Псевдокомпактное пространство
Топологическое пространство с ограниченным образом относительно любой непрерывной функции R

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется псевдокомпактным, если его образ при любой непрерывной функции в R ограничен . Многие авторы включают требование полной регулярности пространства в определение псевдокомпактности. Псевдокомпактные пространства были определены Эдвином Хьюиттом в 1948 году. [ 1]

  • Для того чтобы тихоновское пространство X было псевдокомпактным, требуется, чтобы каждое локально конечное множество непустых открытых множеств X было конечным . Существует много эквивалентных условий псевдокомпактности (иногда следует предполагать некоторую аксиому разделения ); большое количество из них цитируется в Stephenson 2003. Некоторые исторические замечания о более ранних результатах можно найти в Engelking 1989, стр. 211.
  • Каждое счетно компактное пространство является псевдокомпактным. Для нормальных хаусдорфовых пространств верно обратное.
  • Как следствие из вышеприведенного результата, каждое последовательно компактное пространство является псевдокомпактным. Обратное верно для метрических пространств . Поскольку секвенциальная компактность является эквивалентным условием компактности для метрических пространств, это означает, что компактность является эквивалентным условием псевдокомпактности также для метрических пространств.
  • Более слабый результат о том, что каждое компактное пространство является псевдокомпактным, легко доказывается: образ компактного пространства при любой непрерывной функции компактен, а каждое компактное множество в метрическом пространстве ограничено.
  • Если Y — непрерывный образ псевдокомпакта X , то Y — псевдокомпакт. Обратите внимание, что для непрерывных функций g  :  X  →  Y и h  :  Y  →  R композиция g и h , называемая f , является непрерывной функцией от X до действительных чисел. Следовательно, f ограничена , а Y — псевдокомпакт .
  • Пусть X — бесконечное множество, заданное топологией конкретной точки . Тогда X не является ни компактным, ни последовательно компактным, ни счетно компактным, ни паракомпактным , ни метакомпактным (хотя оно ортокомпактно ). Однако, поскольку X гиперсвязно , оно псевдокомпактно. Это показывает, что псевдокомпактность не подразумевает ни одну из этих других форм компактности.
  • Для того чтобы хаусдорфово пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и вещественнокомпактным (см. Engelking 1968, стр. 153).
  • Для того чтобы тихоновское пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и метакомпактным (см. Уотсон).

Псевдокомпактные топологические группы

Относительно усовершенствованная теория доступна для псевдокомпактных топологических групп . [2] В частности, WW Comfort и Kenneth A. Ross доказали, что произведение псевдокомпактных топологических групп все еще является псевдокомпактным (это может не выполняться для произвольных топологических пространств). [3]

Примечания

  1. ^ Кольца действительнозначных непрерывных функций, I, Trans. Amer. Math. Soc. 64 [1](1948), 45-99.
  2. ^ См., например, Михаил Ткаченко, Топологические группы: между компактностью и -ограниченностью, в Mirek Husek и Jan van Mill (ред.), Recent Progress in General Topology II, 2002 Elsevier Science BV ℵ 0 {\displaystyle \алеф _{0}}
  3. ^ Comfort, WW и Ross, KA, Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах, Pacific J. Math. 16, 483-496, 1966. [2]

Смотрите также

Ссылки

  • Энгелькинг, Рышард (1968), Очерк общей топологии , перевод с польского, Амстердам: Северная Голландия.
  • Энгелькинг, Рышард (1989), Общая топология , Берлин: Heldermann Verlag.
  • Керстан, Йоханнес (1957), «Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume», Mathematische Nachrichten , 16 ( 5–6 ): 289–293 , doi :10.1002/mana.19570160505.
  • Stephenson, RM Jr (2003), Псевдокомпактные пространства , Глава d-7 в Encyclopedia of General Topology, под редакцией: Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata и Jerry E. Vaughan, Страницы 177-181, Амстердам: Elsevier BV.
  • Уотсон, В. Стивен (1981), «Псевдокомпактные метакомпактные пространства компактны», Proc. Amer. Math. Soc. , 81 : 151– 152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
  • Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Рединг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли.
  • Янь-Мин, Ван (1988), «Новые характеристики псевдокомпактных пространств», Bull. Austral. Math. Soc. , 38 (2): 293– 298, doi : 10.1017/S0004972700027568.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Псевдокомпактное_пространство&oldid=1262804521"