Категория (математика)

В математике категория (иногда называемая абстрактной категорией , чтобы отличить ее от конкретной категории ) — это совокупность «объектов», связанных «стрелками». Категория имеет два основных свойства: способность составлять стрелки ассоциативно и существование стрелки тождества для каждого объекта. Простым примером является категория множеств , объекты которой являются множествами , а стрелки — функциями .

Теория категорий — это раздел математики, который стремится обобщить всю математику в терминах категорий, независимо от того, что представляют их объекты и стрелки. Практически каждый раздел современной математики можно описать в терминах категорий, и это часто открывает глубокие идеи и сходства между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий предоставляет альтернативную основу для математики по сравнению с теорией множеств и другими предлагаемыми аксиоматическими основами. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными сущностями любого вида, а понятие категории предоставляет фундаментальный и абстрактный способ описания математических сущностей и их отношений.

Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования .

Две категории являются одинаковыми, если они имеют одинаковую совокупность объектов, одинаковую совокупность стрелок и один и тот же ассоциативный метод составления любой пары стрелок. Две различные категории также могут считаться « эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры.

Известные категории обозначаются коротким заглавным словом или сокращением, выделенным жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set , категорию множеств и функций множеств ; Ring , категорию колец и гомоморфизмов колец ; и Top , категорию топологических пространств и непрерывных отображений . Все предыдущие категории имеют тождественное отображение в качестве тождественных стрелок и композицию в качестве ассоциативной операции над стрелками.

Классический и до сих пор часто используемый текст по теории категорий — «Категории для работающего математика» Сондерса Маклейна . Другие ссылки приведены в списке литературы ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.

Любой моноид можно понимать как особый вид категории (с одним объектом, самоморфизмы которого представлены элементами моноида), и так же может пониматься любой предпорядок .

Существует множество эквивалентных определений категории. ^[1] Одно из наиболее часто используемых определений следующее. Категория C состоит из

• класс ob ( C ) объектов ,
• класс mor( C ) морфизмов или стрелок ,
• функция домена или исходного класса dom: mor(C ) → ob(C),
• функция кодомена или целевого класса cod: mor(C) → ob(C),
• для каждых трех объектов a , b и c , бинарная операция hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ) называется композицией морфизмов . Здесь hom( a , b ) обозначает подкласс морфизмов f в mor( C ) такой, что dom(f) = a и cod(f) = b . Морфизмы в этом подклассе записываются как f  : a → b , а композиция f  : a → b и g  : b → c часто записывается как g ∘ f или gf .

таким образом, что выполняются следующие аксиомы:

• ассоциативный закон : если f  : a → b , g  : b → c и h  : c → d , то h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , и
• ( левый и правый законы единиц ) : для каждого объекта x существует морфизм 1 _x  : x → x (некоторые авторы пишут id _x ) , называемый тождественным морфизмом для x , такой, что каждый морфизм f  : a → x удовлетворяет 1 _x ∘ f = f , а каждый морфизм g  : x → b удовлетворяет g ∘ 1 _x = g .

Мы пишем f : a → b и говорим " f является морфизмом из a в b ". Мы пишем hom( a , b ) (или hom _C ( a , b ), когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории относится hom( a , b )), чтобы обозначить hom-класс всех морфизмов из a в b . ^[2]

Некоторые авторы записывают композицию морфизмов в «диаграммном порядке», записывая f;g или fg вместо g ∘ f .

Из этих аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один морфизм тождества. Часто отображение, назначающее каждому объекту его морфизм тождества, рассматривается как дополнительная часть структуры категории, а именно функция класса i: ob(C) → mor(C). Некоторые авторы используют небольшой вариант определения, в котором каждый объект идентифицируется с соответствующим морфизмом тождества. Это вытекает из идеи, что фундаментальными данными категорий являются морфизмы, а не объекты. Фактически, категории могут быть определены без ссылки на объекты вообще с помощью частичной бинарной операции с дополнительными свойствами.

Категория C называется малой, если и ob( C ), и hom( C ) на самом деле являются множествами , а не собственными классами , и большой в противном случае. Локально малая категория — это категория, такая, что для всех объектов a и b hom-класс hom( a , b ) является множеством, называемым homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не малы, по крайней мере локально малы. Поскольку в малых категориях объекты образуют множество, малую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, похожую на моноид , но не требующую свойств замыкания . Большие категории, с другой стороны, можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.

Класс всех множеств (как объектов) вместе со всеми функциями между ними (как морфизмами), где композиция морфизмов является обычной композицией функций , образует большую категорию Set . Это самая базовая и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех множеств (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмами). Абстрагирование от отношений вместо функций дает аллегории , особый класс категорий.

Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы. Такие категории называются дискретными . Для любого заданного множества I дискретная категория на I — это малая категория, которая имеет элементы I в качестве объектов и только тождественные морфизмы в качестве морфизмов. Дискретные категории — это простейший вид категории.

Любой предупорядоченный набор ( P , ≤) образует малую категорию, где объекты являются членами P , морфизмы являются стрелками, указывающими из x в y, когда x ≤ y . Более того, если ≤ антисимметрично , между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма. Существование тождественных морфизмов и композируемость морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка . По тому же аргументу любое частично упорядоченное множество и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как малую категорию. Любое порядковое число можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор .

Любой моноид (любая алгебраическая структура с одной ассоциативной бинарной операцией и элементом тождества ) образует малую категорию с одним объектом x . (Здесь x — любое фиксированное множество.) Морфизмы из x в x являются в точности элементами моноида, тождественный морфизм x является тождеством моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Несколько определений и теорем о моноидах могут быть обобщены для категорий.

Аналогично любая группа может рассматриваться как категория с одним объектом, в которой каждый морфизм обратим , то есть для каждого морфизма f существует морфизм g , который является как левым, так и правым обратным к f относительно композиции. Морфизм, который обратим в этом смысле, называется изоморфизмом .

Группоид — это категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды — это обобщения групп, групповых действий и отношений эквивалентности . На самом деле, с точки зрения категории единственное различие между группоидом и группой заключается в том, что группоид может иметь более одного объекта, но группа должна иметь только один. Рассмотрим топологическое пространство X и зафиксируем базовую точку X , тогда — фундаментальная группа топологического пространства X и базовая точка , и как множество оно имеет структуру группы; если затем позволить базовой точке пробегать все точки X и взять объединение всех , то множество, которое мы получим, имеет только структуру группоида (которая называется фундаментальным группоидом X ): две петли (под отношением эквивалентности гомотопии) могут не иметь одну и ту же базовую точку , поэтому они не могут умножаться друг на друга. На языке категорий это означает, что два морфизма не могут иметь один и тот же исходный объект (или целевой объект, поскольку в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект являются одним и тем же: базовой точкой), поэтому они не могут сочетаться друг с другом.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \пи _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \пи _{1}(X,x_{0})}$

Любой ориентированный граф порождает малую категорию: объекты — вершины графа, а морфизмы — пути в графе (дополненные циклами по мере необходимости), где композиция морфизмов — это конкатенация путей. Такая категория называется свободной категорией, порождаемой графом.

Класс всех предупорядоченных множеств с функциями, сохраняющими порядок (т. е. монотонно возрастающими функциями) в качестве морфизмов образует категорию Ord . Это конкретная категория , т. е. категория, полученная путем добавления некоторого типа структуры к Set и требования, чтобы морфизмы были функциями, которые уважают эту добавленную структуру.

Класс всех групп с групповыми гомоморфизмами в качестве морфизмов и функциональной композицией в качестве операции композиции образует большую категорию Grp . Как и Ord , Grp является конкретной категорией. Категория Ab , состоящая из всех абелевых групп и их групповых гомоморфизмов, является полной подкатегорией Grp и прототипом абелевой категории .

Класс всех графов образует другую конкретную категорию, где морфизмы являются гомоморфизмами графов (т. е. отображениями между графами, которые отправляют вершины в вершины и ребра в ребра таким образом, что сохраняются все отношения смежности и инцидентности).

Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.

Пучки волокон с картами пучков между ними образуют конкретную категорию.

Категория Cat состоит из всех малых категорий, с функторами между ними в качестве морфизмов.

Любая категория C сама по себе может рассматриваться как новая категория по-другому: объекты те же, что и в исходной категории, но стрелки те же, что и в исходной категории, но перевернутые. Это называется двойственной или противоположной категорией и обозначается C ^op .

Если C и D являются категориями, можно образовать категорию-произведение C × D : объекты являются парами, состоящими из одного объекта из C и одного из D , а морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и одного в D. Такие пары можно составлять покомпонентно .

Морфизм f  : a → b называется​

• мономорфизмом (или моническим ) , если он является левосократимым, т.е. fg ₁ = fg ₂ влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : x → a .
• эпиморфизмом (или эпическим ) , если он является правосократимым, т.е. g ₁ f = g ₂ f влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : b → x .
• биморфизм , если он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
• ретракцией , если она имеет правую обратную, т.е. если существует морфизм g  : b → a с fg = 1 _b .
• сечение , если оно имеет левый обратный, т.е. если существует морфизм g  : b → a с gf = 1 _a .
• изоморфизмом , если он имеет обратный, т.е. если существует морфизм g  : b → a с fg = 1 _b и gf = 1 _a .
• эндоморфизм , если a = b . Класс эндоморфизмов a обозначается end( a ). Для локально малых категорий end( a ) является множеством и образует моноид относительно композиции морфизмов.
• автоморфизм , если f является как эндоморфизмом , так и изоморфизмом. Класс автоморфизмов a обозначается как aut( a ). Для локально малых категорий он образует группу относительно композиции морфизмов, называемую группой автоморфизмов a .

Каждая ретракция является эпиморфизмом. Каждая секция является мономорфизмом. Следующие три утверждения эквивалентны:

• f — мономорфизм и ретракция;
• f — эпиморфизм и сечение;
• f — изоморфизм.

Отношения между морфизмами (такие как fg = h ) удобнее всего представлять с помощью коммутативных диаграмм , где объекты представлены точками, а морфизмы — стрелками.

• Во многих категориях, например, Ab или Vect _K , hom-множества hom( a , b ) являются не просто множествами, а фактически абелевыми группами , и композиция морфизмов совместима с этими групповыми структурами; т.е. является билинейной . Такая категория называется предаддитивной . Если, кроме того, категория имеет все конечные произведения и копроизведения , она называется аддитивной категорией . Если все морфизмы имеют ядро ​​и коядро , и все эпиморфизмы являются коядрами, а все мономорфизмы являются ядрами, то мы говорим об абелевой категории . Типичным примером абелевой категории является категория абелевых групп.
• Категория называется полной, если в ней существуют все малые пределы . Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств являются полными.
• Категория называется декартово замкнутой, если она имеет конечные прямые произведения, а морфизм, определенный на конечном произведении, всегда может быть представлен морфизмом, определенным только на одном из факторов. Примерами являются Set и CPO , категория полных частичных порядков с непрерывными по Скотту функциями .
• Топос — это определенный тип декартовой замкнутой категории, в которой может быть сформулирована вся математика (так же, как классически вся математика формулируется в категории множеств). Топос также может быть использован для представления логической теории.

• Расширенная категория
• Теория высшей категории
• Кванталоид
• Таблица математических символов
• Космос (математика)
• Структура (математика)