Смена колец

В алгебре замена колец — это операция замены одного кольца коэффициентов на другое.

Если задан гомоморфизм колец , то существует три способа изменить кольцо коэффициентов модуля ; а именно, для правого R -модуля M и правого S -модуля N можно образовать${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S}$, индуцированный модуль, образованный расширением скаляров,
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$, коиндуцированный модуль, образованный корасширением скаляров, и
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$, образованный ограничением скаляров.

Они связаны как сопряженные функторы :

${\displaystyle f_{!}:{\text{Мод}}_{R}\leftrightarrows {\text{Мод}}_{S}:f^{*}}$

и

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

Это связано с леммой Шапиро .

В этом разделе пусть и будут двумя кольцами (они могут быть или не быть коммутативными или содержать тождество ), и пусть будет гомоморфизмом. Ограничение скаляров изменяет S -модули в R -модули. В алгебраической геометрии термин «ограничение скаляров» часто используется как синоним ограничения Вейля .${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:R\to S}$

Предположим, что это модуль над . Тогда его можно рассматривать как модуль над , где действие задается через${\displaystyle М}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{align}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{align}}}$

где обозначает действие, определяемое структурой -модуля на . ^[1]${\displaystyle m\cdot f(r)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle М}$

Ограничение скаляров можно рассматривать как функтор из -модулей в -модули. -гомоморфизм автоматически становится -гомоморфизмом между ограничениями и . Действительно, если и , то${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle u:M\to N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Как функтор, ограничение скаляров является правым сопряженным функтором расширения скаляров.

Если — кольцо целых чисел, то это просто забывчивый функтор из модулей в абелевы группы.${\displaystyle R}$

Расширение скаляров преобразует R -модули в S -модули.

Пусть будет гомоморфизмом между двумя кольцами, и пусть будет модулем над . Рассмотрим тензорное произведение , где рассматривается как левый -модуль через . Так как является также правым модулем над собой, и два действия коммутируют, то есть для , (на более формальном языке является -бимодулем ), наследует правое действие . Оно задается как для , . Говорят , что этот модуль получен из посредством расширения скаляров .${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s,s'\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (R,S)}$${\displaystyle М^{С}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle s,s'\in S}$${\displaystyle М}$

Неформально, расширение скаляров — это «тензорное произведение кольца и модуля»; более формально, это частный случай тензорного произведения бимодуля и модуля — тензорное произведение R -модуля на -бимодуль есть S -модуль.${\displaystyle (R,S)}$

Одним из простейших примеров является комплексификация , которая является расширением скаляров от действительных чисел до комплексных чисел . В более общем смысле, если задано любое расширение поля K  <  L, можно расширить скаляры от K до L. На языке полей модуль над полем называется векторным пространством , и, таким образом, расширение скаляров преобразует векторное пространство над K в векторное пространство над L. Это также можно сделать для алгебр с делением , как это делается в кватернионификации (расширении от действительных чисел до кватернионов ).

В более общем случае, если задан гомоморфизм из поля или коммутативного кольца R в кольцо S, то кольцо S можно рассматривать как ассоциативную алгебру над R, и, таким образом, когда скаляры расширяются на R -модуль, полученный модуль можно рассматривать как S -модуль или как R -модуль с представлением алгебры S ( как R -алгебра). Например, результат комплексификации действительного векторного пространства ( R = R , S = C ) можно интерпретировать либо как комплексное векторное пространство ( S -модуль), либо как действительное векторное пространство с линейной комплексной структурой (представление алгебры S как R -модуль).

Это обобщение полезно даже для изучения полей – в частности, многие алгебраические объекты, связанные с полем, сами по себе не являются полями, а представляют собой кольца, такие как алгебры над полем, как в теории представлений . Так же, как можно расширить скаляры на векторные пространства, можно также расширить скаляры на групповые алгебры , а также на модули над групповыми алгебрами, т. е. представления групп . Особенно полезной является связь того, как неприводимые представления изменяются при расширении скаляров — например, представление циклической группы порядка 4, заданное поворотом плоскости на 90°, является неприводимым 2-мерным действительным представлением, но при расширении скаляров до комплексных чисел оно распадается на 2 комплексных представления размерности 1. Это соответствует тому факту, что характеристический многочлен этого оператора является неприводимым степени 2 над действительными числами, но разлагается на 2 множителя степени 1 над комплексными числами — он не имеет действительных собственных значений, но имеет 2 комплексных собственных значения.${\displaystyle x^{2}+1,}$

Расширение скаляров можно интерпретировать как функтор из -модулей в -модули. Он посылает в , как и выше, и -гомоморфизм в -гомоморфизм, определяемый как .${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М^{С}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle u:M\to N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$

Рассмотрим -модуль и -модуль . Для гомоморфизма , определим как композицию${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

где последнее отображение — . Это -гомоморфизм , и, следовательно, он хорошо определен, и является гомоморфизмом ( абелевых групп ).${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$${\displaystyle Фу}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F:{\text{Гом}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Гом}}_{S}(M^{S},N)}$

В случае, если и имеют тождество, существует обратный гомоморфизм , который определяется следующим образом. Пусть . Тогда есть композиция${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G:{\text{Гом}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Гом}}_{R}(M,N_{R})}$${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$${\displaystyle Gv}$

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$,

где первое отображение — канонический изоморфизм .${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$

Эта конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и . На самом деле, это соответствие зависит только от гомоморфизма , и поэтому является функториальным . На языке теории категорий расширение функтора скаляров является левым сопряженным к ограничению функтора скаляров.${\displaystyle {\text{Гом}}_{S}(M^{S},N)}$${\displaystyle {\text{Гом}}_{R}(М,Н_{R})}$${\displaystyle f}$

• Произведение волокон схем § Изменение основания и спуск
• Шесть операций
• Тензорное произведение полей
• Тензорно-гомозное присоединение

• Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М. (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 359–377. ISBN 0471452343. OCLC  248917264.
• Дж. Питер Мэй , Заметки о Tor и Ext
• Николя Бурбаки . Алгебра I, Глава II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.§5. Расширение кольца скаляров;§7. Векторные пространства. 1974 Германн.

• Индукция и коиндукция представлений