Идемпотент (теория колец)

В математике элемент, равный своему квадрату.

В теории колец , разделе математики , идемпотентный элемент или просто идемпотент кольца — это элемент a такой, что a 2 = a . [1] [a] То есть элемент является идемпотентным относительно умножения кольца. Индуктивно тогда можно также заключить, что a = a 2 = a 3 = a 4 = ... = a n для любого положительного целого числа n . Например, идемпотентный элемент матричного кольца — это в точности идемпотентная матрица .

Для общих колец элементы, идемпотентные относительно умножения, участвуют в разложениях модулей и связаны с гомологическими свойствами кольца. В булевой алгебре основными объектами изучения являются кольца, в которых все элементы идемпотентны как относительно сложения, так и относительно умножения.

Примеры

Частные отЗ

Можно рассмотреть кольцо целых чисел по модулю n , где nбесквадратное . По китайской теореме об остатках это кольцо раскладывается в произведение колец целых чисел по модулю  p , где pпростое число . Теперь каждый из этих множителей является полем , поэтому ясно, что единственными идемпотентами множителей будут 0 и 1. То есть, каждый множитель имеет два идемпотента. Таким образом, если имеется m множителей, то будет 2 m идемпотентов.

Мы можем проверить это для целых чисел mod 6 , R = Z / 6 Z. Поскольку 6 имеет два простых множителя ( 2 и 3 ), оно должно иметь 2 2 идемпотентов.

0 2 ≡ 0 ≡ 0 (мод 6)
1 2 ≡ 1 ≡ 1 (мод 6)
2 2 ≡ 4 ≡ 4 (мод 6)
3 2 ≡ 9 ≡ 3 (мод 6)
4 2 ≡ 16 ≡ 4 (мод 6)
5 2 ≡ 25 ≡ 1 (мод 6)

Из этих вычислений следует, что 0 , 1 , 3 и 4 являются идемпотентами этого кольца, а 2 и 5 — нет. Это также демонстрирует свойства разложения, описанные ниже: поскольку 3 + 4 ≡ 1 (mod 6) , существует разложение кольца 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z. В 3 Z / 6 Z мультипликативное тождество равно 3 + 6 Z , а в 4 Z / 6 Z мультипликативное тождество равно 4 + 6 Z.

Частное кольца полиномов

Дано кольцо R и элемент fR такой, что f 2 ≠ 0 , фактор-кольцо

Р / ( ф 2ф )

имеет идемпотент f . Например, это можно применить к xZ [ x ] или любому многочлену fk [ x 1 , ..., x n ] .

Идемпотенты в кольцах расщепленных кватернионов

В кольце расщепленных кватернионов имеется гиперболоид идемпотентов . [ необходима цитата ]

Типы кольцевых идемпотентов

Частичный список важных типов идемпотентов включает в себя:

  • Два идемпотента a и b называются ортогональными, если ab = ba = 0. Если a идемпотент в кольце Rединицей ), то и b = 1 − a также идемпотент ; более того, a и b ортогональны.
  • Идемпотент a в R называется центральным идемпотентом, если ax = xa для всех x в R , то есть если a находится в центре R.
  • Тривиальный идемпотент относится к любому из элементов 0 и 1 , которые всегда идемпотентны.
  • Примитивный идемпотент кольца R — это ненулевой идемпотент a такой, что aR неразложим как правый R -модуль; то есть такой, что aR не является прямой суммой двух ненулевых подмодулей . Эквивалентно, a является примитивным идемпотентом, если его нельзя записать в виде a = e + f , где e и f — ненулевые ортогональные идемпотенты в R .
  • Локальный идемпотент — это идемпотент a такой, что aRaлокальное кольцо . Это подразумевает, что aR непосредственно неразложимо, поэтому локальные идемпотенты также примитивны.
  • Правый неприводимый идемпотент — это идемпотент a , для которого aRпростой модуль . По лемме Шура , End R ( aR ) = aRa — тело , и, следовательно, является локальным кольцом, поэтому правые (и левые) неприводимые идемпотенты локальны.
  • Центрально примитивный идемпотент — это центральный идемпотент , который не может быть записан в виде суммы двух ненулевых ортогональных центральных идемпотентов.
  • Говорят, что идемпотент a + I в фактор-кольце R / I поднимает по модулю I, если в R существует идемпотент b, такой что b + I = a + I.
  • Идемпотент a из R называется полным идемпотентом , если RaR = R.
  • Идемпотент сепарабельности ; см. Сепарабельная алгебра .

Любой нетривиальный идемпотент a является делителем нуля (потому что ab = 0, и ни a, ни b не равны нулю, где b = 1 − a ). Это показывает, что области целостности и тела не имеют таких идемпотентов. Локальные кольца также не имеют таких идемпотентов, но по другой причине. Единственный идемпотент, содержащийся в радикале Джекобсона кольца, — это 0 .

Кольца, характеризующиеся идемпотентами

Роль в разложениях

Идемпотенты R имеют важную связь с разложением R - модулей . Если M является R -модулем и E = End R ( M ) является его кольцом эндоморфизмов , то AB = M тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e в E такой, что A = eM и B = (1 − e ) M . Тогда ясно, что M непосредственно неразложим тогда и только тогда, когда 0 и 1 являются единственными идемпотентами в E . [2]

В случае, когда M = R (предполагается унитальным), кольцо эндоморфизмов End R ( R ) = R , где каждый эндоморфизм возникает как левое умножение на фиксированный элемент кольца. С этой модификацией обозначений AB = R как правые модули тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e такой, что eR = A и (1 − e ) R = B . Таким образом, каждое прямое слагаемое R порождается идемпотентом.

Если a — центральный идемпотент, то угловое кольцо aRa = Ra — кольцо с мультипликативным тождеством a . Так же, как идемпотенты определяют прямые разложения R как модуля, центральные идемпотенты R определяют разложения R как прямой суммы колец. Если R — прямая сумма колец R 1 , ..., R n , то единичные элементы колец R i являются центральными идемпотентами в R , попарно ортогональными, и их сумма равна 1 . Обратно, если даны центральные идемпотенты a 1 , ..., a n в R , которые попарно ортогональны и имеют сумму 1 , то R является прямой суммой колец Ra 1 , ..., Ra n . Так, в частности, каждый центральный идемпотент a в R порождает разложение R как прямую сумму угловых колец aRa и (1 − a ) R (1 − a ) . В результате кольцо R непосредственно неразложимо как кольцо тогда и только тогда, когда тождество 1 является центрально примитивным.

Работая индуктивно, можно попытаться разложить 1 на сумму центрально примитивных элементов. Если 1 центрально примитивен, то мы закончили. Если нет, то это сумма центрально ортогональных идемпотентов, которые в свою очередь являются примитивными или суммами большего количества центральных идемпотентов и так далее. Проблема, которая может возникнуть, заключается в том, что это может продолжаться без конца, производя бесконечное семейство центрально ортогональных идемпотентов. Условие « R не содержит бесконечных множеств центрально ортогональных идемпотентов » является типом условия конечности на кольце. Его можно достичь многими способами, например, потребовав, чтобы кольцо было право нётеровым . Если существует разложение R = c 1 Rc 2 R ⊕ ... ⊕ c n R с каждым c i центрально примитивным идемпотентом, то R является прямой суммой угловых колец c i Rc i , каждое из которых является кольцево неприводимым. [3]

Для ассоциативных алгебр или йордановых алгебр над полем разложение Пирса представляет собой разложение алгебры в виде суммы собственных пространств коммутирующих идемпотентных элементов.

Связь с инволюциями

Если a — идемпотент кольца эндоморфизмов End R ( M ) , то эндоморфизм f = 1 − 2 a является инволюцией R -модуля M . То есть f является гомоморфизмом R -модуля , таким что f 2 является тождественным эндоморфизмом M .

Идемпотентный элемент a из R и связанная с ним инволюция f порождают две инволюции модуля R в зависимости от того, рассматривается ли R как левый или правый модуль. Если r представляет произвольный элемент R , f можно рассматривать как правый гомоморфизм R -модулей rfr , так что ffr = r , или f можно также рассматривать как левый гомоморфизм R -модулей rrf , где rff = r .

Этот процесс можно обратить, если 2 является обратимым элементом R : [b] если b является инволюцией, то 2 −1 ( 1 − b ) и 2 −1 (1 + b ) являются ортогональными идемпотентами, соответствующими a и 1 − a . Таким образом, для кольца, в котором 2 является обратимым, идемпотентные элементы соответствуют инволюциям взаимно-однозначным образом.

КатегорияР-модули

Поднятие идемпотентов также имеет важные последствия для категории R -модулей . Все идемпотенты поднимаются по модулю I тогда и только тогда, когда каждое R- прямое слагаемое R / I имеет проективное покрытие как R -модуль. [4] Идемпотенты всегда поднимают по модулю ноль идеалы и кольца, для которых R является I -адически полным .

Подъем наиболее важен, когда I = J( R ) , радикал Джекобсона кольца R . Еще одна характеристика полусовершенных колец состоит в том, что они являются полулокальными кольцами , идемпотенты которых поднимаются по модулю J( R ) . [5]

Решетка идемпотентов

Можно определить частичный порядок идемпотентов кольца следующим образом: если a и b являются идемпотентами, мы пишем ab тогда и только тогда, когда ab = ba = a . Относительно этого порядка 0 является наименьшим, а 1 наибольшим идемпотентом. Для ортогональных идемпотентов a и b , a + b также является идемпотентом, и мы имеем aa + b и ba + b . Атомы этого частичного порядка являются в точности примитивными идемпотентами. [6]

Когда указанный выше частичный порядок ограничивается центральными идемпотентами R , может быть задана решетчатая структура или даже структура булевой алгебры . Для двух центральных идемпотентов e и f дополнение задается как

¬ е = 1 − е ,

встреча дается

еf = ef .

и соединение дается как

еf = ¬(¬ е ∧ ¬ f ) = е + fef

Теперь порядок становится просто ef тогда и только тогда, когда eRf R , а соединение и встреча удовлетворяют соотношениям ( ef ) R = eR + f R и ( ef ) R = eRf R = ( eR )( f R ) . В Goodearl 1991, стр. 99 показано, что если R является фон Неймановским регулярным и правосамоинъективным , то решетка является полной решеткой .

Примечания

  1. ^ Идемпотент и нильпотент были введены Бенджамином Пирсом в 1870 году.
  2. ^ Кольца, в которых 2 необратимы, найти несложно. Элемент 2 необратим ни в каком кольце характеристики 2 , включая булевы кольца . [ требуется разъяснение ]

Цитаты

  1. ^ Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, с. 2
  2. ^ Андерсон и Фуллер 1992, стр. 69–72
  3. ^ Лэм 2001, стр. 326
  4. ^ Андерсон и Фуллер 1992, стр. 302
  5. ^ Лэм 2001, стр. 336
  6. ^ Лэм 2001, стр. 323

Ссылки

  • Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
  • идемпотент в FOLDOC
  • Goodearl, KR (1991), Регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X, МР  1150975
  • Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Том. 1 , Математика и ее приложения, вып. 575, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xii+380, ISBN 1-4020-2690-0, МР  2106764
  • Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439
  • Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 443, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
  • Пирс, Бенджамин (1870), Линейная ассоциативная алгебра
  • Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), Введение в групповые кольца , Algebras and Applications, т. 1, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xii+371, doi :10.1007/978-94-010-0405-3, ISBN 1-4020-0238-6, г-н  1896125
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Идемпотент_(теория_колец)&oldid=1223213818#Типы_идемпотентов_колец"