Отфильтрованная категория

В теории категорий фильтрованные категории обобщают понятие направленного множества, понимаемого как категория (отсюда и название направленная категория; в то время как некоторые используют направленную категорию как синоним фильтрованной категории). Существует двойственное понятие кофильтрованной категории, которое будет упомянуто ниже.

Категория фильтруется , когда​ ${\displaystyle J}$

• он не пустой,
• для каждых двух объектов и в существует объект и две стрелки и в ,${\displaystyle j}$${\displaystyle j'}$${\displaystyle J}$${\displaystyle к}$${\displaystyle f:j\to k}$${\displaystyle f':j'\to k}$${\displaystyle J}$
• для каждых двух параллельных стрелок в существует объект и стрелка такие, что .${\displaystyle u,v:i\to j}$${\displaystyle J}$${\displaystyle к}$${\displaystyle w:j\to k}$${\displaystyle wu=wv}$

Фильтрованный копредел — это копредел функтора , где — фильтрованная категория. ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$

Категория кофильтруется, если фильтруется противоположная категория . В деталях, категория кофильтруется, когда${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$

• он не пустой,
• для каждых двух объектов и в существует объект и две стрелки и в ,${\displaystyle j}$${\displaystyle j'}$${\displaystyle J}$${\displaystyle к}$${\displaystyle f:k\to j}$${\displaystyle f':k\to j'}$${\displaystyle J}$
• для каждых двух параллельных стрелок в существует объект и стрелка такие, что .${\displaystyle u,v:j\to i}$${\displaystyle J}$${\displaystyle к}$${\displaystyle w:k\to j}$${\displaystyle uw=vw}$

Кофильтрованный предел — это предел функтора , где — кофильтрованная категория.${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$

Для данной малой категории предпучок множеств , являющийся малым отфильтрованным копределом представимых предпучков, называется инд-объектом категории . Инд-объекты категории образуют полную подкатегорию в категории функторов (предпучков) . Категория про-объектов в является противоположностью категории инд-объектов в противоположной категории .${\displaystyle С}$${\displaystyle C^{op}\to Set}$${\displaystyle С}$${\displaystyle С}$${\displaystyle Инд(С)}$${\displaystyle C^{op}\to Set}$${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$${\displaystyle С}$${\displaystyle C^{op}}$

Существует вариант «фильтрованной категории», известный как «κ-фильтрованная категория», определяемый следующим образом. Это начинается со следующего наблюдения: три условия в определении фильтрованной категории выше говорят соответственно, что существует коконус над любой диаграммой в виде , , или . Существование коконусов для этих трех форм диаграмм, как оказывается, подразумевает, что коконусы существуют для любой конечной диаграммы; другими словами, категория фильтруется (согласно вышеприведенному определению) тогда и только тогда, когда существует коконус над любой конечной диаграммой .${\displaystyle J}$${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$${\displaystyle \{я\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle d:D\to J}$

Расширяя это, при заданном регулярном кардинале κ, категория определяется как κ-фильтруемая, если существует коконус над каждой диаграммой из мощности, меньшей κ. (Малая диаграмма имеет мощность κ, если множество морфизмов ее области имеет мощность κ.)${\displaystyle J}$${\displaystyle д}$${\displaystyle J}$

κ-фильтрованный копредел — это копредел функтора, где — κ-фильтрованная категория.${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$