Континуум (топология)

В математической области точечной топологии континуум (множественное число: «континуумы») — непустое компактное связное метрическое пространство или, реже, компактное связное хаусдорфово пространство . Теория континуума — раздел топологии, посвящённый изучению континуумов .

• Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденным .
• Подмножество A континуума X, такое что A само является континуумом, называется субконтинуумом X. Пространство , гомеоморфное субконтинууму евклидовой плоскости R2 ^, называется плоским континуумом .
• Континуум X является однородным , если для любых двух точек x и y из X существует гомеоморфизм h : X → X такой, что h ( x ) = y .
• Континуум Пеано — это континуум, который локально связан в каждой точке.
• Неразложимый континуум — это континуум, который не может быть представлен в виде объединения двух собственных подконтинуумов. Континуум X наследственно неразложим, если каждый подконтинуум X неразложим.
• Под размерностью континуума обычно понимают его топологическую размерность . Одномерный континуум часто называют кривой .

• Дуга — это пространство , гомеоморфное замкнутому интервалу [0,1]. Если h : [0,1] → X — гомеоморфизм и h (0) = p и h (1) = q , то p и q называются конечными точками X ; также говорят, что X — это дуга из p в q . Дуга — это простейший и наиболее знакомый тип континуума. Он одномерен, дугообразно связен и локально связен.
• Синусоида тополога — это подмножество плоскости, являющееся объединением графика функции f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1, с отрезком −1 ≤ y ≤ 1 оси Y. Это одномерный континуум, который не является дугообразно связным и локально несвязен в точках вдоль оси Y.
• Варшавская окружность получается путем «замыкания» топологической синусоидальной кривой дугой, соединяющей (0,−1) и (1,sin(1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но это не стягиваемое пространство .

• n -ячейка — это пространство, гомеоморфное замкнутому шару в евклидовом пространстве R ^{n . Оно стягиваемо и} является простейшим примером n -мерного континуума.
• N -сфера — это пространство, гомеоморфное стандартной n -сфере в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве. Это n -мерный однородный континуум, который не является стягиваемым, и, следовательно, отличается от n -ячейки.
• Куб Гильберта представляет собой бесконечномерный континуум.
• Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не являются ни дугообразно связанными, ни локально связанными.
• Ковер Серпинского , также известный как универсальная кривая Серпинского , представляет собой одномерный плоский континуум Пеано, содержащий гомеоморфный образ любого одномерного плоского континуума.
• Псевдодуга представляет собой однородный наследственно неразложимый плоский континуум.

Существует два основных метода построения континуумов: с помощью вложенных пересечений и обратных пределов .

• Если { X _n } — вложенное семейство континуумов, т. е. X _n ⊇ X _{n +1} , то их пересечение — континуум.

• Если {( X _n , f _n )} — обратная последовательность континуумов X _n , называемых координатными пространствами , вместе с непрерывными отображениями f _n : X _{n +1} → X _n , называемыми отображениями связей , то ее обратный предел — континуум.

Конечное или счетное произведение континуумов есть континуум.

• Линейный континуум
• губка Менгера
• Теория формы (математика)

• Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение . Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN  0-8247-8659-9 .

• Открытые проблемы в теории континуума
• Примеры в теории континуума
• Теория континуума и топологическая динамика, М. Барж и Дж. Кеннеди, в книге «Открытые проблемы топологии», Дж. ван Милль и Г. М. Рид (редакторы), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), 1990.
• Гиперпространствовики