Полиадическое пространство

В математике полиадическое пространство — это топологическое пространство , являющееся образом под действием непрерывной функции топологической степени одноточечной компактификации Александрова дискретного пространства .

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в ​​1970 году как обобщение диадических пространств . ^[1] Теория была далее развита Р. Х. Марти, Яношем Герлитсом и Мюрреем Г. Беллом, ^[2] последний из которых ввел концепцию более общих центрированных пространств. ^[1]

Подмножество K топологического пространства X называется компактным , если каждое открытое покрытие K содержит конечное подпокрытие. Оно называется локально компактным в точке x ∈ X , если x лежит внутри некоторого компактного подмножества X. X является локально компактным пространством , если оно локально компактно в каждой точке пространства. [ ^3]

Собственное подмножество A ⊂ X называется плотным, если замыкание Ā = X. Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется сепарабельным пространством .

Для некомпактного локально компактного хаусдорфова топологического пространства мы определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством , обозначаемым , где , с топологией, определяемой следующим образом: ^{[2] [4]}${\displaystyle (X,\tau _{X})}$${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$${\displaystyle \омега X}$${\displaystyle \omega \notin X}$${\displaystyle \тау _{\омега X}}$

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$, для каждого компактного подмножества .${\displaystyle C\subseteq X}$

Пусть будет дискретным топологическим пространством, и пусть будет одноточечной компактификацией Александрова пространства . Хаусдорфово пространство является полиадическим, если для некоторого кардинального числа существует непрерывная сюръективная функция , где — пространство произведений, полученное путем умножения на себя раз. ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle \омега X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$${\displaystyle \omega X}$${\displaystyle \lambda }$

Возьмем множество натуральных чисел с дискретной топологией. Его одноточечная компактификация Александрова есть . Выберем и определим гомеоморфизм с отображением${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

Из определения следует, что пространство изображений полиадично и компактно непосредственно из определения компактности, без использования Гейне-Бореля.${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

Каждое диадическое пространство (компактное пространство, являющееся непрерывным образом множества Кантора ^[6] ) является полиадическим пространством. ^[7]

Пусть X — сепарабельное компактное пространство. Если X — метризуемое пространство , то оно полиадическое (обратное также верно). ^[2]

Ячеистость пространства - это${\displaystyle c(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$$

Теснота пространства определяется следующим образом: пусть , и . Определим Тогда ^[8]${\displaystyle t(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$$${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}}$$$${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

Топологический вес полиадического пространства удовлетворяет равенству . ^[9]${\displaystyle w(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

Пусть будет полиадическим пространством, и пусть . Тогда существует полиадическое пространство такое, что и . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle P\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq P}$${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

Полиадические пространства — это наименьший класс топологических пространств, которые содержат метрические компактные пространства и замкнуты относительно произведений и непрерывных образов. ^[10] Каждое полиадическое пространство веса является непрерывным образом . ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Топологическое пространство обладает свойством Суслина , если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств . ^[11] Предположим, что обладает свойством Суслина и является полиадическим. Тогда является диадическим. ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Пусть будет наименьшим числом дискретных множеств, необходимых для покрытия , и пусть обозначает наименьшую мощность непустого открытого множества в . Если — полиадическое пространство, то . ^[9]${\displaystyle dis(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$

Существует аналог теоремы Рамсея из комбинаторики для полиадических пространств. Для этого мы описываем связь между булевыми пространствами и полиадическими пространствами. Пусть обозначает открыто-замкнутую алгебру всех открыто-замкнутых подмножеств . Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базис которого равен . Элемент такой, что называется порождающим множеством для . Мы говорим, что является -непересекающейся коллекцией, если является объединением не более чем подколлекций , где для каждого , является непересекающейся коллекцией мощности не более Было доказано Петром Саймоном, что является булевым пространством с порождающим множеством , являющимся -непересекающимися, тогда и только тогда, когда гомеоморфно замкнутому подпространству . ^[8] Свойство типа Рамсея для полиадических пространств, сформулированное Мюрреем Беллом для булевых пространств, тогда выглядит следующим образом: каждая несчетная открыто-замкнутая коллекция содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается. ^[13]${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle G\in CO(X)'}$${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle G_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{\alpha }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle CO(X)}$${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

Мы определяем число компактности пространства , обозначаемое как , как наименьшее число, такое, что имеет n-арную замкнутую предбазу . Мы можем построить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это с помощью двух теорем, доказанных Мюрреем Беллом в 1985 году. Пусть будет набором множеств и пусть будет набором. Мы обозначаем набор через ; все подмножества размера через ; и все подмножества размера не более чем через . Если и для всех , то мы говорим, что является n-связанным. Если каждое n-связанное подмножество имеет непустое пересечение, то мы говорим, что является n-арным. Обратите внимание, что если является n-арным, то также является , и, следовательно, каждое пространство с имеет замкнутую n-арную подбазу с . Обратите внимание, что набор замкнутых подмножеств компактного пространства является замкнутой предбазой тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого в открытом множестве существует конечное такое, что и . ^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [S]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [S]^{<=n}}$${\displaystyle 2\leq n<\omega }$${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

Пусть будет бесконечным множеством и пусть числом таким, что . Определим топологию произведения на следующим образом: для , пусть и пусть . Пусть будет набором . Возьмем в качестве открыто-замкнутой подбазы для нашей топологии на . Эта топология компактна и хаусдорфова. Для и таких, что , имеем , что является дискретным подпространством , и, следовательно, что является объединением дискретных подпространств. ^[14]${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n<\omega }$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle [S]^{k}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle n+1}$

Теорема (Верхняя граница для ): Для каждого полного порядка на существует -арная замкнутая предбаза .${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle <}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

Доказательство : Для определим и . Положим . Для и такое , что , пусть такое, что является -связанным подмножеством . Покажем, что .${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \blacksquare }$

Для топологического пространства и подпространства мы говорим, что непрерывная функция является ретракцией , если — тождественное отображение на . Мы говорим, что является ретрактом . Если существует открытое множество такое, что , и является ретрактом , то мы говорим, что является окрестностным ретрактом .${\displaystyle X}$${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle r:X\rightarrow A}$${\displaystyle r|_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A\subset U\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

Теорема (нижняя граница для ) Пусть таково, что . Тогда не может быть вложено как окрестностный ретракт ни в какое пространство с .${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\leq n<\omega }$${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для таких , что , имеем .${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n<\omega }$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$

Пусть — одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства , так что . Определим непрерывную сюръекцию как . Отсюда следует, что — полиадическое пространство. Следовательно, — полиадическое пространство с числом компактности . ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$${\displaystyle [S]^{\leq n}}$${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$

Центрированные пространства, AD-компактные пространства ^[15] и ξ-адические пространства ^[16] являются обобщениями полиадических пространств.

Пусть будет набором множеств. Мы говорим, что является центрированным, если для всех конечных подмножеств . ^[17] Определим булево пространство с топологией подпространства из . Мы говорим, что пространство является центрированным, если существует набор такой, что является непрерывным образом . ^[18]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

Центрированные пространства были введены Мюрреем Беллом в 2004 году.

Пусть будет непустым множеством, и рассмотрим семейство его подмножеств . Мы говорим, что это адекватное семейство, если:${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• дано , если каждое конечное подмножество принадлежит , то .${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Мы можем рассматривать его как топологическое пространство, считая его подмножеством куба Кантора , и в этом случае мы обозначаем его .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

Пусть будет компактным пространством. Если существуют множество и адекватное семейство , такие, что является непрерывным образом , то мы говорим, что это AD-компактное пространство.${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle K}$

AD-компактные пространства были введены Гжегожем Плебанеком. Он доказал, что они замкнуты относительно произвольных произведений и компактификаций Александрова дизъюнктных объединений . Из этого следует, что каждое полиадическое пространство является AD-компактным пространством. Обратное неверно, поскольку существуют AD-компактные пространства, которые не являются полиадическими. ^[15]

Пусть и будут кардиналами, и пусть будет хаусдорфовым пространством. Если существует непрерывная сюръекция из в , то говорят, что является ξ-адическим пространством. ^[16]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ξ-адические пространства были предложены С. Мрувкой, а следующие результаты о них были получены Яношем Герлицем (они также применимы к полиадическим пространствам, поскольку являются частным случаем ξ-адических пространств). ^[19]

Пусть будет бесконечным кардиналом, и пусть будет топологическим пространством. Мы говорим, что обладает свойством , если для любого семейства непустых открытых подмножеств , где , мы можем найти множество и точку такие, что и для каждой окрестности , мы имеем .${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$${\displaystyle B\subset A}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

Если является ξ-адическим пространством, то имеет свойство для каждого бесконечного кардинала . Из этого результата следует, что никакое бесконечное ξ-адическое хаусдорфово пространство не может быть экстремально несвязным пространством . ^[19]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Гиадические пространства были введены Эриком ван Даувеном . ^[20] Они определяются следующим образом.

Пусть будет хаусдорфовым пространством. Обозначим через гиперпространство . Определим подпространство через . База — это семейство всех множеств вида , где — любое целое число, и открыты в . Если — компактно, то мы говорим, что хаусдорфово пространство является гиадическим, если существует непрерывная сюръекция из в . ^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J_{2}(X)}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle Y}$

Полиадические пространства являются гиадическими. ^[22]

• Диадическое пространство
• компакт Эберлейна
• Каменное пространство
• Компактификация Стоуна-Чеха
• Сверхкомпактное пространство