Звездная утонченность

В математике , в частности, при изучении топологии и открытых покрытий топологического пространства X , звездное измельчение — это особый вид измельчения открытого покрытия X. Связанное с ним понятие — понятие барицентрического измельчения .

Звездные уточнения используются в определении полностью нормального пространства и в одном определении однородного пространства . Это также полезно для формулировки характеристики паракомпактности .

Общее определение имеет смысл для произвольных покрытий и не требует топологии. Пусть будет множеством и пусть будет покрытием , то есть, Если задано подмножество звезды относительно , ​​то есть объединение всех множеств, которые пересекаются , то есть,${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X,}$${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle S,}$$${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

При наличии точки мы пишем вместо${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

Покрытие является уточнением покрытия , если каждое содержится в некотором Ниже приведены два специальных вида уточнения. Покрытие называется барицентрическим уточнением , если для каждого звезда содержится в некотором ^{[1] [2]} Покрытие называется звездным уточнением , если для каждого звезда содержится в некотором ^{[3] [2]}${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \operatorname {st} (U, {\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$

Каждое звездное уточнение покрытия является барицентрическим уточнением этого покрытия. Обратное неверно, но барицентрическое уточнение барицентрического уточнения является звездным уточнением. ^{[4] [5] [6] [7]}

Дано метрическое пространство , пусть будет совокупностью всех открытых шаров фиксированного радиуса. Эта совокупность является барицентрическим измельчением , а совокупность является звездным измельчением.${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$${\displaystyle B_{\epsilon}(x)}$${\displaystyle \epsilon >0.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}},}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$

• Семейство множеств  – любая коллекция множеств или подмножеств множества.

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.