В топологии и смежных областях математики множество всех возможных топологий на данном множестве образует частично упорядоченное множество . Это отношение порядка может быть использовано для сравнения топологий .
Топологию на множестве можно определить как совокупность подмножеств , которые считаются «открытыми». (Альтернативное определение заключается в том, что это совокупность подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по сути эквивалентны, поскольку дополнение открытого множества является замкнутым и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.)
Для определенности читателю следует рассматривать топологию как семейство открытых множеств топологического пространства, поскольку это стандартное значение слова «топология».
Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X, такие, что τ 1 содержится в τ 2 :
То есть, каждый элемент τ 1 также является элементом τ 2 . Тогда топология τ 1 называется более грубой ( слабой или меньшей ) топологией, чем τ 2 , а τ 2 называется более тонкой ( сильной или большей ) топологией , чем τ 1 . [nb 1]
Если дополнительно
мы говорим, что τ 1 строго грубее, чем τ 2 , а τ 2 строго мельче, чем τ 1 . [ 1]
Бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на X.
Самая тонкая топология на X — это дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X — это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустое множество и все пространство в качестве открытых множеств.
В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует несколько возможных топологий. См. топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве для некоторых сложных взаимосвязей.
Все возможные полярные топологии на дуальной паре тоньше слабой топологии и грубее сильной топологии .
Комплексное векторное пространство C n может быть снабжено либо его обычной (евклидовой) топологией, либо его топологией Зарисского . В последнем случае подмножество V пространства C n замкнуто тогда и только тогда, когда оно состоит из всех решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Поскольку любое такое V также является замкнутым множеством в обычном смысле, но не наоборот , топология Зарисского строго слабее обычной.
Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(Отображение тождества id X является сюръективным и, следовательно, оно строго открыто тогда и только тогда, когда оно относительно открыто.)
Два непосредственных следствия из приведенных выше эквивалентных утверждений:
Можно также сравнивать топологии, используя базы соседства . Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X , и пусть B i ( x ) — локальная база для топологии τ i при x ∈ X для i = 1,2. Тогда τ 1 ⊆ τ 2 тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X каждое открытое множество U 1 в B 1 ( x ) содержит некоторое открытое множество U 2 в B 2 ( x ). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.
Множество всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку , которая также замкнута относительно произвольных пересечений. [2] То есть, любой набор топологий на X имеет встречу (или инфимум ) и соединение (или супремум ). Встреча набора топологий является пересечением этих топологий. Однако соединение, как правило, не является объединением этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологией, порожденной объединением.
Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , то есть она имеет наибольший и наименьший элемент . В случае топологий наибольший элемент — это дискретная топология , а наименьший элемент — это тривиальная топология .
Решетка топологий на множестве является дополненной решеткой ; то есть, если задана топология на , то существует топология на , такая, что пересечение является тривиальной топологией, а топология, порожденная объединением, является дискретной топологией. [3] [4]
Если множество имеет не менее трех элементов, то решетка топологий на не является модулярной [5] и, следовательно, не является дистрибутивной .