Аффинное многообразие

В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество — это множество общих нулей над алгебраически замкнутым полем k некоторого семейства многочленов в кольце многочленов. Аффинное многообразие или аффинное алгебраическое многообразие — это аффинное алгебраическое множество, такое что идеал, порожденный определяющими многочленами, является простым числом .${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

В некоторых текстах термин «многообразие» используется для обозначения любого алгебраического множества, а термин «неприводимое многообразие» — для обозначения алгебраического множества, определяющий идеал которого является простым числом (аффинное многообразие в указанном выше смысле).

В некоторых контекстах (см., например, Hilbert's Nullstellensatz ) полезно различать поле k , в котором рассматриваются коэффициенты, от алгебраически замкнутого поля K (содержащего k ), над которым рассматриваются общие нули (то есть точки аффинного алгебраического множества находятся в K ⁿ ). В этом случае говорят, что многообразие определено над k , а точки многообразия, принадлежащие k ^{n ,} называются k -рациональными или рациональными над k . В общем случае, когда k — поле действительных чисел , k -рациональная точка называется действительной точкой . ^[1] Когда поле k не указано, рациональной точкой называется точка, которая рациональна над рациональными числами . Например, Великая теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (оно является кривой), определяемое соотношением x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0, не имеет рациональных точек для любого целого числа n, большего двух.

Аффинное алгебраическое множество — это множество решений в алгебраически замкнутом поле k системы полиномиальных уравнений с коэффициентами в k . Точнее, если — полиномы с коэффициентами в k , то они определяют аффинное алгебраическое множество ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Аффинное (алгебраическое) многообразие — это аффинное алгебраическое множество, которое не является объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым .

Если X — аффинное алгебраическое множество, а I — идеал всех многочленов, равных нулю на X , то фактор-кольцо называется${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$Координатное кольцо X. ЕслиX— аффинное многообразие, тоI— простое число, поэтому координатное кольцо являетсяобластью целостности. Элементы координатного кольцаRтакже называютсярегулярными функциямиилиполиномиальными функциямина многообразии. Они образуюткольцо регулярных функций на многообразии или, просто,кольцомногообразия; другими словами (см. #Структурный пучок), это пространство глобальных сечений структурного пучкаX.

Размерность многообразия — это целое число, связанное с каждым многообразием и даже с каждым алгебраическим множеством, важность которого обусловлена ​​большим числом его эквивалентных определений (см. Размерность алгебраического многообразия ).

• Дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии X (то есть X \ { f = 0 } для некоторого многочлена f ) является аффинным. Его определяющие уравнения получаются путем насыщения f определяющего идеала X . Координатное кольцо, таким образом, является локализацией .${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• В частности, (аффинная линия с удаленным началом координат) является аффинной.${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• С другой стороны, (аффинная плоскость с удаленным началом координат) не является аффинным многообразием; см. теорему Хартогса о продолжении .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве — это в точности гиперповерхности, то есть многообразия, определяемые одним многочленом.${\displaystyle к^{н}}$
• Нормализация неприводимого аффинного многообразия является аффинной; координатное кольцо нормализации является целым замыканием координатного кольца многообразия. (Аналогично, нормализация проективного многообразия является проективным многообразием. )

Для аффинного многообразия над алгебраически замкнутым полем K и подполем k поля K k - рациональная точка V — это точка То есть точка V , координаты которой являются элементами k . Совокупность k -рациональных точек аффинного многообразия V часто обозначается Часто, если базовым полем является комплексное поле C , точки, которые являются R -рациональными (где R — действительные числа ), называются действительными точками многообразия, а Q -рациональные точки ( Q — рациональные числа ) часто называются просто рациональными точками .${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$${\displaystyle V(к).}$

Например, (1, 0) является Q -рациональной и R -рациональной точкой многообразия , как оно есть в V , и все ее координаты являются целыми числами. Точка ( √ 2 /2, √ 2 /2) является действительной точкой V , которая не является Q -рациональной, и является точкой V , которая не является R -рациональной. Это многообразие называется окружностью , потому что множество ее R -рациональных точек является единичной окружностью . Оно имеет бесконечно много Q -рациональных точек, которые являются точками ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$${\displaystyle (я, {\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

где t — рациональное число.

Окружность является примером алгебраической кривой степени два, не имеющей Q -рациональной точки. Это можно вывести из того факта, что по модулю 4 сумма двух квадратов не может быть равна 3 .${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Можно доказать, что алгебраическая кривая степени два с Q -рациональной точкой имеет бесконечно много других Q -рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным наклоном, проходящей через рациональную точку.

Комплексное многообразие не имеет R -рациональных точек, но имеет много комплексных точек.${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Если V — аффинное многообразие в C ² , определенное над комплексными числами C , R -рациональные точки V можно нарисовать на листе бумаги или с помощью графического программного обеспечения. На рисунке справа показаны R -рациональные точки${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Пусть V — аффинное многообразие, определяемое многочленами , и — точка V .${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$${\displaystyle a=(a_{1},\точки,a_{n})}$

Матрица Якоби J _V ( a ) точки V в точке a представляет собой матрицу частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Точка a является регулярной , если ранг J _V ( a ) равен коразмерности V , и особой в противном случае.

Если a регулярно, то касательное пространство к V в точке a является аффинным подпространством , определяемым линейными уравнениями ^[2]${\displaystyle к^{н}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Если точка является особой, то аффинное подпространство, определяемое этими уравнениями, некоторые авторы также называют касательным пространством, в то время как другие авторы говорят, что в особой точке нет касательного пространства. ^[3] Более внутреннее определение, которое не использует координаты, дается касательным пространством Зариского .

Аффинные алгебраические множества k ⁿ образуют замкнутые множества топологии на k ⁿ , называемой топологией Зарисского . Это следует из того факта, что и (фактически, счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством).${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$

Топология Зарисского также может быть описана с помощью базовых открытых множеств , где открытые по Зарисскому множества являются счетными объединениями множеств вида для Эти базовые открытые множества являются дополнениями в k ⁿ замкнутых множеств нулевых локусов одного многочлена. Если k является нётеровым (например, если k является полем или областью главных идеалов ), то каждый идеал k является конечно-порожденным, поэтому каждое открытое множество является конечным объединением базовых открытых множеств.${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

Если V — аффинное подмногообразие k ^{n ,} то топология Зарисского на V — это просто топология подпространства, унаследованная от топологии Зарисского на k ⁿ .

Геометрическая структура аффинного многообразия тесно связана с алгебраической структурой его координатного кольца. Пусть I и J — идеалы k[V] , координатного кольца аффинного многообразия V . Пусть I(V) — множество всех многочленов из , которые обращаются в нуль на V , и пусть обозначает радикал идеала I , множество многочленов f , для которых некоторая степень f принадлежит I . Причина, по которой базовое поле должно быть алгебраически замкнутым, заключается в том, что аффинные многообразия автоматически удовлетворяют nullstellensatz Гильберта : для идеала J из , где k — алгебраически замкнутое поле,${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

Радикальные идеалы (идеалы, которые являются своими собственными радикалами) из k[V] соответствуют алгебраическим подмножествам V . Действительно, для радикальных идеалов I и J , тогда и только тогда, когда Следовательно V(I)=V(J) тогда и только тогда, когда I=J . Более того, функция, берущая аффинное алгебраическое множество W и возвращающая I(W) , множество всех функций, которые также обращаются в нуль во всех точках W , является обратной функцией функции, сопоставляющей алгебраическое множество радикальному идеалу, с помощью nullstellensatz. Следовательно, соответствие между аффинными алгебраическими множествами и радикальными идеалами является биекцией. Координатное кольцо аффинного алгебраического множества является редуцированным (нильпотентно свободным), как идеал I в кольце R является радикальным тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/I является редуцированным.${\displaystyle I\subseteq J}$${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$

Первичные идеалы координатного кольца соответствуют аффинным подмногообразиям. Аффинное алгебраическое множество V(I) можно записать как объединение двух других алгебраических множеств тогда и только тогда, когда I=JK для собственных идеалов J и K , не равных I (в этом случае ). Это так тогда и только тогда, когда I не является первичным. Аффинные подмногообразия — это в точности те, координатное кольцо которых является областью целостности. Это происходит потому, что идеал является первичным тогда и только тогда, когда фактор кольца по идеалу является областью целостности.${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

Максимальные идеалы k[V] соответствуют точкам V . Если I и J являются радикальными идеалами, то тогда и только тогда, когда Поскольку максимальные идеалы радикальны, максимальные идеалы соответствуют минимальным алгебраическим множествам (тем, которые не содержат собственных алгебраических подмножеств), которые являются точками в V . Если V является аффинным многообразием с координатным кольцом, то это соответствие становится явным с помощью отображения , где обозначает образ в фактор-алгебре R многочлена Алгебраическое подмножество является точкой тогда и только тогда, когда координатное кольцо подмножества является полем, как фактор кольца по максимальному идеалу является полем.${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$${\displaystyle I\subseteq J.}$${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

Следующая таблица суммирует это соответствие для алгебраических подмножеств аффинного многообразия и идеалов соответствующего координатного кольца:

Произведение аффинных многообразий можно определить с помощью изоморфизма A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , а затем вложить произведение в это новое аффинное пространство. Пусть A ⁿ и A ^m имеют координатные кольца k [ x ₁ ,...,  x _n ] и k [ y ₁ ,...,  y _m ] соответственно, так что их произведение A ^{n + m} имеет координатное кольцо k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] . Пусть V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ) — алгебраическое подмножество A ⁿ , а W  =  V (  g ₁ ,...,  g _M ) — алгебраическое подмножество A ^m . Тогда каждый f _i является многочленом от k [ x ₁ ,...,  x _n ] , а каждый g _j принадлежит k [ y ₁ ,...,  y _m ] . Произведение V и W определяется как алгебраическое множество V × W  =  V (  f ₁ ,...,   f  N _, g  1 _, ...,  g _M ) в A ^{n + m} . Произведение неприводимо, если каждое V , W неприводимо . ^[4]

Топология Зарисского на A ⁿ  ×  A ^m  не является топологическим произведением топологий Зарисского на двух пространствах. Действительно, топология произведения порождается произведениями базовых открытых множеств U _f  =  A ⁿ  −  V (  f  ) и T _g  =  A ^m  −  V (  g  ). Следовательно, многочлены, которые находятся в k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ], но не могут быть получены как произведение многочлена из k [ x ₁ ,...,  x _n ] на многочлен из k [ y ₁ ,...,  y _m ], будут определять алгебраические множества, которые находятся в топологии Зарисского на A ⁿ  ×  A ^m  , но не в топологии произведения.

Морфизм, или регулярное отображение, аффинных многообразий — это функция между аффинными многообразиями, которая является полиномиальной по каждой координате: точнее, для аффинных многообразий V ⊆ k n и W ⊆ k m морфизм из V в ^W — это отображение φ ^: V → W вида φ ( a  1 , ... , an ) = ( _f 1 ( a 1 _, ... , _an ) , _... , f _m ( a ₁ , ..., an ) ), где f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _{n ]} для каждого i = 1, ..., m . Это морфизмы в категории аффинных _{многообразий} .

Существует взаимно однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем k и гомоморфизмами координатных колец аффинных многообразий над k, идущими в противоположном направлении. Из-за этого, а также из-за того, что существует взаимно однозначное соответствие между аффинными многообразиями над k и их координатными кольцами, категория аффинных многообразий над k является двойственной к категории координатных колец аффинных многообразий над k . Категория координатных колец аффинных многообразий над k — это в точности категория конечно порожденных, нильпотентно свободных алгебр над k .

Точнее, для каждого морфизма φ  : V → W аффинных многообразий существует гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] между координатными кольцами (идущий в противоположном направлении), и для каждого такого гомоморфизма существует морфизм многообразий, связанных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть V ⊆ k ⁿ и W ⊆ k ^m — аффинные многообразия с координатными кольцами k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I и k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J соответственно. Пусть φ  : V → W — морфизм. Действительно, гомоморфизм между кольцами многочленов θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I однозначно пропускается через кольцо k [ X ₁ , ..., X _n ], а гомоморфизм ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] однозначно определяется образами Y ₁ , ..., Y _m . Следовательно, каждый гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] однозначно соответствует выбору образа для каждого Y _i . Тогда для любого морфизма φ = ( f ₁ , ..., f _m ) из V в W можно построить гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ], который отправляет Y _i в , где — класс эквивалентности f _i в k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

Аналогично, для каждого гомоморфизма координатных колец можно построить морфизм аффинных многообразий в противоположном направлении. Зеркально отражая абзац выше, гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] переводит Y _i в многочлен от k [ V ] . Это соответствует морфизму многообразий φ  : V → W , определяемому формулой φ ( a ₁ , ... , an ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., an _{) ,} ..., f _m ( a ₁ , ..., an ₎ ). ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$

Аффинное многообразие, снабженное структурным пучком, описанным ниже, является локально окольцованным пространством .

Для аффинного многообразия X с координатным кольцом A пучок k -алгебр определяется следующим образом: пусть — кольцо регулярных функций на U .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Пусть D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 } для каждого f из A . Они образуют базу для топологии X и, таким образом, определяются ее значениями на открытых множествах D ( f ). (См. также: пучок модулей#Пучок, связанный с модулем .)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Ключевым фактом, который существенным образом опирается на теорему Гильберта о нулях , является следующее:

Доказательство: ^[5] Включение ⊃ очевидно. Для противоположного пусть g находится в левой части и , что является идеалом. Если x принадлежит D ( f ), то, поскольку g является регулярным вблизи x , существует некоторая открытая аффинная окрестность D ( h ) точки x такая, что ; то есть h ^m g принадлежит A и, таким образом, x не принадлежит V ( J ). Другими словами, и, таким образом, из нулевого предложения Гильберта следует, что f принадлежит радикалу J ; то есть, .${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$${\displaystyle f^{n}g\in A}$${\displaystyle \square }$

Это утверждение, прежде всего, подразумевает, что X является «локально окольцованным» пространством, поскольку

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

где . Во-вторых, утверждение подразумевает, что является пучком; действительно, оно говорит, что если функция регулярна (поточечно) на D ( f ), то она должна находиться в координатном кольце D ( f ); то есть «регулярность» может быть склеена.${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Следовательно, — локально окольцованное пространство.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теорема Серра дает когомологическую характеристику аффинного многообразия; она утверждает, что алгебраическое многообразие является аффинным тогда и только тогда, когда для любого и любого квазикогерентного пучка F на X. (ср. теорему Картана B. ) Это делает когомологическое исследование аффинного многообразия несуществующим, в резком контрасте с проективным случаем, в котором группы когомологий линейных расслоений представляют центральный интерес.${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$${\displaystyle i>0}$

Аффинное многообразие G над алгебраически замкнутым полем k называется аффинной алгебраической группой, если оно имеет:

• Умножение μ :  G  ×  G  →  G , которое является регулярным морфизмом, следующим аксиоме ассоциативности , то есть таким, что μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  μ ( g ,  h )) для всех точек f , g и h в G ;
• Единичный элемент e такой, что μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g для каждого g из G ;
• Обратный морфизм , регулярная биекция ι :  G  →  G такая, что µ ( ι ( g ),  g ) =  µ ( g , ι  ( g ) ) =  e для каждого g в G.

Вместе они определяют групповую структуру на многообразии. Вышеуказанные морфизмы часто записываются с использованием обычных групповых обозначений: μ ( f ,  g ) можно записать как f  +  g , f ⋅ g или fg ; обратное ι ( g ) можно записать как − g или g ⁻¹ . Используя мультипликативную нотацию, законы ассоциативности, тождественности и обратного можно переписать как: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  eg  =  g и gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

Наиболее ярким примером аффинной алгебраической группы является GL _n ( k ), общая линейная группа степени n . Это группа линейных преобразований векторного пространства k ⁿ ; если базис k n фиксирован , это эквивалентно группе обратимых матриц n × n с элементами в k . Можно показать , что любая аффинная алгебраическая группа изоморфна подгруппе GL _n ( k ⁾ . По этой причине аффинные алгебраические группы часто называют линейными алгебраическими группами .

Аффинные алгебраические группы играют важную роль в классификации конечных простых групп , поскольку группы типа Ли представляют собой все множества F _q -рациональных точек аффинной алгебраической группы, где F _q — конечное поле.

• Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делается в этой статье), то неприводимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение, в частности, включает аффинные многообразия над действительными числами .

• Аффинное многообразие играет роль локальной карты для алгебраических многообразий ; то есть общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия, получаются путем склеивания аффинных многообразий. Линейные структуры, которые прикреплены к многообразиям, также (тривиально) являются аффинными многообразиями; например, касательные пространства, слои алгебраических векторных расслоений .

• Аффинное многообразие является частным случаем аффинной схемы , локально окольцованного пространства, изоморфного спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий ). Каждое аффинное многообразие имеет связанную с ним аффинную схему: если V(I) является аффинным многообразием в k ⁿ с координатным кольцом R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , то схема, соответствующая V(I) — это Spec( R ), множество простых идеалов R . Аффинная схема имеет «классические точки», которые соответствуют точкам многообразия (и, следовательно, максимальным идеалам координатного кольца многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют простым, немаксимальным идеалам координатного кольца). Это создает более четко определенное понятие «общей точки» аффинного многообразия, назначая каждому замкнутому подмногообразию открытую точку, которая плотна в подмногообразии. В более общем смысле аффинная схема является аффинным многообразием, если она приведена , неприводима и имеет конечный тип над алгебраически замкнутым полем k .

• Алгебраическое многообразие
• Аффинная схема
• Представления на координатных кольцах

Оригинальная статья была написана как частичный человеческий перевод соответствующей французской статьи.

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Фултон, Уильям (1969). Алгебраические кривые (PDF) . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-510103.
• Милн, Джеймс С. (2017). «Алгебраическая геометрия» (PDF) . www.jmilne.org . Получено 16 июля 2021 г. .
• Милн, Джеймс С. Лекции по этальным когомологиям
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам . Заметки лекций по математике. Том 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Рид, Майлз (1988). Алгебраическая геометрия для студентов . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.