Кольцо (математика)

В математике кольца — это алгебраические структуры , обобщающие поля : умножение не обязательно должно быть коммутативным , а мультипликативные обратные не обязательно должны существовать. Неформально, кольцо — это множество , снабженное двумя бинарными операциями, удовлетворяющими свойствам, аналогичным свойствам сложения и умножения целых чисел . Элементами кольца могут быть числа, такие как целые или комплексные числа , но они также могут быть нечисловыми объектами, такими как многочлены , квадратные матрицы , функции и степенные ряды .

Формально кольцо — это множество, наделенное двумя бинарными операциями, называемыми сложением и умножением, так что кольцо является абелевой группой относительно оператора сложения, а оператор умножения является ассоциативным , дистрибутивным относительно операции сложения и имеет мультипликативный элемент тождества . (Некоторые авторы определяют кольца, не требуя мультипликативного тождества, и вместо этого называют определенную выше структуру кольцом с тождеством . См. § Вариации определения .)

Является ли кольцо коммутативным, имеет глубокие последствия для его поведения. Коммутативная алгебра , теория коммутативных колец , является основным разделом теории колец . На ее развитие оказали большое влияние проблемы и идеи алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии . Простейшими коммутативными кольцами являются те, которые допускают деление на ненулевые элементы; такие кольца называются полями .

Примерами коммутативных колец являются множество целых чисел с их стандартным сложением и умножением, множество многочленов с их сложением и умножением, координатное кольцо аффинного алгебраического многообразия и кольцо целых чисел числового поля. Примерами некоммутативных колец являются кольцо действительных квадратных матриц n × n с n ≥ 2 , групповые кольца в теории представлений , операторные алгебры в функциональном анализе , кольца дифференциальных операторов и кольца когомологий в топологии .

Концептуализация колец охватывала период с 1870-х по 1920-е годы, с ключевыми вкладами Дедекинда , Гильберта , Френкеля и Нётер . Кольца были впервые формализованы как обобщение областей Дедекинда , которые встречаются в теории чисел , а также полиномиальных колец и колец инвариантов, которые встречаются в алгебраической геометрии и теории инвариантов . Позднее они оказались полезными в других разделах математики, таких как геометрия и анализ .

Кольцо — это множество R, снабженное двумя бинарными операциями ^[a] + (сложение) и ⋅ (умножение), удовлетворяющее следующим трем наборам аксиом, называемым аксиомами кольца : ^{[1] [2] [3]}

1. R является абелевой группой относительно сложения, что означает, что:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) для всех a , b , c в R (то есть + ассоциативен ) .
   • a + b = b + a для всех a , b в R (то есть+ коммутативен ) .
   • Существует элемент 0 в R, такой что a + 0 = a для всех a в R (то есть 0 является аддитивным тождеством ).
   • Для каждого a в R существует − a в R, такой что a + (− a ) = 0 (то есть − a является аддитивным обратным элементом a ) .
2. R является моноидом относительно умножения, что означает, что:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c ) для всех a , b , c в R (то есть ⋅ ассоциативно).
   • Существует элемент 1 в R, такой что a · 1 = a и 1 · a = a для всех a в R (то есть 1 является мультипликативным тождеством ). ^[b]
3. Умножение является распределительным по отношению к сложению, что означает, что:
   • a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) для всех a , b , c в R (левая дистрибутивность).
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) для всех a , b , c из R (правая дистрибутивность).

В обозначениях символ умножения · часто опускается, в этом случае a · b записывается как ab .

В терминологии этой статьи кольцо определяется как имеющее мультипликативную идентичность, в то время как структура с тем же аксиоматическим определением, но без требования мультипликативной идентичности, вместо этого называется " rng " (IPA: / r ʊ ŋ / ) с отсутствующим "i". Например, множество четных целых чисел с обычными + и ⋅ является rng, но не кольцом. Как объясняется в § История ниже, многие авторы применяют термин "кольцо", не требуя мультипликативной идентичности.

Хотя сложение колец коммутативно , умножение колец не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно должно быть равно ba . Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами . В книгах по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимается соглашение, что кольцо означает коммутативное кольцо , для упрощения терминологии.

В кольце не требуется существование мультипликативных обратных. Ненулевое коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, называется полем .

Аддитивная группа кольца — это базовое множество, снабженное только операцией сложения. Хотя определение требует, чтобы аддитивная группа была абелевой, это можно вывести из других аксиом кольца. ^[4] Доказательство использует « 1 » и не работает в rng. (Для rng исключение аксиомы коммутативности сложения оставляет его выводимым из оставшихся предположений rng только для элементов, которые являются произведениями: ab + cd = cd + ab .)

Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения структур, в которых не требуется, чтобы умножение было ассоциативным. ^[5] Для этих авторов каждая алгебра является «кольцом».

Наиболее известным примером кольца является множество всех целых чисел , состоящее${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ из чисел

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

Аксиомы кольца были разработаны как обобщение известных свойств сложения и умножения целых чисел.

Некоторые основные свойства кольца непосредственно вытекают из аксиом:

• Аддитивная идентичность уникальна.
• Аддитивная инверсия каждого элемента уникальна.
• Мультипликативная идентичность уникальна.
• Для любого элемента x в кольце R имеем x 0 = 0 = 0 x (ноль является поглощающим элементом относительно умножения) и (–1) x = – x .
• Если 0 = 1 в кольце R (или, в более общем случае, 0 является единичным элементом), то R имеет только один элемент и называется нулевым кольцом .
• Если кольцо R содержит нулевое кольцо в качестве подкольца, то само R является нулевым кольцом. ^[6]
• Биномиальная формула верна для любых x и y, удовлетворяющих условию xy = yx .

Оснастите набор следующими операциями:${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• Сумма в ⁠ ⁠ — это остаток от деления целого числа x + y на 4 (поскольку x + y всегда меньше 8 , этот остаток равен либо x + y , либо x + y − 4 ). Например, и${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• Произведение в ⁠ ⁠ является остатком при делении целого числа xy на 4. Например, и${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

Тогда ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ является кольцом: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Если x — целое число, остаток от x при делении на 4 можно рассматривать как элемент ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$ и этот элемент часто обозначается как « x mod 4 » или , что согласуется с обозначением для 0, 1, 2, 3. Аддитивное обратное к любому из ⁠ ⁠ равно Например,${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ имеет подкольцо ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ , и если является простым, то ⁠ ⁠ не имеет подколец.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Набор квадратных матриц 2х2 с записями в поле F — ^{[7] [8] [9] [10]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

С операциями сложения матриц и умножения матриц удовлетворяет вышеуказанным аксиомам кольца. Элемент является мультипликативным тождеством кольца. Если и тогда , пока этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

В более общем смысле, для любого кольца R , коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа n квадратные матрицы размерности n с элементами из R образуют кольцо; см. Кольцо матриц .

Изучение колец возникло из теории полиномиальных колец и теории целых алгебраических чисел . ^[11] В 1871 году Рихард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. ^[12] В этом контексте он ввел термины «идеал» (вдохновленный понятием идеального числа Эрнста Куммера ) и «модуль» и изучил их свойства. Дедекинд не использовал термин «кольцо» и не определял понятие кольца в общей постановке.

Термин «Zahlring» (числовое кольцо) был придуман Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. ^[13] В немецком языке 19 века слово «Ring» могло означать «ассоциация», которое до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например, spy ring), ^{[ требуется цитата ]} так что если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как «group» вошло в математику, будучи нетехническим словом для «коллекции связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал этот термин для кольца, которое имело свойство «обратно вращаться» к своему элементу (в смысле эквивалентности ) . ^[14] В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа могут быть записаны как целочисленная комбинация фиксированного набора более низких степеней, и, таким образом, степени «циклически возвращаются». Например, если a ³ − 4 a + 1 = 0 , то:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

и так далее; в общем случае a ⁿ будет целочисленной линейной комбинацией 1 , a и a ² .

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1915 году, ^{[15] [16]} но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый неделитель нуля имел мультипликативный обратный . ^[17] В 1921 году Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение коммутативных колец (с 1 и без 1) и разработала основы коммутативной теории колец в своей статье Idealtheorie in Ringbereichen . ^[18]

Аксиомы Френкеля для «кольца» включали аксиомы мультипликативного тождества ^[19] , тогда как аксиомы Нётер этого не делали. ^[18]

Большинство или все книги по алгебре ^{[20] [21]} вплоть до 1960 года следовали соглашению Нётер не требовать 1 для «кольца». Начиная с 1960-х годов, все чаще можно было увидеть книги, включающие существование 1 в определение «кольца», особенно в продвинутых книгах известных авторов, таких как Артин, ^[22] Бурбаки, ^[23] Эйзенбуд, ^[24] и Лэнг. ^[3] Также есть книги, опубликованные в конце 2022 года , которые используют этот термин без требования 1. [ ^{25] [26] [27] [28]} Аналогично, Энциклопедия математики не требует единичных элементов в кольцах. ^[29] В исследовательской статье авторы часто указывают, какое определение кольца они используют в начале этой статьи.

Гарднер и Вигандт утверждают, что при работе с несколькими объектами в категории колец (в отличие от работы с фиксированным кольцом), если требуется, чтобы все кольца имели 1 , то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм колец, и что правильные прямые слагаемые колец не являются подкольцами. Они приходят к выводу, что «во многих, может быть, в большинстве, разделов теории колец требование существования элемента единицы не является разумным и, следовательно, неприемлемым». ^[30] Пунен приводит контраргумент, что естественным понятием для колец было бы прямое произведение, а не прямая сумма. Однако его главный аргумент заключается в том, что кольца без мультипликативного тождества не являются полностью ассоциативными, в том смысле, что они не содержат произведения какой-либо конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность. ^{[c] [31]}

Авторы, которые следуют одной из конвенций использования термина «кольцо», могут использовать один из следующих терминов для обозначения объектов, удовлетворяющих другой конвенции:

• включить требование мультипликативной идентичности: «единичное кольцо», «унитарное кольцо», «единичное кольцо», «кольцо с единицей», «кольцо с идентичностью», «кольцо с единицей» ^[32] или «кольцо с 1». ^[33]
• чтобы исключить требование мультипликативной идентичности: «rng» ^[34] или «псевдокольцо» ^[35] , хотя последнее может сбивать с толку, поскольку имеет и другие значения.

• Типичным примером является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения.
• Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого полями .
• Унитальная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R сама является кольцом, а также R - модулем . Некоторые примеры:
  • Алгебра R [ X ] многочленов с коэффициентами в R .
  • Алгебра формальных степенных рядов с коэффициентами в R.${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • Множество всех непрерывных вещественных функций, определенных на вещественной прямой, образует коммутативную ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ -алгебру. Операции — поточечное сложение и умножение функций.
  • Пусть X — множество, а R — кольцо. Тогда множество всех функций из X в R образует кольцо, которое коммутативно, если R коммутативно.
• Кольцо целых квадратичных чисел , целое замыкание ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в квадратичном расширении ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Это подкольцо кольца всех целых алгебраических чисел .
• Кольцо проконечных целых чисел ⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ (бесконечное) произведение колец p -адических целых чисел ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ по всем простым числам p .
• Кольцо Гекке — кольцо, порожденное операторами Гекке.
• Если S — множество, то множество мощности S становится кольцом, если мы определим сложение как симметричную разность множеств, а умножение — как пересечение . Это пример булевого кольца .

• Для любого кольца R и любого натурального числа n множество всех квадратных матриц n на n с элементами из R образует кольцо с операциями сложения матриц и умножения матриц. При n = 1 это кольцо матриц изоморфно самому R. При n > 1 (и R не является нулевым кольцом) это кольцо матриц некоммутативно.
• Если G — абелева группа , то эндоморфизмы G образуют кольцо, кольцо эндоморфизмов End( G ) группы  G . Операции в этом кольце — сложение и композиция эндоморфизмов. В более общем случае, если V — левый модуль над кольцом R , то множество всех R -линейных отображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое End _R ( V ) .
• Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой . Это коммутативное кольцо, если эллиптическая кривая определена над полем нулевой характеристики.
• Если G — группа , а R — кольцо, то групповое кольцо G над R является свободным модулем над R, имеющим в качестве базиса G. Умножение определяется правилами, согласно которым элементы G коммутируют с элементами R и умножаются вместе , как они это делают в группе G.
• Кольцо дифференциальных операторов (в зависимости от контекста). Фактически, многие кольца, которые появляются в анализе, некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.

• Множество натуральных чисел ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$ с обычными операциями не является кольцом, поскольку ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ даже не является группой (не все элементы обратимы относительно сложения — например, не существует натурального числа, которое можно прибавить к 3, чтобы получить в результате 0 ). Существует естественный способ расширить его до кольца, включив отрицательные числа, чтобы получить кольцо целых чисел ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Натуральные числа (включая 0 ) образуют алгебраическую структуру, известную как полукольцо (которое имеет все аксиомы кольца, за исключением аксиомы аддитивного обратного кольца).
• Пусть R — множество всех непрерывных функций на действительной прямой, которые обращаются в нуль вне ограниченного интервала, зависящего от функции, с обычным сложением, но с умножением, определенным как свертка : Тогда R — это rng, но не кольцо: дельта-функция Дирака обладает свойством мультипликативного тождества, но она не является функцией и, следовательно, не является  элементом R.$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$

Для каждого неотрицательного целого числа n , заданного последовательностью из n элементов R , можно рекурсивно определить произведение : пусть P ₀ = 1 и пусть P _m = P _{m −1} a _m для 1 ≤ m ≤ n .${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

^{В качестве} частного случая можно определить неотрицательные целые степени элемента a кольца: a ⁰ = 1 и an ⁼ an ⁻¹ a для n ≥ 1. Тогда a ^{m + n} = a ^m a ⁿ для всех m , n ≥ 0 .

Левый делитель нуля кольца R — это элемент a в кольце, такой что существует ненулевой элемент b кольца R , такой что ab = 0. [ ^d] Правый делитель нуля определяется аналогично.

Нильпотентный элемент — это элемент a такой, что a ⁿ = 0 для некоторого n > 0. Примером нильпотентного элемента является нильпотентная матрица . Нильпотентный элемент в ненулевом кольце обязательно является делителем нуля.

Идемпотент — это элемент, такой что e 2 ⁼ e . Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.${\displaystyle e}$

Единица — это элемент a , имеющий мультипликативную обратную ; в этом случае обратная является единственной и обозначается как a ^–1 . Множество единиц кольца является группой относительно кольцевого умножения; эта группа обозначается как R ^× или R * или U ( R ) . Например, если R — кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, то R ^× состоит из множества всех обратимых матриц размера n и называется общей линейной группой .

Подмножество S кольца R называется подкольцом, если выполняется хотя бы одно из следующих эквивалентных условий:

• сложение и умножение R ограничиваются операциями S × S → S, что делает S кольцом с тем же мультипликативным тождеством, что  и R.
• 1 ∈ S ; и для всех x, y из S элементы xy , x + y и −x принадлежат  S .
• S можно снабдить операциями, превращающими его в кольцо, такими, что отображение включения S → R является кольцевым гомоморфизмом.

Например, кольцо ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел является подкольцом поля действительных чисел, а также подкольцом кольца многочленов ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ (в обоих случаях ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ содержит 1, что является мультипликативным тождеством больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел ⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ не содержит единичного элемента 1 и, таким образом, не может считаться подкольцом  ⁠ ⁠ , однако ${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$его можно было бы назвать ⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ подкольцом .

Пересечение подколец является подкольцом. Для данного подмножества E кольца R наименьшее подкольцо кольца R , содержащее E, является пересечением всех подколец кольца R, содержащих  E , и оно называется подкольцом, порожденным  E.

Для кольца R наименьшее подкольцо R называется характеристическим подкольцом R. Оно может быть получено путем сложения копий 1 и  −1 . Возможно, что n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n раз) может быть равно нулю. Если n — наименьшее положительное целое число, такое, что это происходит, то n называется характеристикой R.  В некоторых кольцах n · 1 никогда не равно нулю ни для какого положительного целого числа n , и такие кольца называются кольцами с нулевой характеристикой .

Для данного кольца R пусть Z( R ) обозначает множество всех элементов x в R таких, что x коммутирует с каждым элементом в R : xy = yx для любого y в  R . Тогда Z( R ) является подкольцом  R , называемым центром R . В более общем случае, для данного подмножества X из  R пусть S будет множеством всех элементов в R , которые коммутируют с каждым элементом из  X . Тогда S является подкольцом  R , называемым централизатором (или коммутантом)  X . Центр  является централизатором всего кольца  R . Элементы или подмножества центра называются центральными в  R ; они (каждый по отдельности) порождают подкольцо центра.

Пусть R — кольцо. Левый идеал кольца R — это непустое подмножество I кольца R , такое, что для любых x, y из I и r из R элементы x + y и rx принадлежат I. Если RI обозначает R -оболочку кольца I , то есть множество конечных сумм

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,}$

то I является левым идеалом, если RI ⊆ I . Аналогично, правый идеал — это подмножество I такое, что IR ⊆ I . Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом , если оно является как левым идеалом, так и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал является тогда аддитивной подгруппой R . Если E является подмножеством R , то RE является левым идеалом, называемым левым идеалом, порожденным E ; это наименьший левый идеал, содержащий E . Аналогично, можно рассмотреть правый идеал или двусторонний идеал, порожденный подмножеством R .

Если x принадлежит R , то Rx и xR являются левыми и правыми идеалами соответственно; они называются главными левыми и правыми идеалами, порожденными x . Главный идеал RxR записывается как ( x ) . Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образуют идеал целых чисел, и этот идеал порождается целым числом  2. Фактически, каждый идеал кольца целых чисел является главным.

Как и группа, кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо — это в точности поле.

Кольца часто изучаются со специальными условиями, накладываемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым нётеровым кольцом . Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым артиновым кольцом . Несколько удивительным фактом является то, что левое артиново кольцо является левым нётеровым ( теорема Хопкинса–Левицки ). Целые числа, однако, образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.

Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал P кольца R называется простым идеалом, если для любых элементов, которые имеют, влечет либо либо Эквивалентно, P является простым, если для любых идеалов I , J имеем, что IJ ⊆ P влечет либо I ⊆ P , либо J ⊆ P . Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P.}$

Гомоморфизм из кольца ( R , +, ⋅ ) в кольцо ( S , ‡, ∗) — это функция f из R в  S , которая сохраняет кольцевые операции; а именно, такая, что для всех a , b из R выполняются следующие тождества:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

Если работаешь с ГСЧ, то третье условие отбрасывается.

Гомоморфизм колец f называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм к f (то есть кольцевой гомоморфизм, являющийся обратной функцией ), или, что эквивалентно, если он является биекцией .

Примеры:

• Функция, которая отображает каждое целое число x в его остаток по модулю 4 (число из {0, 1, 2, 3} ), является гомоморфизмом из кольца ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в фактор-кольцо ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ («фактор-кольцо» определено ниже).
• Если u — единичный элемент в кольце R , то — кольцевой гомоморфизм, называемый внутренним автоморфизмом кольца R.${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• Пусть R — коммутативное кольцо простой характеристики p . Тогда x ↦ x ^p — кольцевой эндоморфизм кольца R, называемый гомоморфизмом Фробениуса .
• Группа Галуа расширения поля L / K — это множество всех автоморфизмов L , ограничения которых на K являются тождественными.
• Для любого кольца R существует единственный гомоморфизм колец ⁠ ⁠ и${\displaystyle \mathbb {Z} \mapsto R}$ единственный гомоморфизм колец R → 0 .
• Эпиморфизм ( то есть, правосократимый морфизм) колец не обязательно должен быть сюръективным. Например, уникальное отображение ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ является эпиморфизмом.
• Гомоморфизм алгебры из k -алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства над k называется представлением алгебры .

При заданном гомоморфизме колец f  : R → S множество всех элементов, отображаемых в 0 посредством f, называется ядром f  . Ядро является двусторонним идеалом  R . Образ  f , с другой стороны, не всегда является идеалом, но всегда является подкольцом  S .

Дать кольцевой гомоморфизм из коммутативного кольца R в кольцо A с образом, содержащимся в центре A, — это то же самое, что дать структуру алгебры над R кольцу A  ( что, в частности, дает структуру A -модуля).

Понятие фактор-кольца аналогично понятию фактор-группы . Если задано кольцо ( R , +, ⋅ ) и двусторонний идеал I кольца ( R , +, ⋅ ) , рассмотрим I как подгруппу ( R , +) ; тогда фактор-кольцо R / I — это множество смежных классов I вместе с операциями

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

для всех a , b из R. Кольцо R / I также называется фактор-кольцом .

Как и в случае фактор-группы, существует канонический гомоморфизм p  : R → R / I , заданный формулой x ↦ x + I. Он сюръективен и удовлетворяет следующему универсальному свойству:

• Если f  : R → S — кольцевой гомоморфизм, такой что f ( I ) = 0 , то существует единственный гомоморфизм, такой что${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

Для любого кольцевого гомоморфизма f  : R → S применение универсального свойства с I = ker f создает гомоморфизм , который дает изоморфизм из R / ker f в образ f .${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

Концепция модуля над кольцом обобщает концепцию векторного пространства (над полем ) путем обобщения умножения векторов на элементы поля ( скалярное умножение ) на умножение на элементы кольца. Точнее, для данного кольца R R -модуль M является абелевой группой, снабженной операцией R × M → M (сопоставляющей элемент M каждой паре элемента R и элемента M ), которая удовлетворяет определенным аксиомам . Эта операция обычно обозначается сопоставлением и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a , b в R и всех x , y в M ,

M — абелева группа относительно сложения.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

Когда кольцо некоммутативно , эти аксиомы определяют левые модули ; правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax . Это не только изменение обозначений, так как последняя аксиома правых модулей (то есть x ( ab ) = ( xa ) b ) становится ( ab ) x = b ( ax ) , если для правого модуля используется левое умножение (на элементы кольца).

Простейшими примерами модулей являются идеалы, включая само кольцо.

Хотя они и определяются схожим образом, теория модулей гораздо сложнее теории векторного пространства, в основном потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом ( размерностью векторного пространства ). В частности, не все модули имеют базис .

Из аксиом модулей следует, что (−1) x = − x , где первый минус обозначает аддитивную инверсию в кольце, а второй минус — аддитивную инверсию в модуле. Использование этого и обозначение повторного сложения умножением на положительное целое число позволяет отождествлять абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.

Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если f  : R → S — гомоморфизм колец, то S — левый модуль над R посредством умножения: rs = f ( r ) s . Если R коммутативно или f ( R ) содержится в центре S , кольцо S называется R - алгеброй . В частности, каждое кольцо является алгеброй над целыми числами.

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R × S можно снабдить следующей естественной кольцевой структурой:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

для всех r ₁ , r ₂ из R и s ₁ , s ₂ из  S . Кольцо R × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативным тождеством (1, 1) называется прямым произведением R на  S . Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если R _i — кольца, индексированные множеством I , то — кольцо с покомпонентным сложением и умножением.${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

Пусть R — коммутативное кольцо и — идеалы такие, что всякий раз, когда i ≠ j , то китайская теорема об остатках утверждает, что существует канонический изоморфизм колец:${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$$${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

«Конечное» прямое произведение также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. ^[36] А именно, пусть — кольца, включения с образами (в частности, являются кольцами, хотя и не подкольцами). Тогда — идеалы R и как прямая сумма абелевых групп (потому что для абелевых групп конечные произведения совпадают с прямыми суммами). Очевидно, что прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, которое изоморфно  R . Эквивалентно, вышесказанное можно сделать через центральные идемпотенты . Предположим, что R имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем записать По условиям на имеем, что e _i являются центральными идемпотентами и e _i e _j = 0 , i ≠ j (ортогонально). Опять же, можно обратить конструкцию. А именно, если дано разбиение 1 на ортогональные центральные идемпотенты, то пусть которые являются двусторонними идеалами. Если каждый e _i не является суммой ортогональных центральных идемпотентов, ^[e], то их прямая сумма изоморфна  R .${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$$${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$$${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

Важным применением бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см. ниже). Другое применение — ограниченное произведение семейства колец (ср. кольцо аделя ).

Если задан символ t (называемый переменной) и коммутативное кольцо  R , то множество многочленов

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащее R как подкольцо. Оно называется кольцом многочленов над  R. В более общем смысле множество всех многочленов от переменных образует коммутативное кольцо, содержащее как подкольцо.${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Если R — область целостности , то R [ t ] также является областью целостности; ее поле дробей — поле рациональных функций . Если R — нётерово кольцо, то R [ t ] — нётерово кольцо. Если R — область однозначной факторизации, то R [ t ] — область однозначной факторизации. Наконец, R является полем тогда и только тогда, когда R [ t ] — область главных идеалов.

Пусть — коммутативные кольца. Для элемента x из  S можно рассмотреть гомоморфизм колец${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(то есть подстановка ). Если S = ​​R [ t ] и x = t , то f ( t ) = f . Из-за этого многочлен f часто также обозначается как f ( t ) . Образ отображения ⁠ ⁠${\displaystyle f\mapsto f(x)}$ обозначается как R [ x ] ; это то же самое, что и подкольцо S, порожденное R и  x .

Пример: обозначает образ гомоморфизма${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

Другими словами, это подалгебра k [ t ], порожденная t ² и  t ³ .

Пример: пусть f — многочлен от одной переменной, то есть элемент в кольце многочленов R. Тогда f ( x + h ) — элемент в R [ h ] и f ( x + h ) – f ( x ) делится на h в этом кольце. Результатом подстановки нуля вместо h в ( f ( x + h ) – f ( x )) / h является f' ( x ) , производная f по  x .

Подстановка является частным случаем универсального свойства полиномиального кольца. Свойство гласит: для заданного кольцевого гомоморфизма и элемента x из S существует единственный кольцевой гомоморфизм такой, что и ограничивается до ϕ . ^[37] Например, выбирая базис, симметричная алгебра удовлетворяет универсальному свойству и, следовательно, является полиномиальным кольцом.${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

Чтобы привести пример, пусть S будет кольцом всех функций из R в себя; сложение и умножение являются таковыми функций. Пусть x будет тождественной функцией. Каждое r в R определяет постоянную функцию, порождая гомоморфизм R → S. Универсальное свойство гласит, что это отображение продолжается единственным образом на

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t отображается в x ) где — полиномиальная функция, определяемая f . Полученное отображение является инъективным тогда и только тогда, когда R бесконечно.${\displaystyle {\overline {f}}}$

Для данного непостоянного монического многочлена f в R [ t ] существует кольцо S, содержащее R, такое, что f является произведением линейных множителей в S [ t ] . ^[38]

Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Теорема Гильберта о нулях (Nullstellensatz) утверждает, что существует естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством всех простых идеалов в и множеством замкнутых подмногообразий k ⁿ . В частности, многие локальные проблемы алгебраической геометрии могут быть решены путем изучения образующих идеала в кольце многочленов. (ср. Базис Грёбнера .)${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

Есть и другие родственные конструкции. Кольцо формального степенного ряда состоит из формального степенного ряда${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

вместе с умножением и сложением, которые имитируют таковые для сходящихся рядов. Он содержит R [ t ] как подкольцо. Формальное кольцо степенных рядов не обладает универсальным свойством кольца многочленов; ряд может не сходиться после подстановки. Важное преимущество формального кольца степенных рядов над кольцом многочленов состоит в том, что оно локально (фактически, полно ).

Пусть R — кольцо (не обязательно коммутативное). Множество всех квадратных матриц размера n с элементами из R образует кольцо с поэлементным сложением и обычным матричным умножением. Оно называется матричным кольцом и обозначается как M _n ( R ) . Если задан правый R -модуль U , множество всех R -линейных отображений из U в себя образует кольцо со сложением, которое является кольцом функций, и умножением, которое является кольцом композиции функций ; оно называется кольцом эндоморфизмов U и обозначается как End _R ( U ) .

Как и в линейной алгебре, кольцо матриц можно канонически интерпретировать как кольцо эндоморфизмов: Это частный случай следующего факта: если — R - линейное отображение, то f можно записать в виде матрицы с элементами f _ij в S = End _R ( U ) , что приводит к изоморфизму колец:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

Любой гомоморфизм колец R → S индуцирует M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^[39]

Лемма Шура утверждает, что если U — простой правый R -модуль, то End _R ( U ) — тело. ^[40] Если — прямая сумма m _i -копий простых R -модулей , то${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

Теорема Артина –Веддерберна утверждает, что любое полупростое кольцо (см. ниже) имеет такой вид.

Кольцо R и матричное кольцо M _n ( R ) над ним эквивалентны по Морите : категория правых модулей кольца R эквивалентна категории правых модулей над кольцом M _n ( R ) . ^[39] В частности, двусторонние идеалы кольца R взаимно однозначно соответствуют двусторонним идеалам кольца M _n ( R ) .

Пусть R _i — последовательность колец, такая, что R _i является подкольцом R _{i + 1} для всех i . Тогда объединение (или фильтрованный копредел ) R _i — это кольцо, определяемое следующим образом: оно является несвязным объединением всех R _i по модулю отношения эквивалентности x ~ y тогда и только тогда, когда x = y в R _i для достаточно больших i .${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

Примеры копределов:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• Алгебраическое замыкание конечных полей одинаковой характеристики${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• Поле формальных рядов Лорана над полем k : (это поле дробей кольца формальных степенных рядов )${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• Поле функций алгебраического многообразия над полем k — это поле, в котором предел пробегает все координатные кольца k [ U ] непустых открытых подмножеств U (более кратко это стебель структурного пучка в общей точке ).${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

Любое коммутативное кольцо является копределом конечно порождённых подколец .

Проективный предел (или фильтрованный предел ) колец определяется следующим образом. Предположим, что нам дано семейство колец R _i , i , пробегающее, скажем, положительные целые числа, и кольцевые гомоморфизмы R _j → R _i , j ≥ i такие, что R _i → R _i являются всеми тождествами, а R _k → R _j → R _i является R _k → R _i всякий раз, когда k ≥ j ≥ i . Тогда есть подкольцо , состоящее из ( x _n ) такое, что x _j отображается в x _i при R _j → R _i , j ≥ i .${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

Пример проективного предела см. в § Завершение .

Локализация обобщает конструкцию поля дробей целостной области на произвольное кольцо и модули. Для данного (не обязательно коммутативного) кольца R и подмножества S из R существует кольцо вместе с кольцевым гомоморфизмом , который «инвертирует» S ; то есть гомоморфизм отображает элементы из S в единичные элементы в и, более того, любой кольцевой гомоморфизм из R , который «инвертирует» S, однозначно пропускается через ^[41] Кольцо называется локализацией R относительно S . Например, если R — коммутативное кольцо, а f — элемент из R , то локализация состоит из элементов вида (точнее, ) ^[42]${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

Локализация часто применяется к коммутативному кольцу R относительно дополнения простого идеала (или объединения простых идеалов) в  R . В этом случае часто пишут для тогда это локальное кольцо с максимальным идеалом Это причина терминологии «локализация». Поле дробей области целостности R является локализацией R в простом идеале ноль. Если это простой идеал коммутативного кольца  R , то поле дробей совпадает с полем вычетов локального кольца и обозначается как${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Если M — левый R -модуль, то локализация M относительно S задается заменой колец ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

Наиболее важными свойствами локализации являются следующие: когда R — коммутативное кольцо, а S — мультипликативно замкнутое подмножество

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$является биекцией между множеством всех простых идеалов в R, не пересекающихся с S, и множеством всех простых идеалов в ^[43]${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$ f пробегает элементы в S с частичным порядком, заданным делимостью. ^[44]
• Локализация точна: точна над всякий раз, когда точна над  R .$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Наоборот, если является точным для любого максимального идеала , то является точным.${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Замечание: локализация не помогает в доказательстве глобального существования. Одним из примеров этого является то, что если два модуля изоморфны по всем простым идеалам, то из этого не следует, что они изоморфны. (Один из способов объяснить это состоит в том, что локализация позволяет рассматривать модуль как пучок над простыми идеалами, а пучок по своей сути является локальным понятием.)

В теории категорий локализация категории сводится к превращению некоторых морфизмов в изоморфизмы. Элемент в коммутативном кольце R можно рассматривать как эндоморфизм любого R -модуля. Таким образом, категорически локализация R относительно подмножества S из R является функтором из категории R -модулей в себя, который переводит элементы S , рассматриваемые как эндоморфизмы, в автоморфизмы и является универсальной относительно этого свойства. (Разумеется, R тогда отображается в , а R -модули отображаются в -модули.)${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

Пусть R — коммутативное кольцо, и пусть I — идеал кольца R. Пополнение кольца R в точке I — проективный предел, оно является коммутативным кольцом. Канонические гомоморфизмы из R в факторы  индуцируют гомоморфизм Последний гомоморфизм инъективен , если R — нётерова область целостности , а I — собственный идеал, или если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом I , по теореме Крулля о пересечении . ^[45] Эта конструкция особенно полезна, когда I — максимальный идеал.${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

Базовым примером является пополнение ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в главном идеале ( p ), порожденном простым числом p ; оно называется кольцом p -адических целых чисел и обозначается ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ Пополнение в этом случае может быть построено также из p -адического абсолютного значения на ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ P -адическое абсолютное значение на ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является отображением из ⁠ ⁠ в ⁠ ⁠ , заданным как , где обозначает показатель степени p в разложении на простые множители ненулевого целого числа n на простые числа (мы также ставим и ). Оно определяет функцию расстояния на ⁠ ⁠ и пополнение ⁠ ⁠ как метрического пространства обозначается ⁠ ⁠ Это снова поле, поскольку полевые операции распространяются на пополнение. Подкольцо ⁠ ⁠, состоящее из элементов x с | x | _p ≤ 1 изоморфно  ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

Аналогично, формальное кольцо степенных рядов R [{[ t ]}] является пополнением R [ t ] в точке ( t ) (см. также лемму Гензеля )

Полное кольцо имеет гораздо более простую структуру, чем коммутативное кольцо. Это связано со структурной теоремой Коэна , которая, грубо говоря, гласит, что полное локальное кольцо имеет тенденцию выглядеть как формальное кольцо степенного ряда или его фактор. С другой стороны, взаимодействие между целочисленным замыканием и завершением было одним из важнейших аспектов, отличающих современную теорию коммутативных колец от классической, разработанной такими, как Нётер. Патологические примеры, найденные Нагатой, привели к переосмыслению роли нётеровых колец и мотивировали, среди прочего, определение превосходного кольца .

Самый общий способ построения кольца — указание генераторов и соотношений. Пусть F — свободное кольцо (то есть свободная алгебра над целыми числами) с множеством X символов, то есть F состоит из многочленов с целыми коэффициентами от некоммутирующих переменных, которые являются элементами X. Свободное кольцо удовлетворяет универсальному свойству: любая функция из множества X в кольцо R пропускается через F так, что F → R — единственный гомоморфизм кольца. Так же, как и в случае группы, каждое кольцо можно представить как фактор свободного кольца. ^[46]

Теперь мы можем наложить отношения между символами в X , взяв фактор. Явно, если E является подмножеством F , то фактор-кольцо F по идеалу, порожденному E , называется кольцом с образующими X и отношениями E . Если мы используем кольцо, скажем, A в качестве базового кольца вместо ⁠ ⁠ ,${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ то результирующее кольцо будет над A . Например, если , то результирующее кольцо будет обычным кольцом многочленов с коэффициентами в A от переменных, которые являются элементами X (это также то же самое, что и симметрическая алгебра над A с символами X .)${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

В терминах теории категорий формация является левым сопряженным функтором забывающего функтора из категории колец в Set (и его часто называют функтором свободного кольца).${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

Пусть A , B — алгебры над коммутативным кольцом R. Тогда тензорное произведение R -модулей является R -алгеброй с умножением, характеризуемым соотношением${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

Ненулевое кольцо без ненулевых делителей нуля называется доменом . Коммутативная область называется областью целостности . Наиболее важными областями целостности являются области главных идеалов, сокращенно PID, и поля. Область главных идеалов — это область целостности, в которой каждый идеал является главным. Важный класс областей целостности, содержащих PID, — это область уникальной факторизации (UFD), область целостности, в которой каждый неединичный элемент является произведением простых элементов (элемент является простым, если он порождает простой идеал ). Фундаментальный вопрос в алгебраической теории чисел заключается в том, в какой степени кольцо (обобщенных) целых чисел в числовом поле , где «идеал» допускает разложение на простые множители, не является PID.

Среди теорем, касающихся PID, наиболее важной является структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Теорема может быть проиллюстрирована следующим приложением к линейной алгебре. ^[47] Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем k , а f  : V → V — линейное отображение с минимальным многочленом q . Тогда, поскольку k [ t ] — уникальная область факторизации, q разлагается на степени различных неприводимых многочленов (то есть простых элементов):$${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

Пусть мы сделаем V k [ t ] -модулем. Тогда структурная теорема гласит, что V является прямой суммой циклических модулей , каждый из которых изоморфен модулю вида Теперь, если то такой циклический модуль (для p _i ) имеет базис, в котором ограничение f представлено жордановой матрицей . Таким образом, если, скажем, k алгебраически замкнуто, то все p _i имеют вид t – λ _i и приведенное выше разложение соответствует жордановой канонической форме f .${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

В алгебраической геометрии UFD возникают из-за гладкости. Точнее, точка в многообразии (над совершенным полем) является гладкой, если локальное кольцо в точке является регулярным локальным кольцом . Регулярное локальное кольцо является UFD. ^[48]

Ниже приведена цепочка включений классов , описывающая связь между кольцами, доменами и полями:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Теловое кольцо — это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является единицей. Коммутативное теловое кольцо — это поле . Ярким примером телового кольца, не являющегося полем, является кольцо кватернионов . Любой централизатор в теловом кольце также является телом. В частности, центр тела — это поле. Оказалось, что каждая конечная область (в частности, конечное теловое кольцо) является полем; в частности, коммутативным ( малая теорема Веддерберна ).

Каждый модуль над телом является свободным модулем (имеет базис); следовательно, большую часть линейной алгебры можно выполнять над телом, а не над полем.

Изучение классов сопряженности занимает видное место в классической теории деления колец; см., например, теорему Картана–Брауэра–Хуа .

Циклическая алгебра , введенная Л. Э. Диксоном , является обобщением кватернионной алгебры .

Полупростой модуль — это прямая сумма простых модулей. Полупростое кольцо — это кольцо, которое является полупростым как левый модуль (или правый модуль) над собой.

• Теловое кольцо является полупростым (и простым ).
• Для любого деления D и положительного целого числа n кольцо матриц M _n ( D ) является полупростым (и простым ).
• Для поля k и конечной группы G групповое кольцо kG полупросто тогда и только тогда, когда характеристика k не делит порядок G ( теорема Машке ).
• Алгебры Клиффорда полупросты.

Алгебра Вейля над полем является простым кольцом , но не полупростым. То же самое справедливо для кольца дифференциальных операторов многих переменных .

Любой модуль над полупростым кольцом является полупростым. (Доказательство: Свободный модуль над полупростым кольцом является полупростым, и любой модуль является частным свободного модуля.)

Для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R — полупростой.
• R является артиновым и полупримитивным .
• R — конечное прямое произведение , где каждое n _i — положительное целое число, а каждое D _i — тело ( теорема Артина–Веддерберна ).${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

Полупростота тесно связана с отделимостью. Унитальная ассоциативная алгебра A над полем k называется отделимой , если базовое расширение полупросто для каждого расширения поля F / k . Если A является полем, то это эквивалентно обычному определению в теории поля (ср. отделимое расширение .)${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

Для поля k , k -алгебра является центральной, если ее центр равен k , и простой, если она является простым кольцом . Поскольку центр простой k -алгебры является полем, любая простая k -алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Кроме того, мы в основном фиксируем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k -алгебре. Кольцо матриц размера n над кольцом R будет обозначаться как R _n .

Теорема Скулема –Нётер утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.

Две центральные простые алгебры A и B называются подобными , если существуют целые числа n и m такие, что ^[49] Поскольку подобие является отношением эквивалентности. Классы подобия [ A ] с умножением образуют абелеву группу, называемую группой Брауэра k и обозначаемую Br( k ) . По теореме Артина–Веддерберна центральная простая алгебра является матричным кольцом тела; таким образом, каждый класс подобия представлен уникальным телом.${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

Например, Br( k ) тривиален, если k — конечное поле или алгебраически замкнутое поле (в более общем случае квазиалгебраически замкнутое поле ; см. теорему Цена ). имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса ). Наконец, если k — неархимедово локальное поле (например, ⁠ ⁠ ), то через инвариантное отображение .${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Теперь, если F является расширением поля k , то расширение базы индуцирует Br( k ) → Br( F ) . Его ядро ​​обозначается как Br( F / k ) . Оно состоит из [ A ] таких, что является матричным кольцом над F (то есть A расщепляется F .) Если расширение конечно и является кольцом Галуа, то Br( F / k ) канонически изоморфно ^[50]${\displaystyle -\otimes _{k}F}$${\displaystyle A\otimes _{k}F}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

Алгебры Адзумая обобщают понятие центральных простых алгебр до коммутативного локального кольца.

Если K — поле, то оценка v — это групповой гомоморфизм из мультипликативной группы K ^∗ в полностью упорядоченную абелеву группу G, такой что для любых f , g из K , где f + g ненулевые, v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}. Кольцо оценки v — это подкольцо K, состоящее из нуля и всех ненулевых f таких, что v ( f ) ≥ 0 .

Примеры:

• Поле формальных рядов Лорана над полем k имеет оценку v, такую ​​что v ( f ) является наименьшей степенью ненулевого члена в f ; кольцо оценки v является кольцом формальных степенных рядов${\displaystyle k(\!(t)\!)}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• В более общем случае, если задано поле k и полностью упорядоченная абелева группа G , пусть будет множеством всех функций из G в k , чьи носители (множества точек, в которых функции отличны от нуля) вполне упорядочены . Это поле с умножением, заданным сверткой : Оно также поставляется с оценкой v , такой что v ( f ) является наименьшим элементом в носителе f . Подкольцо, состоящее из элементов с конечным носителем, называется групповым кольцом G ( что имеет смысл, даже если G не является коммутативным). Если G — кольцо целых чисел, то мы восстанавливаем предыдущий пример (отождествляя f с рядом, n- й коэффициент которого равен  f ( n ) .)${\displaystyle k(\!(G)\!)}$$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$

Кольцо можно рассматривать как абелеву группу (используя операцию сложения) с дополнительной структурой: а именно, кольцевым умножением. Таким же образом, существуют и другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

• Ассоциативная алгебра — это кольцо, которое также является векторным пространством над полем n, таким образом, что скалярное умножение совместимо с кольцевым умножением. Например, множество матриц n -на- n над вещественным полем ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ имеет размерность n ² как вещественное векторное пространство.
• Кольцо R является топологическим кольцом , если его множеству элементов R задана топология , которая делает отображение сложения ( ) и отображение умножения ⋅ : R × R → R непрерывными как отображения между топологическими пространствами (где X × X наследует топологию произведения или любое другое произведение в категории). Например, матрицы n на n над действительными числами могут быть заданы либо евклидовой топологией , либо топологией Зарисского , и в любом случае получится топологическое кольцо.${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• λ-кольцо — это коммутативное кольцо R вместе с операциями λ ⁿ : R → R , которые подобны n -ым внешним степеням :

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

Например, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — это λ-кольцо с биномиальными коэффициентами . Понятие играет центральную роль в алгебраическом подходе к теореме Римана–Роха .${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• Полностью упорядоченное кольцо — это кольцо с полным порядком , совместимым с операциями кольца.

Многие различные виды математических объектов можно плодотворно анализировать в терминах некоторого ассоциированного кольца .

Любому топологическому пространству X можно сопоставить его целочисленное кольцо когомологий

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

градуированное кольцо . Существуют также группы гомологий пространства, и действительно, они были определены первыми как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и торы , для которых методы топологии точечных множеств не очень подходят. Группы когомологий были позже определены в терминах групп гомологий способом, который примерно аналогичен двойственному векторному пространству . Знать каждую отдельную целочисленную группу гомологий по сути то же самое, что знать каждую отдельную целочисленную группу когомологий из-за теоремы об универсальном коэффициенте . Однако преимущество групп когомологий заключается в том, что существует естественное произведение , которое аналогично наблюдению, что можно поточечно умножить k - полилинейную форму и l - полилинейную форму, чтобы получить ( k + l ) - полилинейную форму.${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов расслоений , теории пересечений на многообразиях и алгебраических многообразиях , исчисления Шуберта и многого другого.

Любой группе соответствует ее кольцо Бернсайда , которое использует кольцо для описания различных способов, которыми группа может действовать на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда — это свободная абелева группа , базисом которой является множество транзитивных действий группы, а сложением — несвязное объединение действия. Выражение действия в терминах базиса разлагает действие на его транзитивные составляющие. Умножение легко выражается в терминах кольца представлений : умножение в кольце Бернсайда формируется путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Структура кольца допускает формальный способ вычитания одного действия из другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как конечное индексное подкольцо кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты от целых чисел до рациональных чисел.

Любому групповому кольцу или алгебре Хопфа соответствует его кольцо представлений или «зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений — это свободная абелева группа, базисом которой являются неразложимые модули, а сложение соответствует прямой сумме. Выражение модуля через базис заключается в нахождении неразложимого разложения модуля. Умножение — это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений — это просто кольцо характеров из теории характеров , которое более или менее является группой Гротендика при заданной кольцевой структуре.

Любому неприводимому алгебраическому многообразию соответствует его функциональное поле . Точки алгебраического многообразия соответствуют кольцам оценки, содержащимся в функциональном поле и содержащим координатное кольцо . Изучение алгебраической геометрии активно использует коммутативную алгебру для изучения геометрических понятий в терминах кольцевых теоретико-понятийных свойств. Бирациональная геометрия изучает отображения между подкольцами функционального поля.

Каждый симплициальный комплекс имеет связанное с ним кольцо граней, также называемое его кольцом Стэнли–Райснера . Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике . В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли–Райснера использовалась для характеристики числа граней в каждом измерении симплициальных многогранников .

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab , категории абелевых групп (рассматриваемой как моноидальная категория относительно тензорного произведения ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -модулей ). Моноидное действие кольца R на абелевой группе — это просто R -модуль . По сути, R -модуль — это обобщение понятия векторного пространства — где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».

Пусть ( A , +) — абелева группа, а End( A ) — ее кольцо эндоморфизмов (см. выше). Обратите внимание, что, по сути, End( A ) — это множество всех морфизмов A , где если f находится в End( A ) , а g находится в End( A ) , то для вычисления f + g и f ⋅ g можно использовать следующие правила :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

где + как в f ( x ) + g ( x ) — сложение в A , а композиция функций обозначается справа налево. Следовательно, ассоциированное с любой абелевой группой, является кольцом. Обратно, для любого кольца, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) — абелева группа. Более того, для каждого r в R правое (или левое) умножение на r порождает морфизм ( R , +) , по правой (или левой) дистрибутивности. Пусть A = ( R , +) . Рассмотрим те эндоморфизмы A , которые «пропускают» правое (или левое) умножение R . Другими словами, пусть End _R ( A ) будет множеством всех морфизмов m из A , обладающих тем свойством, что m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Было замечено, что каждое r в R порождает морфизм A : правое умножение на r . На самом деле верно, что эта ассоциация любого элемента R , с морфизмом A , как функцией из R в End _R ( A ) , является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы (под X -группой подразумевается группа, в которой X является ее множеством операторов ). ^[51] По сути, наиболее общая форма кольца - это группа эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Поэтому естественно считать произвольные предаддитивные категории обобщениями колец. И действительно, многие определения и теоремы, изначально данные для колец, можно перенести в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между предаддитивными категориями обобщают концепцию гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях можно определить как множества морфизмов, замкнутые относительно сложения и относительно композиции с произвольными морфизмами.

Алгебраисты определили структуры более общие, чем кольца, ослабив или отбросив некоторые аксиомы колец.

ГСЧ — это то же самое, что и кольцо, за исключением того, что существование мультипликативного тождества не предполагается. ^[52]

Неассоциативное кольцо — это алгебраическая структура, которая удовлетворяет всем аксиомам кольца, за исключением свойства ассоциативности и существования мультипликативного тождества. Известным примером является алгебра Ли . Существует некоторая структурная теория для таких алгебр, которая обобщает аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр. ^{[ необходима цитата ]}

Полукольцо (иногда rig ) получается путем ослабления предположения, что ( R , +) является абелевой группой, до предположения, что ( R , +) является коммутативным моноидом, и добавления аксиомы, что 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 для всех a из R (поскольку это больше не следует из других аксиом).

Примеры:

• неотрицательные целые числа с обычным сложением и умножением;${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• тропическое полукольцо .

Пусть C — категория с конечными произведениями . Пусть pt обозначает конечный объект C (пустое произведение). Кольцевой объект в C — это объект R, снабженный морфизмами (сложение), (умножение), (аддитивное тождество), (аддитивное обратное) и ( мультипликативное тождество), удовлетворяющими обычным аксиомам кольца. Эквивалентно, кольцевой объект — это объект R, снабженный факторизацией своего функтора точек через категорию колец:${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

В алгебраической геометрии кольцевая схема над базовой схемой S является кольцевым объектом в категории S -схем. Одним из примеров является кольцевая схема W _n над ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ , которая для любого коммутативного кольца A возвращает кольцо W _n ( A ) p -изотипных векторов Витта длины n над A . ^[53]

В алгебраической топологии кольцевой спектр — это спектр X вместе с умножением и единичным отображением S → X из спектра сферы S , таким образом, что диаграммы аксиом кольца коммутируют с точностью до гомотопии. На практике принято определять кольцевой спектр как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров .${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

В Wikibooks есть книга по теме: Абстрактная алгебра/Кольца

Специальные типы колец: