Конечное кольцо

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , конечное кольцо — это кольцо , имеющее конечное число элементов. Каждое конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевой конечной группы , но концепция конечных колец как таковая имеет более недавнюю историю.

Хотя кольца имеют больше структуры, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп была одним из главных прорывов математики 20-го века, ее доказательство заняло тысячи журнальных страниц. С другой стороны, с 1907 года известно, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу – матрицам n -на- n над конечным полем порядка q (как следствие теорем Веддерберна, описанных ниже).${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})}$

Число колец с m элементами, где m — натуральное число, указано в OEIS : A027623 в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей .

Теория конечных полей , возможно, является наиболее важным аспектом теории конечных колец из-за ее тесных связей с алгебраической геометрией , теорией Галуа и теорией чисел . Важным, но довольно старым аспектом теории является классификация конечных полей: ^[1]

• Порядок или число элементов конечного поля равно p ⁿ , где p — простое число, называемое характеристикой поля, а n — положительное целое число.
• Для каждого простого числа p и положительного целого числа n существует конечное поле с p ⁿ элементами.
• Любые два конечных поля с одинаковым порядком изоморфны .

Несмотря на классификацию, конечные поля по-прежнему являются активной областью исследований, включая недавние результаты по гипотезе Какея и открытые проблемы, касающиеся размера наименьших первообразных корней (в теории чисел).

Конечное поле F может быть использовано для построения векторного пространства n-мерностей над F. Матричное кольцо A из матриц n × n с элементами из F используется в геометрии Галуа , при этом проективная линейная группа служит мультипликативной группой A.

Малая теорема Веддерберна утверждает, что любое конечное тело обязательно коммутативно:

Если каждый ненулевой элемент r конечного кольца R имеет мультипликативный обратный, то R коммутативно (и, следовательно, является конечным полем ).

Позднее Натан Якобсон открыл еще одно условие, гарантирующее коммутативность кольца: если для каждого элемента r из R существует целое число n > 1 такое, что r  ⁿ = r , то R является коммутативным. ^[2] Известны также более общие условия, подразумевающие коммутативность кольца. ^[3]

Еще одна теорема Веддерберна имеет своим следствием результат, демонстрирующий, что теория конечных простых колец относительно проста по своей природе. Более конкретно, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу , матрицам n -на- n над конечным полем порядка q . Это следует из двух теорем Джозефа Веддерберна, установленных в 1905 и 1907 годах (одна из которых — малая теорема Веддерберна).${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})}$

(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемые rngs .) В 1964 году Дэвид Сингмастер предложил следующую задачу в American Mathematical Monthly : "(1) Каков порядок наименьшего нетривиального кольца с идентичностью, которое не является полем? Найдите два таких кольца с этим минимальным порядком. Есть ли еще? (2) Сколько существует колец четвертого порядка?" Решение Д. М. Блума можно найти в двухстраничном доказательстве ^[4] того, что существует одиннадцать колец четвертого порядка, четыре из которых имеют мультипликативную идентичность. Действительно, четырехэлементные кольца вводят сложность предмета. Существует три кольца над циклической группой C4 и восемь колец над четверной группой Клейна . В заметках к лекциям Грегори Дрездена есть интересная демонстрация дискриминационных инструментов ( нильпотентов , делителей нуля , идемпотентов , _а также левых и правых идентичностей). ^[5]

Появление некоммутативности в конечных кольцах было описано в (Eldridge 1968) в двух теоремах: Если порядок m конечного кольца с 1 имеет факторизацию без кубов , то оно коммутативно . А если некоммутативное конечное кольцо с 1 имеет порядок простого числа в кубе, то кольцо изоморфно верхнему треугольному кольцу матриц 2 × 2 над полем Галуа простого числа. Изучение колец порядка куба простого числа было далее развито в (Raghavendran 1969) и (Gilmer & Mott 1973). Затем Flor и Wessenbauer (1975) внесли улучшения в случай куба простого числа. Окончательная работа по классам изоморфизма пришла с (Antipkin & Elizarov 1982), доказавшим, что для p  > 2 число классов равно 3 p  + 50.

Имеются более ранние ссылки на тему конечных колец, такие как работы Роберта Баллье ^[6] и Скорца. ^[7]

Вот несколько фактов, которые известны о числе конечных колец (не обязательно содержащих единицу) заданного порядка (предположим, что p и q представляют собой различные простые числа):

• Имеется два конечных кольца порядка p .
• Существует четыре конечных кольца порядка pq .
• Существует одиннадцать конечных колец порядка p ² .
• Существует двадцать два конечных кольца порядка p ² q .
• Существует пятьдесят два конечных кольца восьмого порядка.
• Существует 3 p  + 50 конечных колец порядка p ³ , p  > 2.

Число колец с n элементами равно (при a (0) = 1 )

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ... (последовательность A027623 в OEIS )

• ^Кольцо Галуа , конечные коммутативные кольца, обобщающие Z / pnZ и конечные поля
• Проективная прямая над кольцом § Над дискретными кольцами

• Классификация конечных коммутативных колец