

Локально замкнутое подмножество

Подмножество топологического пространства, являющееся пересечением открытого и замкнутого подмножеств. Эквивалентно, это относительно открытое подмножество своего замыкания.

Локально компактный

Пространство локально компактно, если каждая точка имеет компактную окрестность: иногда используется альтернативное определение, согласно которому каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей: для хаусдорфовых пространств они эквивалентны. ^[15] Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Локально подключен

Пространство локально связно , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных окрестностей. ^[15]

Локально плотный

см . Предварительное открытие .

Локально конечный

Набор подмножеств пространства локально конечен, если каждая точка имеет окрестность, имеющую непустое пересечение только с конечным числом подмножеств. См. также счетно локально конечный , конечный по точке .

Локально метризуемый / Локально метризуемый

Пространство локально метризуемо, если каждая точка имеет метризуемую окрестность. ^[15]

Локально связанный путь

Пространство локально линейно связно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных окрестностей. ^[15] Локально линейно связное пространство связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно.

Локально просто подключен

Пространство локально односвязно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из односвязных окрестностей.

Петля

Если x — точка в пространстве X , то петля в точке x в X (или петля в X с базовой точкой x ) — это путь f в X , такой что f (0) = f (1) = x . Эквивалентно, петля в X — это непрерывное отображение из единичной окружности S ¹ в X.

Тощий

Если X — пространство, а A — подмножество X , то A является разреженным в X (или первой категории в X ), если оно является счетным объединением нигде не плотных множеств. Если A не является разреженным в X , то A является второй категории в X. ^[16 ]

Метакомпактный

Пространство является метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет точечное конечное открытое измельчение.

Метрический

См. Метрическое пространство .

Метрический инвариант

Метрический инвариант — это свойство, которое сохраняется при изометрическом изоморфизме.

Метрическая карта

Если X и Y — метрические пространства с метриками d _X и d _Y соответственно, то метрическое отображение — это функция f из X в Y , такая, что для любых точек x и y в X d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ). Метрическое отображение является строго метрическим, если указанное выше неравенство является строгим для всех x и y в X .

Метрическое пространство

Метрическое пространство ( M , d ) — это множество M, снабженное функцией d  :  M  ×  M  →  R, удовлетворяющей следующим аксиомам для всех x , y и z из M :

1. д ( х , у ) ≥ 0
2. д ( х , х ) = 0
3. если   d ( x , y ) = 0 , то   x = y     ( тождество неразличимых )
4. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( симметрия )
5. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( неравенство треугольника )

Функция d является метрикой на M , а d ( x , y ) является расстоянием между x и y . Совокупность всех открытых шаров M является базой для топологии на M ; это топология на M , индуцированная d . Каждое метрическое пространство является хаусдорфовым и паракомпактным (и, следовательно, нормальным и тихоновским). Каждое метрическое пространство является первосчетным.

Метризуемый / Метризуемый

Пространство метризуемо, если оно гомеоморфно метрическому пространству. Каждое метризуемое пространство хаусдорфово и паракомпактно (и, следовательно, нормально и тихоново). Каждое метризуемое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Монолит

Каждое непустое ультрасвязное компактное пространство X имеет наибольшее собственное открытое подмножество; это подмножество называется монолитом .

Мур пространство

Пространство Мура — это развертывающееся регулярное пространство Хаусдорфа . ^[6]

Почти открыто

см . предварительно открыто .

Район / Район

Окрестность точки x — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь, содержит точку x . В более общем смысле, окрестность множества S — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь, содержит множество S. Окрестность точки x — это, таким образом, окрестность синглтонного множества { x }. (Обратите внимание, что в рамках этого определения сама окрестность не обязательно должна быть открытой. Многие авторы требуют, чтобы окрестности были открытыми; будьте внимательны и учитывайте соглашения.)

Соседская база /базис

См. Локальная база .

Система окрестностей для точки x

Система окрестностей в точке x в пространстве — это совокупность всех окрестностей точки x .

Сеть

Сетью в пространстве X называется отображение из направленного множества A в X. Сетью из A в X обычно обозначают ( x _α ), где α — индексная переменная, пробегающая A. Каждая последовательность — это сетка, в которой A — направленное множество натуральных чисел с обычным порядком.

Нормальный

Пространство является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. ^[8] Каждое нормальное пространство допускает разбиение единицы .

Нормальный Хаусдорф

Нормальное хаусдорфово пространство (или пространство T ₄ ) является нормальным пространством T ₁ . (Нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₁ , поэтому терминология является единообразной.) Каждое нормальное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Нигде плотный

Нигде не плотное множество — это множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.

Открыть крышку

Открытое покрытие — это покрытие, состоящее из открытых множеств. ^[6]

Открытый мяч

Если ( M , d ) — метрическое пространство, открытый шар — это множество вида B ( x ; r ) := { y in M  ​​: d ( x , y ) < r }, где x принадлежит M , а r — положительное действительное число , радиус шара. Открытый шар радиуса r — это открытый r -шар . Каждый открытый шар — это открытое множество в топологии на M, индуцированной d .

Открытое состояние

Смотреть открытое свойство .

Открытый набор

Открытое множество является членом топологии.

Открытая функция

Функция из одного пространства в другое открыта , если образ каждого открытого множества открыт.

Открытая недвижимость

Свойство точек в топологическом пространстве называется «открытым», если те точки, которые им обладают, образуют открытое множество . Такие условия часто принимают общую форму, и эту форму можно назвать открытым условием ; например, в метрических пространствах открытый шар определяется так, как указано выше, и говорится, что «строгое неравенство является открытым условием».

Ортокомпактный

Пространство является ортокомпактным, если каждая открытая оболочка имеет сохраняющее внутреннюю часть открытое утончение .

Паракомпактный

Пространство является паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое измельчение. Паракомпактность подразумевает метакомпактность. ^[17] Паракомпактные хаусдорфовы пространства являются нормальными. ^[18]

Разделение единства

Разбиение единицы пространства X — это набор непрерывных функций от X до [0, 1], такой, что любая точка имеет окрестность, где все функции, за исключением конечного числа, тождественно равны нулю, а сумма всех функций на всем пространстве тождественно равна 1.

Путь

Путь в пространстве X — это непрерывное отображение f из замкнутого единичного интервала [0, 1] в X. Точка f (0) является начальной точкой f ; точка f (1) является конечной точкой f . ^[13]

Путь-связанный

Пространство X является линейно связным , если для любых двух точек x , y в X существует путь f от x до y , т. е. путь с начальной точкой f (0) = x и конечной точкой f (1) = y . Каждое линейно связное пространство связно. ^[13]

Компонент путевой связности

Компонента линейной связности пространства — это максимальное непустое подпространство линейной связности. Множество компонент линейной связности пространства — это разбиение этого пространства, которое тоньше разбиения на компоненты связности. ^[13] Множество компонент линейной связности пространства X обозначается π ₀ ( X ) .

Совершенно нормально

нормальное пространство, которое также является G _δ . ^[8]

π-основание

Совокупность B непустых открытых множеств является π-базой для топологии τ, если каждое непустое открытое множество в τ включает в себя множество из B. ^[19 ]

Точка

Точка — это элемент топологического пространства. В более общем смысле, точка — это элемент любого множества с базовой топологической структурой; например, элемент метрического пространства или топологической группы также является «точкой».

Точка закрытия

См . Закрытие .

польский

Пространство является польским, если оно сепарабельно и вполне метризуемо, т. е. если оно гомеоморфно сепарабельному и полному метрическому пространству.

Полиадический

Пространство является полиадическим, если оно является непрерывным образом мощности одноточечной компактификации локально компактного некомпактного хаусдорфова пространства.

Политопологическое пространство

Политопологическое пространство — это множество вместе с семейством топологий на , которое линейно упорядочено отношением включения, где — произвольное множество индексов .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

P-точка

Точка топологического пространства является P-точкой, если ее фильтр окрестностей замкнут относительно счетных пересечений.

Предварительно компактный

См. Относительно компактный .

Предварительно открытый набор

Подмножество A топологического пространства X является предоткрытым, если . ^[4]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)}$

Продискретная топология

Продискретная топология на произведении A ^G — это топология произведения, когда каждому фактору A задана дискретная топология. ^[20]

Топология продукта

Если — набор пространств, а X — (теоретико-множественное) декартово произведение , то топология произведения на X — это грубейшая топология, для которой все отображения проекций непрерывны.${\displaystyle \left(X_{i}\right)}$${\displaystyle \left(X_{i}\right),}$

Правильное функционирование/отображение

Непрерывная функция f из пространства X в пространство Y называется собственной, если является компактным множеством в X для любого компактного подпространства C пространства Y .${\displaystyle f^{-1}(C)}$

Пространство близости

Пространство близости ( X ,  d ) — это множество X, снабженное бинарным отношением d между подмножествами X, удовлетворяющим следующим свойствам:

Для всех подмножеств A , B и C множества X ,

1. A d B подразумевает B d A
2. A d B подразумевает, что A непусто
3. Если A и B имеют непустое пересечение, то A d B
4. A d ( B  C ) тогда и только тогда, когда ( A d B или A d C )${\displaystyle \cup }$ 
5. Если для всех подмножеств E из X мы имеем ( A d E или B d E ), то мы должны иметь A d ( X − B )

Псевдокомпактный

Пространство является псевдокомпактным, если каждая непрерывная функция на этом пространстве ограничена.

Псевдометрический

См. Псевдометрическое пространство .

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство ( M , d ) — это множество M , снабженное действительной -функцией, удовлетворяющей всем условиям метрического пространства, за исключением, возможно, тождества неразличимых. То есть, точки в псевдометрическом пространстве могут быть «бесконечно близки», не будучи идентичными. Функция d является псевдометрикой на M . Каждая метрика является псевдометрикой.${\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} }$

Проколотый район / Проколотый район

Проколотая окрестность точки x — это окрестность x , минус { x }. Например, интервал (−1, 1) = { y  : −1 < y < 1} — это окрестность x = 0 на вещественной прямой , поэтому множество является проколотой окрестностью 0.${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}}$

Квазикомпактный

См. компактный . Некоторые авторы определяют «компактный», включая аксиому разделения Хаусдорфа , и используют термин квазикомпактный для обозначения того, что мы называем в этом глоссарии просто «компактным» (без аксиомы Хаусдорфа). Это соглашение чаще всего встречается во французском языке, и разделы математики в значительной степени подвержены влиянию французского языка.

Карта коэффициентов

Если X и Y являются пространствами, и если f является сюръекцией из X в Y , то f является отображением фактора (или отображением идентификации ), если для каждого подмножества U из Y , U открыто в Y тогда и только тогда, когда f ^{- 1} ( U ) открыто в X . Другими словами, Y имеет f -сильную топологию. Эквивалентно, является отображением фактора тогда и только тогда, когда оно является трансфинитной композицией отображений , где - подмножество. Обратите внимание, что это не означает, что f является открытой функцией. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X\rightarrow X/Z}$${\displaystyle Z\subset X}$

Факторное пространство

Если X — пространство, Y — множество, а f  :  X  →  Y — любая сюръективная функция, то топология Фактор на Y, индуцированная f, является наилучшей топологией, для которой f непрерывна. Пространство X является факторпространством или пространством идентификации . По определению f является отображением фактора. Наиболее распространенным примером этого является рассмотрение отношения эквивалентности на X , где Y — множество классов эквивалентности , а f — естественное отображение проекции. Эта конструкция двойственна конструкции топологии подпространства.

Уточнение

Покрытие K является уточнением покрытия L, если каждый элемент K является подмножеством некоторого элемента L.

Обычный

Пространство является регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а x — точка, не лежащая в C , то C и x имеют непересекающиеся окрестности.

Регулярный Хаусдорф

Пространство является регулярным Хаусдорфовым (или T ₃ ), если оно является регулярным T ₀ пространством. (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₀ , поэтому терминология является единообразной.)

Регулярно открыто

Подмножество пространства X является регулярно открытым, если оно равно внутренности своего замыкания; дуально, регулярное замкнутое множество равно замыканию своей внутренности. ^[21] Примером нерегулярного открытого множества является множество U = (0,1) ∪ (1,2) в R с его нормальной топологией, поскольку 1 находится внутри замыкания U , но не в U . Регулярные открытые подмножества пространства образуют полную булеву алгебру . ^[21]

Относительно компактный

Подмножество Y пространства X относительно компактно в X , если замыкание Y в X компактно.

Остаточный

Если X — пространство, а A — подмножество X , то A является остаточным в X , если дополнение A является тощим в X. Также называется комеагром или комеагером .

Разрешимый

Топологическое пространство называется разрешимым, если оно представимо в виде объединения двух непересекающихся плотных подмножеств .

Компактный обод

Пространство является компактным, если его база состоит из открытых множеств, границы которых компактны.

S-пространство

S -пространство — это наследственно сепарабельное пространство , которое не является наследственно линделёфовым . ^[14]

Разбросанный

Пространство X называется рассеянным , если каждое непустое подмножество A пространства X содержит точку, изолированную в A.

Скотт

Топология Скотта на частично упорядоченном множестве — это топология, в которой открытые множества — это те верхние множества, которые недоступны направленным соединениям. ^[22]

Вторая категория

См . Мигре .

Второй счетный

Пространство является счетно-второстепенным или совершенно отделимым, если оно имеет счетную базу для своей топологии. ^[8] Каждое пространство, удовлетворяющее счетно-второстепенным требованиям, является счетно-второстепенным, отделимым и линделефовым.

Полулокально односвязный

Пространство X является полулокально односвязным , если для каждой точки x в X существует окрестность U точки x такая, что каждая петля в точке x в U гомотопна в X постоянной петле x . Каждое просто связное пространство и каждое локально односвязное пространство является полулокально односвязным. (Сравните с локально односвязным; здесь гомотопия может существовать в X , тогда как в определении локально односвязного пространства гомотопия должна существовать в U. )

Полуоткрытый

Подмножество A топологического пространства X называется полуоткрытым, если . ^[23]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

Полуоткрытый

Подмножество A топологического пространства X называется полупредоткрытым, если ^[2]${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)}$

Полурегулярный

Пространство является полурегулярным, если регулярные открытые множества образуют его базу.

Разделяемый

Пространство сепарабельно , если оно имеет счетное плотное подмножество. ^{[8] [16]}

Раздельный

Два множества A и B разделены, если каждое из них не пересекается с замыканием другого.

Последовательно компактный

Пространство секвенциально компактно, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Каждое секвенциально компактное пространство счетно компактно, и каждое счетно-счетное, счетно компактное пространство секвенциально компактно.

Краткая карта

Смотреть метрическую карту

Просто подключено

Пространство является односвязным, если оно линейно связно и каждая петля гомотопна постоянному отображению.

Меньшая топология

См. Более грубая топология .

Трезвый

В трезвом пространстве каждое неприводимое замкнутое подмножество является замыканием ровно одной точки: то есть имеет единственную общую точку . ^[24]

Звезда

Звезда точки в данном покрытии топологического пространства — это объединение всех множеств в покрытии, содержащих точку. См. уточнение звезды .

${\displaystyle f}$-Сильная топология

Пусть будет картой топологических пространств. Мы говорим, что имеет -сильную топологию, если для каждого подмножества , есть , которая открыта в тогда и только тогда, когда открыта в${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

Более сильная топология

См. Более тонкая топология . Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин более слабая топология .

Подоснова

Набор открытых множеств является предбазой (или подбазой ) для топологии, если каждое непустое собственное открытое множество в топологии является объединением конечного пересечения множеств в подбазе. Если — любой набор подмножеств множества X , то топология на X , порожденная им, является наименьшей топологией, содержащей эту топологию, состоящей из пустого множества X и всех объединений конечных пересечений элементов из Таким образом, является предбазой для топологии, которую он порождает.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}};}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подоснова

См . Подбаза .

Подкавер

Покрытие K является подпокрытием (или подпокрытием ) покрытия L, если каждый элемент покрытия K является элементом покрытия L.

Подпокрытие

См . Подкавер .

Субмаксимальное пространство

Топологическое пространство называется субмаксимальным, если каждое его подмножество локально замкнуто, то есть каждое подмножество является пересечением открытого множества и замкнутого множества .

Вот некоторые факты о субмаксимальности как свойстве топологических пространств:

• Каждое дверное пространство не максимально.
• Каждое субмаксимальное пространство слабо субмаксимально , то есть каждое конечное множество локально замкнуто.
• Каждое субмаксимальное пространство неразрешимо . ^[25]

Подпространство

Если T — топология на пространстве X , а A — подмножество X , то топология подпространства на A, индуцированная T, состоит из всех пересечений открытых множеств в T с A. Эта конструкция двойственна конструкции топологии факторизации.

линия Суслина

Т ₀

Пространство называется T ₀ (или пространством Колмогорова ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве либо существует открытое множество, содержащее x , но не y , либо существует открытое множество, содержащее y, но не x .

Т ₁

Пространство является T ₁ (или пространством Фреше или доступным ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указывать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T _{1 ,} если все его синглтоны замкнуты. Каждое пространство T ₁ является T ₀ .

Т ₂

См. Хаусдорфово пространство .

Т ₃

См. Регулярный Хаусдорф .

Т _3½

См. пространство Тихонова .

Т ₄

См. Нормальный Хаусдорф .

Т ₅

См. Полностью нормальный Хаусдорф .

Вершина

См. Категория топологических пространств .

θ-кластерная точка, θ-замкнутая, θ-открытая

Точка x топологического пространства X является точкой θ-кластера подмножества A , если для каждой открытой окрестности U точки x в X. Подмножество A является θ-замкнутым, если оно равно множеству своих точек θ-кластера, и θ-открытым, если его дополнение является θ-замкнутым. ^[23]${\displaystyle A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset }$

Топологический инвариант

Топологический инвариант — это свойство, которое сохраняется при гомеоморфизме. Например, компактность и связность являются топологическими свойствами, тогда как ограниченность и полнота — нет. Алгебраическая топология — это изучение топологически инвариантных абстрактных алгебраических конструкций на топологических пространствах.

Топологическое пространство

Топологическое пространство ( X , T ) — это множество X, снабженное набором T подмножеств X, удовлетворяющих следующим аксиомам :

1. Пустое множество и X находятся в T.
2. Объединение любого набора множеств из T также принадлежит T .
3. Пересечение любой пары множеств из T также принадлежит T.

Коллекция T является топологией на X.​

Топологическая сумма

См. Топология копроизведения .

Топологически полный

Полностью метризуемые пространства (т. е. топологические пространства, гомеоморфные полным метрическим пространствам) часто называют топологически полными ; иногда этот термин также используется для пространств, полных по Чеху, или полностью униформизуемых пространств .

Топология

См. Топологическое пространство .

Полностью ограниченный

Метрическое пространство M вполне ограничено, если для любого r > 0 существует конечное покрытие M открытыми шарами радиуса r . Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Полностью отключен

Пространство полностью несвязно, если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.

Тривиальная топология

Тривиальная топология (или недискретная топология ) на множестве X состоит в точности из пустого множества и всего пространства X.

Тихонов

Тихоновское пространство (или полностью регулярное хаусдорфово пространство, полностью T ₃ пространство, пространство T _3.5 ) — это полностью регулярное пространство T ₀ . (Полностью регулярное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₀ , поэтому терминология является единообразной.) Каждое тихоновское пространство является регулярно хаусдорфовым.

Ультра-связанный

Пространство является сверхсвязным, если никакие два непустых замкнутых множества не являются непересекающимися. ^[13] Каждое сверхсвязное пространство является линейно связным.

Ультраметрический

Метрика является ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника : для всех x , y , z из M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )).

Равномерный изоморфизм

Если X и Y — равномерные пространства , равномерный изоморфизм из X в Y — это биективная функция f  : X → Y такая, что f и f ⁻¹ равномерно непрерывны . Тогда пространства называются равномерно изоморфными и имеют одинаковые равномерные свойства .

Унифицированный /Унифицированный

Пространство униформизуемо, если оно гомеоморфно однородному пространству.

Равномерное пространство

Равномерное пространство — это множество X, снабженное непустым набором Φ подмножеств декартова произведения X × X, удовлетворяющим следующим аксиомам :

1. если U находится в Φ, то U содержит { ( x , x ) | x в X }.
2. если U находится в Φ, то { ( y , x ) | ( x , y ) в U } также находится в Φ
3. если U принадлежит Φ и V является подмножеством X × X , которое содержит U , то V принадлежит Φ
4. если U и V лежат в Φ, то U ∩ V лежит в Φ
5. если U принадлежит Φ, то существует V в Φ, такое что всякий раз, когда ( x , y ) и ( y , z ) принадлежат V , то ( x , z ) принадлежит U.

Элементы Φ называются окружениями , а само Φ называется равномерной структурой на X. Равномерная структура индуцирует топологию на X , где базовые окрестности x являются множествами вида { y  : ( x , y )∈ U } для U ∈Φ.

Равномерная структура

См. Равномерное пространство .

Слабая топология

Слабая топология на множестве по отношению к набору функций из этого множества в топологических пространствах — это самая грубая топология на множестве, которая делает все функции непрерывными.

Более слабая топология

См. Более грубая топология . Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин более сильная топология .

Слабо счетно компактный

Пространство слабо счетно компактно (или компактно относительно предельной точки ), если каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку.

Слабо наследственный

Свойство пространств называется слабо наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то им обладает и каждое его замкнутое подпространство. Например, компактность и свойство Линделёфа являются слабо наследственными свойствами, хотя ни одно из них не является наследственным.

Масса

Вес пространства X — это наименьшее кардинальное число κ, такое что X имеет базу кардинального числа κ. (Обратите внимание, что такое кардинальное число существует, поскольку вся топология образует базу, а класс кардинальных чисел вполне упорядочен .)

С хорошими связями

См . Ультрасвязный . (Некоторые авторы используют этот термин строго для ультрасвязных компактных пространств.)

Нульмерный

Пространство является нульмерным, если оно имеет базу из открыто-замкнутых множеств. ^[26]

• Наивная теория множеств , Аксиоматическая теория множеств и Функция для определений, касающихся множеств и функций.
• Топология для краткой истории и описания предметной области
• Топологические пространства для основных определений и примеров
• Список общих топологических тем
• Список примеров по общей топологии

Концепции, специфичные для топологии

• Компактное пространство
• Связанное пространство
• Непрерывность
• Метрическое пространство
• Раздельные наборы
• Аксиома разделения
• Топологическое пространство
• Равномерное пространство

Другие глоссарии

• Словарь терминов алгебраической топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Глоссарий разделов математики
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

• Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воган, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Кунен, Кеннет ; Воган, Джерри Э., ред. (1984). Справочник по теоретико-множественной топологии . Северная Голландия. ISBN 0-444-86580-2.
• Нагата, Джун-ити (1985). Современная общая топология . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 33 (2-е исправленное изд.). Амстердам-Нью-Йорк-Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0080933793. Збл  0598.54001.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1978). Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том 5. ISBN 0-521-36062-5. Збл  0668.54001.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Рединг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-08707-9. Збл  0205.26601.Также доступно переиздание Dover.

• Глоссарий определений по топологии