Тонкая топология (теория потенциала)

В математике , в области теории потенциала , тонкая топология является естественной топологией для постановки изучения субгармонических функций . В самых ранних исследованиях субгармонических функций , а именно тех, для которых где — лапласиан , рассматривались только гладкие функции . В этом случае было естественно рассматривать только евклидову топологию, но с появлением полунепрерывных сверху субгармонических функций, введенных Ф. Риссом , тонкая топология стала более естественным инструментом во многих ситуациях.${\displaystyle \Delta u\geq 0,}$${\displaystyle \Дельта}$

Тонкая топология на евклидовом пространстве определяется как самая грубая топология, делающая все субгармонические функции (эквивалентно все супергармонические функции) непрерывными . Понятия в тонкой топологии обычно имеют префикс «тонкая», чтобы отличать их от соответствующих понятий в обычной топологии, например, «тонкая окрестность» или «тонкая непрерывная».${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Тонкая топология была введена в 1940 году Анри Картаном для помощи в изучении тонких множеств и изначально считалась несколько патологической из-за отсутствия ряда свойств, таких как локальная компактность, которые так часто полезны в анализе. Последующие работы показали, что отсутствие таких свойств в определенной степени компенсируется наличием других, немного менее сильных свойств, таких как свойство квазилинделефа.

В одном измерении, то есть на вещественной прямой , тонкая топология совпадает с обычной топологией, поскольку в этом случае субгармонические функции — это в точности выпуклые функции , которые уже непрерывны в обычной (евклидовой) топологии. Таким образом, тонкая топология представляет наибольший интерес в , где . Тонкая топология в этом случае строго тоньше обычной топологии, поскольку существуют разрывные субгармонические функции. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

Картан заметил в переписке с Марселем Брело, что в равной степени возможно развить теорию тонкой топологии, используя концепцию «тонкости». В этой разработке множество является тонким в точке , если существует субгармоническая функция, определенная в окрестности такой, что ${\displaystyle U}$${\displaystyle \дзета}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \дзета}$

${\displaystyle v(\zeta)>\limsup _ {z\to \zeta,z\in U}v(z).}$

Тогда множество является тонкой окрестностью тогда и только тогда, когда дополнение является тонким в точке .${\displaystyle U}$${\displaystyle \дзета}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \дзета}$

Тонкая топология в некоторых отношениях гораздо менее поддается обработке, чем обычная топология в евклидовом пространстве, о чем свидетельствует следующее (принимая во внимание ):${\displaystyle n\geq 2}$

• Множество в является компактным тогда и только тогда, когда оно конечно.${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$
• Тонкая топология на не является локально компактной (хотя она является хаусдорфовой ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Тонкая топология на не является ни счетно-первым , ни счетно-вторым и не метризуема .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

У тонкой топологии есть, по крайней мере, несколько «более приятных» свойств:

• Тонкая топология обладает свойством Бэра .
• Тонкая топология в локально связна .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Тонкая топология не обладает свойством Линделёфа , но обладает несколько более слабым свойством квази-Линделёфа:

• Произвольное объединение тонких открытых подмножеств отличается от некоторого счетного подобъединения полярным множеством .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Конвей, Джон Б. (13 июня 1996 г.), Функции одной комплексной переменной II , Graduate Texts in Mathematics , т. 159, Springer-Verlag , стр.  367–376 , ISBN 0-387-94460-5
• Дуб, Дж. Л. (12 января 2001 г.), Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Берлин-Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41206-9
• Хелмс, Л.Л. (1975), Введение в теорию потенциала , Р.Э. Кригер, ISBN 0-88275-224-3