Верхний комплект
Подмножество предварительного порядка, содержащее все более крупные элементы
Диаграмма Хассе делителей , упорядоченная отношением делитель , с верхним множеством, окрашенным в зеленый цвет. Белые множества образуют нижнее множество 210 {\displaystyle 210} ↑ 2 {\displaystyle \uparrow 2} ↓ 105. {\displaystyle \downarrow 105.}

В математике верхнее множество ( также называемое замкнутым вверх множеством , расстроенным или изотонной группой в X ) [1] частично упорядоченного множества — это подмножество со следующим свойством: если s принадлежит S и если x в X больше s (то есть, если ), то x принадлежит S . Другими словами, это означает, что любой элемент x из X , который принадлежит некоторому элементу S , обязательно является также элементом S . Термин нижнее множество (также называемое замкнутым вниз множеством , нижним множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеалом ) определяется аналогично как подмножество S из X со свойством, что любой элемент x из X , который принадлежит некоторому элементу S , обязательно является также элементом S . ( Х , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq)} С ⊆ Х {\displaystyle S\subseteq X} с < х {\displaystyle с<х} ≥ {\displaystyle \,\geq \,} ≤ {\displaystyle \,\leq \,}

Определение

Пусть будет предупорядоченным множеством . Верхнее множество в (также называемое замкнутым множеством вверх , расстроенным множеством или изотонным множеством ) [1] — это подмножество , которое «замкнуто при движении вверх», в том смысле, что ( Х , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq)} Х {\displaystyle X} У ⊆ Х {\displaystyle U\subseteq X}

для всех и вся если тогда ты ∈ У {\displaystyle u\in U} х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} ты ≤ х {\displaystyle u\leq x} х ∈ У . {\displaystyle x\in U.}

Двойственное понятие — это нижнее множество (также называемое замкнутым вниз множеством , нижним множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеалом ), которое является подмножеством , которое «замкнуто относительно движения вниз», в том смысле, что Л ⊆ Х {\displaystyle L\subseteq X}

для всех и вся если тогда л ∈ Л {\displaystyle л\в Л} х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} х ≤ л {\displaystyle x\leq l} х ∈ Л . {\displaystyle x\in L.}

Термины «идеал порядка» или «идеал» иногда используются как синонимы для нижнего множества. [2] [3] [4] Такой выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки , поскольку нижнее множество решетки не обязательно является подрешеткой. [2]

Характеристики

  • Каждое частично упорядоченное множество является верхним множеством самого себя.
  • Пересечение и объединение любого семейства верхних множеств снова является верхним множеством .
  • Дополнением любого верхнего множества является нижнее множество, и наоборот .
  • Для частично упорядоченного множества семейство верхних множеств, упорядоченных с отношением включения , представляет собой полную решетку , решетку верхнего множества . ( Х , ≤ ) , {\displaystyle (X,\leq),} Х {\displaystyle X}
  • Для произвольного подмножества частично упорядоченного множества наименьшее верхнее множество, содержащее , обозначается с помощью стрелки вверх (см. верхнее замыкание и нижнее замыкание). И {\displaystyle Y} Х , {\displaystyle X,} И {\displaystyle Y} ↑ И {\displaystyle \uparrow Y}
    • Двойственно, наименьшее нижнее множество, содержащее, обозначается с помощью стрелки вниз как И {\displaystyle Y} ↓ И . {\displaystyle \downarrow Y.}
  • Нижнее множество называется главным, если оно имеет вид , где является элементом ↓ { х } {\displaystyle \downarrow \{x\}} х {\displaystyle x} Х . {\displaystyle X.}
  • Каждое нижнее множество конечного частично упорядоченного множества равно наименьшему нижнему множеству, содержащему все максимальные элементы И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}
    • ↓ И =↓ Макс ⁡ ( И ) {\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Макс} (Y)} где обозначает множество, содержащее максимальные элементы Макс ⁡ ( И ) {\displaystyle \operatorname {Макс} (Y)} И . {\displaystyle Y.}
  • Направленное нижнее множество называется порядковым идеалом .
  • Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи , антицепи и верхние множества находятся во взаимно однозначном соответствии посредством следующих биекций : сопоставить каждую антицепь ее верхнему замыканию (см. ниже); наоборот, сопоставить каждое верхнее множество множеству его минимальных элементов. Это соответствие не выполняется для более общих частичных порядков; например, множества действительных чисел и оба сопоставляются с пустой антицепью. { х ∈ Р : х > 0 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}} { х ∈ Р : х > 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}

Верхнее закрытие и нижнее закрытие

Для элемента частично упорядоченного множества верхнее замыкание или замыкание вверх обозначается как или определяется как в то время как нижнее замыкание или замыкание вниз обозначается как или определяется как х {\displaystyle x} ( Х , ≤ ) , {\displaystyle (X,\leq),} х , {\displaystyle x,} х ↑ Х , {\displaystyle x^{\uparrow X},} х ↑ , {\displaystyle x^{\uparrow },} ↑ х , {\displaystyle \uparrow \!x,} х ↑ Х = ↑ х = { ты ∈ Х : х ≤ ты } {\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}} х {\displaystyle x} х ↓ Х , {\displaystyle x^{\downarrow X},} х ↓ , {\displaystyle x^{\downarrow },} ↓ х , {\displaystyle \downarrow \!x,} х ↓ Х = ↓ х = { л ∈ Х : л ≤ х } . {\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}

Множества и являются, соответственно, наименьшими верхними и нижними множествами, содержащими в качестве элемента. В более общем смысле, заданное подмножество определяет верхнее / восходящее замыкание и нижнее / нисходящее замыкание обозначенных и соответственно , как и ↑ х {\displaystyle \uparrow \!x} ↓ х {\displaystyle \downarrow \!x} х {\displaystyle x} А ⊆ Х , {\displaystyle A\subseteq X,} А , {\displaystyle А,} А ↑ Х {\displaystyle A^{\uparrow X}} А ↓ Х {\displaystyle A^{\downarrow X}} А ↑ Х = А ↑ = ⋃ а ∈ А ↑ а {\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a} А ↓ Х = А ↓ = ⋃ а ∈ А ↓ а . {\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}

Таким образом, и где верхние множества и нижние множества этой формы называются главными . Верхнее замыкание и нижнее замыкание множества являются, соответственно, наименьшим верхним множеством и нижним множеством, содержащими его. ↑ х =↑ { х } {\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}} ↓ х =↓ { х } , {\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}

Верхнее и нижнее замыкания, рассматриваемые как функции от множества мощности к себе, являются примерами операторов замыкания, поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание множества равно пересечению всех верхних множеств, содержащих его, и аналогично для нижних множеств. (Действительно, это общее явление операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества равно пересечению всех замкнутых множеств, содержащих его; охват множества векторов равно пересечению всех подпространств, содержащих его; подгруппа , порождённая подмножеством группы , равна пересечению всех подгрупп, содержащих его; идеал, порождённый подмножеством кольца , равен пересечению всех идеалов, содержащих его; и т. д.) Х {\displaystyle X}

Порядковые числительные

Порядковое число обычно отождествляется с множеством всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует низшее множество в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены включением множеств.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–29.
  2. ^ ab Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Cambridge University Press . стр. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN  2001043910.
  3. ^ Стэнли, РП (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 1. Cambridge University Press. С. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
  4. ^ Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. стр. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.
  • Бланк, Дж. (2000). "Представления доменов топологических пространств" (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
  • Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
  • Хоффман, КХ (2001), Аксиомы низкого разделения (T0) и (T1)
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upper_set&oldid=1136854557"