Сравнение топологий

Математическое упражнение

В топологии и смежных областях математики множество всех возможных топологий на данном множестве образует частично упорядоченное множество . Это отношение порядка может быть использовано для сравнения топологий .

Определение

Топологию на множестве можно определить как совокупность подмножеств , которые считаются «открытыми». (Альтернативное определение заключается в том, что это совокупность подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по сути эквивалентны, поскольку дополнение открытого множества является замкнутым и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.)

Для определенности читателю следует рассматривать топологию как семейство открытых множеств топологического пространства, поскольку это стандартное значение слова «топология».

Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X, такие, что τ 1 содержится в τ 2 :

τ 1 τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}} .

То есть, каждый элемент τ 1 также является элементом τ 2 . Тогда топология τ 1 называется более грубой ( слабой или меньшей ) топологией, чем τ 2 , а τ 2 называется более тонкой ( сильной или большей ) топологией , чем τ 1 . [nb 1]

Если дополнительно

τ 1 τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}

мы говорим, что τ 1 строго грубее, чем τ 2 , а τ 2 строго мельче, чем τ 1 . [ 1]

Бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на X.

Примеры

Самая тонкая топология на X — это дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X — это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустое множество и все пространство в качестве открытых множеств.

В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует несколько возможных топологий. См. топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве для некоторых сложных взаимосвязей.

Все возможные полярные топологии на дуальной паре тоньше слабой топологии и грубее сильной топологии .

Комплексное векторное пространство C n может быть снабжено либо его обычной (евклидовой) топологией, либо его топологией Зарисского . В последнем случае подмножество V пространства C n замкнуто тогда и только тогда, когда оно состоит из всех решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Поскольку любое такое V также является замкнутым множеством в обычном смысле, но не наоборот , топология Зарисского строго слабее обычной.

Характеристики

Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(Отображение тождества id X является сюръективным и, следовательно, оно строго открыто тогда и только тогда, когда оно относительно открыто.)

Два непосредственных следствия из приведенных выше эквивалентных утверждений:

  • Непрерывное отображение f  : XY остается непрерывным, если топология на Y становится грубее или топология на X — тоньше .
  • Открытое (соответственно замкнутое) отображение f  : XY остается открытым (соответственно замкнутым), если топология на Y становится тоньше или топология на X — грубее .

Можно также сравнивать топологии, используя базы соседства . Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X , и пусть B i ( x ) — локальная база для топологии τ i при xX для i = 1,2. Тогда τ 1τ 2 тогда и только тогда, когда для всех xX каждое открытое множество U 1 в B 1 ( x ) содержит некоторое открытое множество U 2 в B 2 ( x ). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.

Решетка топологий

Множество всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку , которая также замкнута относительно произвольных пересечений. [2] То есть, любой набор топологий на X имеет встречу (или инфимум ) и соединение (или супремум ). Встреча набора топологий является пересечением этих топологий. Однако соединение, как правило, не является объединением этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологией, порожденной объединением.

Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , то есть она имеет наибольший и наименьший элемент . В случае топологий наибольший элемент — это дискретная топология , а наименьший элемент — это тривиальная топология .

Решетка топологий на множестве является дополненной решеткой ; то есть, если задана топология на , то существует топология на , такая, что пересечение является тривиальной топологией, а топология, порожденная объединением, является дискретной топологией. [3] [4] Х {\displaystyle X} τ {\displaystyle \тау} Х {\displaystyle X} τ {\displaystyle \тау '} Х {\displaystyle X} τ τ {\displaystyle \тау \cap \тау '} τ τ {\displaystyle \тау \чашка \тау '}

Если множество имеет не менее трех элементов, то решетка топологий на не является модулярной [5] и, следовательно, не является дистрибутивной . Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X}

Смотрите также

  • Начальная топология , самая грубая топология на множестве, позволяющая сделать семейство отображений из этого множества непрерывным
  • Окончательная топология , наилучшая топология на множестве, позволяющая сделать семейство отображений в это множество непрерывным

Примечания

  1. ^ Некоторые авторы, особенно аналитики , используют термины «слабый» и «сильный» в противоположном значении (Мункрес, стр. 78).

Ссылки

  1. ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Saddle River, NJ: Prentice Hall . стр. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.
  2. ^ Ларсон, Роланд Э.; Андима, Сьюзен Дж. (1975). «Решетка топологий: обзор». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 5 (2): 177–198. doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-177 .
  3. ^ Штейнер, АК (1966). «Решетка топологий: структура и дополнение». Труды Американского математического общества . 122 (2): 379–398. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0190893-2 .
  4. ^ Ван Рой, ACM (1968). «Решетка всех топологий дополняема». Канадский журнал математики . 20 : 805–807. doi : 10.4153/CJM-1968-079-9 .
  5. ^ Штейнер 1966, Теорема 3.1.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Сравнение_топологий&oldid=1231399313"