Коммутатор

В математике коммутатор дает указание на степень, в которой определенная бинарная операция не является коммутативной . Существуют различные определения, используемые в теории групп и теории колец .

Коммутатором двух элементов g и h группы G называется элемент

[ г , ч ] = г ⁻¹ ч ⁻¹ гх .

Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg ).

Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа группы G, порождённая всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или коммутаторной подгруппой группы G. Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .

Приведенное выше определение коммутатора используется на протяжении всей статьи, но многие специалисты по теории групп определяют коммутатор как

[ г , ч ] = гх г ⁻¹ ч ⁻¹ . ^{[1] [2]}

Используя первое определение, это можно выразить как [ g ⁻¹ , h ⁻¹ ] .

Коммутаторные тождества являются важным инструментом в теории групп . ^[3] Выражение a ^x обозначает сопряжение a посредством x , определяемое как x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$и${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$и${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$и${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

Тождество (5) также известно как тождество Холла–Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

NB, приведенное выше определение сопряжения a с помощью x используется некоторыми теоретиками групп. ^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax ⁻¹ . ^[5] Это часто записывается . Аналогичные тождества справедливы для этих соглашений.${\displaystyle {}^{x}a}$

Также используются многие тождества, которые истинны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых групп и нильпотентных групп . Например, в любой группе вторые степени ведут себя хорошо:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Если производная подгруппа является центральной, то

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Кольца часто не поддерживают деление. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-другому:

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они представлены так в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как скобку Ли , каждую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Иногда используется для обозначения антикоммутатора, тогда как затем используется для коммутатора. ^[6] Антикоммутатор используется реже, но может быть использован для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц .${\displaystyle [а,б]_{+}}$${\displaystyle [а,б]_{-}}$

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве , является центральным понятием в квантовой механике , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном счете является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона–Шредингера . ^[7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы звездообразных произведений функций называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутатора гильбертова пространства.

Коммутатор обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle [А+В,С]=[А,С]+[В,С]}$
2. ${\displaystyle [А,А]=0}$
3. ${\displaystyle [А,Б]=-[Б,А]}$
4. ${\displaystyle [А,[Б,С]]+[Б,[С,А]]+[С,[А,Б]]=0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [А,В+С]=[А,В]+[А,С]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Если A — фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения, заданного . Другими словами, отображение ad _A определяет вывод на кольце R. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4)–(6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность .${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней элементов кольца равен:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}$

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанную выше ± индексную нотацию. ^[8] Например:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспонента может быть осмысленно определена, например, банахову алгебру или кольцо формальных степенных рядов .${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. в разделе «Сопряженный вывод » ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа log(exp( A ) exp( B )).${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Аналогичное расширение выражает групповой коммутатор выражений (аналогичных элементам группы Ли ) через ряд вложенных коммутаторов (скобок Ли),${\displaystyle e^{A}}$$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Особенно, если мы имеем дело с несколькими коммутаторами в кольце R , другая нотация оказывается полезной. Для элемента мы определяем сопряженное отображение следующим образом:${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Это отображение является выводом на кольце R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

По тождеству Якоби это также является выводом относительно операции коммутации:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

Составляя такие отображения, получаем, например , и Мы можем рассматривать себя как отображение, , где — кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда — гомоморфизм алгебры Ли , сохраняющий коммутатор:${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$${\displaystyle \mathrm {ad} }$${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно .${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

Общее правило Лейбница , раскрывающее повторные производные произведения, можно записать абстрактно, используя сопряженное представление:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Заменяя на оператор дифференцирования и на оператор умножения , получаем , и применяя обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n -й производной .${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle y}$${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное соотношение
• Централизатор он же коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Moyal
• производная Пинчерле
• скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трех подгруппах

• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
• Херштейн, IN (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
• Лавров, П.М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550– 558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007/s11232-014-0161-2, S2CID  119175276
• Либофф, Ричард Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Queen Mary Maths Notes, т. 18, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, г-н  1802994
• Макмахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

• Маккензи, Р.; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутаторов», в Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , NATO Science Series II, т. 207, Springer, стр.  273–329 , doi :10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

• «Коммутатор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]