Инвариант Хассе алгебры

В математике инвариант Хассе алгебры — это инвариант, присоединенный к классу Брауэра алгебр над полем . Понятие названо в честь Гельмута Хассе . Инвариант играет роль в локальной теории полей классов .

Пусть K — локальное поле с оценкой v , а D — K -алгебра. Можно предположить, что D — алгебра с делением с центром K степени n . Оценку v можно расширить до D , например, расширив ее совместимым образом до каждого коммутативного подполя D : группа значений этой оценки равна (1/ n ) Z . ^[1]

Существует коммутативное подполе L поля D , которое не разветвлено над K , и D расщепляется над L. ^[2] Поле L не является единственным, но все такие расширения сопряжены по теореме Скулема–Нётер , которая далее показывает, что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D. Возьмём γ в D таким образом, что сопряжение посредством γ индуцирует автоморфизм Фробениуса L / K , и пусть v (γ) = k / n . Тогда k / n по модулю 1 является инвариантом Хассе поля D. Он зависит только от класса Брауэра поля D. [ ^3]

Таким образом, инвариант Хассе — это отображение, определенное на группе Брауэра локального поля K, в делимую группу Q / Z . ^{[3] [4]} Каждый класс в группе Брауэра представлен классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L / K степени n , ^[5] который по теореме Грюнвальда–Ванга и теореме Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер можно считать циклической алгеброй ( L ,φ,π ^k ) для некоторого k mod n , где φ — отображение Фробениуса , а π — униформизатор. ^[6] Инвариантное отображение присоединяет элемент k / n mod 1 к классу. Это показывает инвариантное отображение как гомоморфизм

${\displaystyle {\underset {L/K}{\operatorname {inv} }}:\operatorname {Br} (L/K)\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Инвариантное отображение распространяется на Br( K ) путем представления каждого класса некоторым элементом Br( L / K ), как указано выше. ^{[3] [4]}

Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповым изоморфизмом . ^{[3] [7]}

В случае поля R действительных чисел имеется два класса Брауэра, представленные самой алгеброй R и кватернионной алгеброй H. ^[8] Удобно приписать инвариантный нуль классу R и инвариант 1/2 по модулю 1 классу кватернионов .

В случае поля C комплексных чисел единственным классом Брауэра является тривиальный класс с инвариантным нулем. ^[9]

Для глобального поля K , заданного центральной простой алгеброй D над K , для каждой оценки v поля K мы можем рассмотреть расширение скаляров D _v = D ⊗ K _v Расширение D _v расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что локальный инвариант D _v почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br( K ) вписывается в точную последовательность ^{[8] [9]}

${\displaystyle 0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

где S — множество всех оценок K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов. Инъективность левой стрелки — содержание теоремы Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер . Точность в среднем члене — глубокий факт из глобальной теории полей классов .

• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. стр. 231–238. ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.
• Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Локальная теория полей классов". В Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. стр. 128–161. Zbl  0153.07403.
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Збл  0423.12016.

• Шатц, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Annals of Mathematics Studies. Том 67. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 0-691-08017-8. MR  0347778. Zbl  0236.12002.