Проконечное целое число

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Май 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике проконечное целое число — это элемент кольца ( иногда произносится как зи-хэт или зед-хэт).

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z}}}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

где обратный предел

${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

указывает на проконечное завершение , индекс пробегает все простые числа и является кольцом p -адических целых чисел . Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа , этальной гомотопической теорией и кольцом аделей . Кроме того, она дает базовый разрешимый пример проконечной группы .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Проконечные целые числа можно построить как набор последовательностей остатков, представленных таким образом, что .${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \ипсилон}$$${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}} ,~\ldots )}$$${\displaystyle m\ |\ n\подразумевает \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом.

Кольцо целых чисел вкладывается в кольцо проконечных целых чисел посредством канонической инъекции: где Оно является каноническим, поскольку удовлетворяет универсальному свойству проконечных групп , заключающемуся в том, что для любой проконечной группы и любого гомоморфизма групп существует единственный непрерывный гомоморфизм групп с .$${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

Каждое целое число имеет уникальное представление в факториальной системе счисления , где для каждого , и только конечное число из не равны нулю.${\displaystyle n\geq 0}$$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

Его факториальное представление числа можно записать как .${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

Точно так же проконечное целое число может быть однозначно представлено в факториальной системе счисления как бесконечная строка , где каждое целое число удовлетворяет . ^[1]${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

Цифры определяют значение проконечного целого числа mod . Более конкретно, существует кольцевой гомоморфизм, отправляющий Отличие проконечного целого числа от целого числа заключается в том, что условие «конечное число ненулевых цифр» опускается, что позволяет его факториальному представлению числа иметь бесконечно много ненулевых цифр.${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

Другой способ понять конструкцию проконечных целых чисел — использовать китайскую теорему об остатках . Напомним, что для целого числа с простым разложением неповторяющихся простых чисел существует кольцевой изоморфизм из теоремы. Более того, любая сюръекция будет просто отображением на базовых разложениях, где есть индуцированные сюръекции, поскольку мы должны иметь . Должно быть гораздо яснее, что при определении обратного предела проконечных целых чисел мы имеем изоморфизм с прямым произведением p -адических целых чисел.${\displaystyle n}$$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

В явном виде изоморфизм имеет вид , где пробегает все множители степени простого числа , то есть для некоторых различных простых чисел .${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

Множество проконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой оно является компактным хаусдорфовым пространством , исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного прямого произведения , которое компактно со своей топологией произведения по теореме Тихонова . Обратите внимание, что топология на каждой конечной группе задана как дискретная топология .$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Топологию можно определить с помощью метрики ^[1]${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

Поскольку сложение проконечных целых чисел непрерывно, является компактной абелевой группой Хаусдорфа, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину группа должна быть дискретной абелевой группой. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

Фактически, двойственный по Понтрягину элемент является абелевой группой, снабженной дискретной топологией (заметим, что это не топология подмножества, унаследованная от , которая не является дискретной). Двойственный по Понтрягину элемент явно строится функцией ^[2] где — характер аделя (введенный ниже), индуцированный . ^[3]${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

Тензорное произведение — это кольцо конечных аделей , где символ означает ограниченное произведение . То есть, элемент — это последовательность, которая является целой, за исключением конечного числа мест. ^[4] Существует изоморфизм${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle '}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

Для алгебраического замыкания конечного поля порядка q группа Галуа может быть вычислена явно. Из того факта , что автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса , группа Галуа алгебраического замыкания задается обратным пределом групп , поэтому ее группа Галуа изоморфна группе проконечных целых чисел ^[5] , что дает вычисление абсолютной группы Галуа конечного поля.${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

Эту конструкцию можно переинтерпретировать многими способами. Один из них — из теории гомотопий Эталя , которая определяет фундаментальную группу Эталя как проконечное пополнение автоморфизмов, где — это покрытие Эталя . Тогда проконечные целые числа изоморфны группе из более раннего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, существует вложение проконечных целых чисел внутрь фундаментальной группы Эталя алгебраического тора, поскольку отображения покрытия происходят из полиномиальных отображений из отображения коммутативных колец, отправляющих , поскольку . Если алгебраический тор рассматривается над полем , то фундаментальная группа Эталя содержит действие также из фундаментальной точной последовательности в теории гомотопий Эталя.${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$${\displaystyle X_{i}\to X}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$$${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$$${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

Теория полей классов — это раздел алгебраической теории чисел, изучающий абелевы расширения поля. При заданном глобальном поле абелианизация его абсолютной группы Галуа тесно связана с ассоциированным кольцом аделей и группой проконечных целых чисел. В частности, существует отображение, называемое отображением Артина ^[6], которое является изоморфизмом. Это отношение можно определить явно как${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

дающее желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение индуцируется из конечного расширения поля .${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

• p-адическое число
• Кольцо Адель
• Сверхъестественное число

• Коннес, Ален; Консани, Катерина (2015). «Геометрия арифметического сайта». arXiv : 1502.05580 [math.AG].
• Milne, JS (2013-03-23). ​​"Теория полей классов" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-06-19 . Получено 2020-06-07 .

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+целые числа
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf