Политопологическое пространство

В общей топологии политопологическое пространство состоит из множества вместе с семейством топологий на , которое линейно упорядочено отношением включения , где — произвольное множество индексов . Обычно предполагается, что топологии находятся в неубывающем порядке. ^{[1] [2] Однако некоторые авторы предпочитают,} чтобы ассоциированные операторы замыкания находились в неубывающем порядке, где тогда и только тогда, когда для всех . Это требует невозрастающих топологий. ^[3]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Я}$ ${\displaystyle \{k_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle k_{i}\leq k_{j}}$${\displaystyle k_{i}A\subseteq k_{j}A}$${\displaystyle A\subseteq X}$

-топологическое пространство — это множество вместе с монотонным отображением Top , где — частично упорядоченное множество , а Top — множество всех возможных топологий на упорядоченном по включению. Когда частичный порядок является линейным порядком, то называется политопологическим пространством . Принимая за порядковый номер -топологическое пространство, можно рассматривать его как множество с топологиями на нем. В более общем смысле мультитопологическое пространство — это множество вместе с произвольным семейством топологий на нем. ^[2]${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :L\to }$ ${\displaystyle (X)}$${\displaystyle (L,\leq)}$${\displaystyle (X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n=\{0,1,\точки ,n-1\},}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X,\tau _{0},\точки,\tau _{n-1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{0}\subseteq \точки \subseteq \tau _{n-1}}$ ${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \тау}$

Политопологические пространства были введены в 2008 году философом Томасом Айкардом с целью определения топологической модели полимодальной логики Джапаридзе (GLP) . ^[1] Позднее они были использованы для обобщения вариантов проблемы замыкания-дополнения Куратовского . ^{[2] [3]} Например, Тарас Банах и др. доказали, что при композиции операторов операторы замыкания и оператор дополнения на произвольном -топологическом пространстве могут вместе генерировать не более различных операторов ^[2] , где В 1965 году финский логик Яакко Хинтикка нашел эту границу для случая и заявил ^[4], что она «по-видимому, не подчиняется никакому очень простому закону как функция от ».${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\cdot K(n)}$$${\displaystyle K(n)=\sum _{i,j=0}^{n}{\tбином {i+j}{i}}\cdot {\tбином {i+j}{j}}.}$$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n}$

• Битопологическое пространство