Группа Брауэра

В математике группа Брауэра поля K — абелева группа , элементы которой — классы эквивалентности Мориты центральных простых алгебр над K , сложение которых задаётся тензорным произведением алгебр . Она была определена алгебраистом Рихардом Брауэром .

Группа Брауэра возникла из попыток классифицировать алгебры с делением над полем. Она также может быть определена в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Адзумая или, что эквивалентно, с использованием проективных расслоений .

Центральная простая алгебра (ЦПА) над полем K — это конечномерная ассоциативная K - алгебра A, такая , что A — простое кольцо , а центр A равен K. Обратите внимание, что ЦПА в общем случае не являются алгебрами с делением, хотя ЦПА можно использовать для классификации алгебр с делением.

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над R (центром является сам C , поэтому он слишком велик, чтобы быть CSA над R ). Конечномерные алгебры с делением с центром R (что означает, что размерность над R конечна) являются действительными числами и кватернионами по теореме Фробениуса , в то время как любое кольцо матриц над действительными числами или кватернионами – M( n , R ) или M( n , H ) – является CSA над действительными числами, но не алгеброй с делением (если n > 1).

Мы получаем отношение эквивалентности для CSA над K с помощью теоремы Артина–Веддерберна ( фактически, часть Веддерберна), чтобы выразить любую CSA как M ( n , D ) для некоторой алгебры с делением D . Если мы рассмотрим только D , то есть если мы наложим отношение эквивалентности, отождествляющее M( m , D ) с M( n , D ) для всех положительных целых чисел m и n , мы получим отношение эквивалентности Брауэра для CSA над K . Элементами группы Брауэра являются классы эквивалентности Брауэра CSA над K .

Если даны центральные простые алгебры A и B , можно рассмотреть их тензорное произведение A ⊗ B как K -алгебру . Оказывается, что это всегда центральная простая алгебра. Удобный способ увидеть это — использовать характеризацию: центральная простая алгебра A над K — это K -алгебра, которая становится матричным кольцом, когда мы расширяем поле скаляров до алгебраического замыкания K . Этот результат также показывает, что размерность центральной простой алгебры A как K -векторного пространства всегда является квадратом . Степень A определяется как квадратный корень из ее размерности.

В результате классы изоморфизма CSA над K образуют моноид относительно тензорного произведения, совместимый с эквивалентностью Брауэра, и все классы Брауэра обратимы : обратная алгебра A задается ее противоположной алгеброй A ^op ( противоположное кольцо с тем же действием K , поскольку образ K → A находится в центре A ). Явно, для CSA A мы имеем A ⊗ A ^op = M( n ² , K ) , где n — степень A над K .

Группа Брауэра любого поля является группой кручения . Более подробно, определим период центральной простой алгебры A над K как ее порядок как элемента группы Брауэра. Определим индекс A как степень алгебры с делением, которая эквивалентна по Брауэру A . Тогда период A делит индекс A (и, следовательно, конечен). [ ^1]

• В следующих случаях каждая конечномерная центральная алгебра с делением над полем K сама является K , так что группа Брауэра Br( K ) тривиальна :
  • K — алгебраически замкнутое поле .
  • K — конечное поле ( теорема Веддерберна ). ^[2] Эквивалентно, каждое конечное тело коммутативно .
  • K — функциональное поле алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем ( теорема Цена ). ^[3] В более общем случае группа Брауэра обращается в нуль для любого поля C _{1 .}
  • K — алгебраическое расширение Q , содержащее все корни из единицы . ^[2]
• Группа Брауэра Br  R действительных чисел является циклической группой порядка два. Существует всего две неизоморфные действительные алгебры с делением с центром R : сама R и кватернионная алгебра H. ^[4] Поскольку H  ⊗  H ≅ M(4, R ) , класс H имеет порядок два в группе Брауэра.
• Пусть K — неархимедово локальное поле , что означает, что K полно относительно дискретного оценивания с конечным полем вычетов. Тогда Br  K изоморфно Q / Z . ^[5]

Другая важная интерпретация группы Брауэра поля K состоит в том, что она классифицирует проективные многообразия над K , которые становятся изоморфными проективному пространству над алгебраическим замыканием K. Такое многообразие называется многообразием Севери–Брауэра , и существует взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфизма многообразий Севери–Брауэра размерности n − 1 над K и центральными простыми алгебрами степени n над K. ^[6 ]

Например, многообразия Севери–Брауэра размерности 1 — это в точности гладкие коники в проективной плоскости над K. Для поля K характеристики , отличной от 2, каждая коника над K изоморфна одной из форм ax ² + by ² = z ² для некоторых ненулевых элементов a и b из K. Соответствующая центральная простая алгебра — это кватернионная алгебра ^[7]

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

Коника изоморфна проективной прямой P ¹ над K тогда и только тогда, когда соответствующая кватернионная алгебра изоморфна матричной алгебре M(2, K ).

Для положительного целого числа n пусть K будет полем, в котором n обратимо, таким образом, что K содержит примитивный корень n- й степени из единицы ζ . Для ненулевых элементов a и b поля K соответствующая циклическая алгебра является центральной простой алгеброй степени n над K, определяемой соотношением

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

Циклические алгебры являются наиболее изученными центральными простыми алгебрами. (Когда n необратимо в K или K не имеет примитивного корня степени n из единицы, аналогичное построение дает циклическую алгебру ( χ , a ), связанную с циклическим Z / n -расширением χ алгебры K и ненулевым элементом a алгебры K. ^[8] )

Теорема Меркурьева –Суслина в алгебраической K-теории имеет сильное следствие относительно группы Брауэра. А именно, для положительного целого числа n пусть K будет полем, в котором n обратимо, таким образом, что K содержит примитивный корень степени n из единицы. Тогда подгруппа группы Брауэра K , убитая n, порождается циклическими алгебрами степени n . ^[9] Эквивалентно, любая алгебра с делением периода, делящего n, эквивалентна по Брауэру тензорному произведению циклических алгебр степени n . Даже для простого числа p существуют примеры, показывающие, что алгебра с делением периода p не обязательно должна быть на самом деле изоморфна тензорному произведению циклических алгебр степени p . ^[10]

Это крупная открытая проблема (поднятая Альбертом ), является ли каждая алгебра с делением простой степени над полем циклической. Это верно, если степень равна 2 или 3, но проблема широко открыта для простых чисел, по крайней мере, 5. Известные результаты относятся только к специальным классам полей. Например, если K является глобальным полем или локальным полем , то алгебра с делением любой степени над K является циклической, по Альберту– Брауэру – Хассе – Нётер . ^[11] «Высокоразмерный» результат в том же направлении был доказан Солтманом: если K является полем степени трансцендентности 1 над локальным полем Q _p , то каждая алгебра с делением простой степени l ≠ p над K является циклической. ^[12]

Для любой центральной простой алгебры A над полем K период A делит индекс A , и два числа имеют одинаковые простые множители. ^[13] Проблема периода-индекса заключается в ограничении индекса в терминах периода для интересующих полей K. Например, если A является центральной простой алгеброй над локальным полем или глобальным полем, то Альберт-Брауэр-Хассе-Нётер показал, что индекс A равен периоду A. ^[11 ]

Для центральной простой алгебры A над полем K степени трансцендентности n над алгебраически замкнутым полем предполагается, что ind( A ) делит per( A ) ^{n −1} . Это верно для n ≤ 2 , случай n = 2 является важным достижением де Йонга , улучшенным в положительной характеристике де Йонгом–Старром и Либлихом. ^[14]

Группа Брауэра играет важную роль в современной формулировке теории полей классов . Если K _v — неархимедово локальное поле, локальная теория полей классов дает канонический изоморфизм inv _v  : Br  K _v → Q / Z , инвариант Хассе . ^[2]

Случай глобального поля K (такого как числовое поле ) рассматривается глобальной теорией полей классов . Если D — центральная простая алгебра над K , а v — место K , то D  ⊗  K _v — центральная простая алгебра над K v , пополнение K в v . Это определяет гомоморфизм из группы Брауэра K в группу Брауэра K _v . Заданная центральная простая алгебра D расщепляется для всех, кроме конечного числа v _, так что образ D при почти всех таких гомоморфизмах равен 0. Группа Брауэра Br  K вписывается в точную последовательность, построенную Хассе: ^{[15] [16]}

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Br} K\rightarrow \bigoplus _{v\in S} \operatorname {Br} K_{v}\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

где S — множество всех позиций K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов; группа Брауэра действительных чисел отождествляется с (1/2) Z / Z. Инъективность левой стрелки — содержание теоремы Альберта–Брауэра–Хассе– Нётер .

Тот факт, что сумма всех локальных инвариантов центральной простой алгебры над K равна нулю, является типичным законом взаимности . Например, применение этого к кватернионной алгебре ( a , b ) над Q дает квадратичный закон взаимности .

Для произвольного поля K группа Брауэра может быть выражена через когомологии Галуа следующим образом: ^[17]

${\displaystyle \operatorname {Br} K\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),}$

где G _m обозначает мультипликативную группу , рассматриваемую как алгебраическая группа над K. Более конкретно, указанная группа когомологий означает H ² (Gal( K _s / K ), K _s ^* ) , где K _s обозначает отделимое замыкание K .

Изоморфизм группы Брауэра с группой когомологий Галуа можно описать следующим образом. Группа автоморфизмов алгебры матриц размера n на n — это проективная линейная группа PGL( n ). Поскольку все центральные простые алгебры над K становятся изоморфными матричной алгебре над сепарабельным замыканием K , множество классов изоморфизма центральных простых алгебр степени n над K можно отождествить с множеством когомологий Галуа H ¹ ( K , PGL( n )) . Класс центральной простой алгебры в H ² ( K , G _m ) — это образ ее класса в H ¹ при граничном гомоморфизме

${\displaystyle H^{1}(K,\operatorname {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})}$

связанный с короткой точной последовательностью 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .

Группа Брауэра была обобщена с полей на коммутативные кольца Ауслендером и Гольдманом . Гротендик пошел дальше , определив группу Брауэра любой схемы .

Существует два способа определения группы Брауэра схемы X , используя либо алгебры Адзумая над X , либо проективные расслоения над X. Второе определение включает проективные расслоения, которые локально тривиальны в этальной топологии , не обязательно в топологии Зарисского . В частности, проективное расслоение определяется как равное нулю в группе Брауэра тогда и только тогда, когда оно является проективизацией некоторого векторного расслоения.

Когомологическая группа Брауэра квазикомпактной схемы X определяется как подгруппа кручения этальной группы когомологий H ² ( X , G _m ) . (Вся группа H ² ( X , G _m ) не обязана быть кручением, хотя она является кручением для регулярных схем X . ^[18] ) Группа Брауэра всегда является подгруппой когомологической группы Брауэра. Габбер показал, что группа Брауэра равна когомологической группе Брауэра для любой схемы с обильным линейным расслоением (например, любая квазипроективная схема над коммутативным кольцом). ^[19]

Всю группу H ² ( X , G _m ) можно рассматривать как классификацию гербов над X со структурной группой G _m .

Для гладких проективных многообразий над полем группа Брауэра является бирациональным инвариантом. Она оказалась плодотворной. Например, когда X также рационально связно над комплексными числами, группа Брауэра X изоморфна подгруппе кручения сингулярной группы когомологий H ³ ( X , Z ) , которая, следовательно, является бирациональным инвариантом. Артин и Мамфорд использовали это описание группы Брауэра, чтобы дать первый пример унирационального многообразия X над C , которое не является стабильно рациональным (то есть никакое произведение X с проективным пространством не является рациональным). ^[20]

Артин предположил, что каждая правильная схема над целыми числами имеет конечную группу Брауэра. ^[21] Это далеко не известно даже в частном случае гладкого проективного многообразия X над конечным полем. Действительно, конечность группы Брауэра для поверхностей в этом случае эквивалентна гипотезе Тейта для дивизоров на X , одной из главных проблем в теории алгебраических циклов . ^[22]

Для регулярной интегральной схемы размерности 2, которая является плоской и собственной над кольцом целых чисел числового поля и которая имеет сечение , конечность группы Брауэра эквивалентна конечности группы Тейта–Шафаревича Ш для якобиева многообразия общего слоя (кривой над числовым полем). ^[23] Конечность Ш является центральной проблемой в арифметике эллиптических кривых и, более общем случае, абелевых многообразий .

Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым полем K . Принцип Хассе предсказывает, что если X имеет рациональную точку над всеми пополнениями K _v поля K , то X имеет K -рациональную точку. Принцип Хассе справедлив для некоторых специальных классов многообразий, но не в общем случае. Манин использовал группу Брауэра многообразия X для определения препятствия Брауэра–Манина , которое можно применять во многих случаях, чтобы показать, что X не имеет K -точек, даже когда X имеет точки над всеми пополнениями K .