Спектр кольца

В коммутативной алгебре простой спектр ( или просто спектр ) коммутативного кольца R — это множество всех простых идеалов кольца R , и обычно обозначается как ; ^[1] в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство, снабженное пучком колец . ^[2]${\displaystyle \operatorname {Спецификация} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Для любого идеала I из R определим как множество простых идеалов, содержащих I. Мы можем задать топологию , определив набор замкнутых множеств как${\displaystyle V_{I}}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

${\displaystyle \{V_{I}\colon I{\text{ является идеалом }}R\}.}$

Эта топология называется топологией Зарисского .

Базис для топологии Зарисского можно построить следующим образом. Для f ∈ R определим D _f как множество простых идеалов R, не содержащих f . Тогда каждое D _f является открытым подмножеством и является базисом для топологии Зарисского.${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$${\displaystyle \{D_{f}:f\in R\}}$

${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$является компактным пространством , но почти никогда не является хаусдорфовым : на самом деле, максимальные идеалы в R являются именно замкнутыми точками в этой топологии. По тем же соображениям, не является, вообще говоря, пространством T ₁ . ^[3] Однако, всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T ₀ ); это также спектральное пространство .${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

Учитывая пространство с топологией Зарисского, структурный пучок определяется на выделенных открытых подмножествах путем задания локализации R по степеням f . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок . Более подробно, выделенные открытые подмножества являются базисом топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение , мы устанавливаем , где обозначает обратный предел относительно естественных кольцевых гомоморфизмов Можно проверить, что этот предпучок является пучком, поэтому является окольцованным пространством . Любое окольцованное пространство, изоморфное одному из этих видов, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются путем склеивания аффинных схем.${\displaystyle X=\operatorname {Спецификация} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle \Гамма (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$${\textstyle \Гамма (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$${\displaystyle \varprojlim}$${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

Аналогично, для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенных открытых подмножествах множества с помощью локализации модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиоме склеивания . Пучок такого вида называется квазикогерентным пучком .${\displaystyle {\тильда {М}}}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$${\displaystyle \Гамма (D_{f},{\tilde {M}})=M_{f},}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

Если P — точка в , то есть простой идеал, то стебель структурного пучка в P равен локализации R в идеале P , и это локальное кольцо . Следовательно, — локально окольцованное пространство .${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

Если R — область целостности с полем дробей K , то мы можем описать кольцо более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f из K является регулярным в точке P в X, если его можно представить в виде дроби f = a / b , где b не принадлежит P. Заметим, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем точно описать множество элементов из K , которые являются регулярными в каждой точке P в U.${\displaystyle \Гамма (U,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle \Гамма (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Полезно использовать язык теории категорий и заметить, что является функтором . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в является простым идеалом в ). Таким образом, можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств . Более того, для каждого простого гомоморфизм спускается до гомоморфизмов${\displaystyle \operatorname {Спецификация} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

локальных колец. Таким образом, даже определяет контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически, это универсальный такой функтор, и, следовательно, может быть использован для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма . ^{[ требуется цитата ]}${\displaystyle \operatorname {Спецификация} }$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} }$

Функтор устанавливает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждая из этих категорий часто рассматривается как противоположная категория другой.${\displaystyle \operatorname {Спецификация} }$

Продолжая пример, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества , т. е. подмножества K ⁿ (где K — алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули множества многочленов от n переменных . Если A — такое алгебраическое множество, рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K . Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (потому что K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R соответствуют подмногообразиям A ( алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием, если его нельзя записать в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств).

Спектр R , таким образом, состоит из точек A вместе с элементами для всех подмногообразий A. Точки A замкнуты в спектре, в то время как элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , т. е. максимальные идеалы в R , то топология Зарисского, определенная выше, совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в точности алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. е. , вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского.${\displaystyle \operatorname {МаксСпец} (R)}$

Таким образом, можно рассматривать топологическое пространство как «обогащение» топологического пространства A (с топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «отслеживает» соответствующее подмногообразие. Эту точку можно рассматривать как общую точку для подмногообразия. Более того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по сути идентичны. Изучая спектры полиномиальных колец вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить концепции алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и далее, в конечном итоге придя к языку схем .${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (R)}$

• Спектр целых чисел: Аффинная схема является конечным объектом в категории аффинных схем, поскольку является начальным объектом в категории коммутативных колец.${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Аналог теории схем : Аффинная схема . С точки зрения функтора точек , точка может быть отождествлена ​​с морфизмом оценки . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C} }$
• Крест: топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно его изображают как , поскольку единственными четко определенными морфизмами являются оценочные морфизмы, связанные с точками .${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• Простой спектр булева кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой компактное полностью несвязное хаусдорфово пространство (то есть пространство Стоуна ). ^[4]
• ( М. Хохстер ) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т.е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно компактно, квазиразделено и трезво . ^[5]

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.

• Проективное -пространство над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. конструкцию ${\displaystyle n}$ Proj (на самом деле, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное -пространство для не является аффинным, поскольку глобальное сечение равно .${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle k}$
• Аффинная плоскость минус начало координат. ^[6] Внутри различаются открытые аффинные подсхемы . Их объединение — аффинная плоскость с вынесенным началом координат. Глобальные сечения — это пары многочленов на , которые ограничиваются одним и тем же многочленом на , что можно показать как , глобальное сечение . не является аффинным, как в .${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{xy}}$${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$${\displaystyle U}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2020)

Некоторые авторы (в частности, М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, есть понятие конструктивной топологии : задано кольцо A , подмножества формы удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология на называется конструктивной топологией. ^{[7] [8]}${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

В работе Хохстера (1969) рассматривается то, что он называет топологией лоскута на простом спектре. ^{[9] [10] [11]} По определению топология лоскута — это наименьшая топология, в которой множества форм и замкнуты.${\displaystyle V(I)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

Существует относительная версия функтора, называемая global , или relative . Если — схема, то relative обозначается как или . Если из контекста ясно, то относительное Spec может обозначаться как или . Для схемы и квазикогерентного пучка -алгебр существует схема и морфизм, такие что для каждого открытого аффинного , существует изоморфизм , и такой что для открытых аффинных , включение индуцируется отображением ограничения . То есть, как кольцевые гомоморфизмы индуцируют противоположные отображения спектров, отображения ограничений пучка алгебр индуцируют отображения включения спектров, которые составляют Spec пучка .${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$${\displaystyle U\subseteq S}$${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

Глобальный Spec имеет универсальное свойство, аналогичное универсальному свойству для обычного Spec. Точнее, так же, как Spec и глобальный функтор сечений являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого образа для отображения структуры являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных -алгебр и схем над . ^{[ сомнительно – обсудить ]} В формулах,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

где — морфизм схем.${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

Относительная спецификация является правильным инструментом для параметризации семейства прямых через начало координат над Рассмотрим пучок алгебр и пусть будет пучком идеалов Тогда относительная спецификация параметризует желаемое семейство. Фактически, волокно над является прямой через начало координат, содержащей точку Предполагая, что волокно может быть вычислено путем рассмотрения композиции диаграмм обратного протягивания${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

где состав нижних стрелок

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

дает линию, содержащую точку и начало координат. Этот пример можно обобщить для параметризации семейства линий через начало координат , позволяя и${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R , в то время как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно, теория представлений группы является изучением модулей над ее групповой алгеброй .

Связь с теорией представлений становится более ясной, если рассмотреть кольцо многочленов или, без базиса, Как ясно из последней формулировки, кольцо многочленов — это групповая алгебра над векторным пространством , а запись в терминах соответствует выбору базиса для векторного пространства. Тогда идеал I или, что эквивалентно, модуль — это циклическое представление R (циклическое значение, порожденное 1 элементом как R -модуль; это обобщает одномерные представления).${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=K[V].}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R/I,}$

В случае, если поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве, с помощью Nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются дуальным пространством, ковектор задается путем отправки каждого в соответствующий . Таким образом, представление ( K -линейных отображений ) задается набором из n чисел, или, что эквивалентно, ковектором${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle K[V]}$${\displaystyle V^{*},}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{n}\to K}$${\displaystyle K^{n}\to K.}$

Таким образом, точки в n -пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация, соответствуют точно 1-мерным представлениям R , в то время как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые являются приводимыми, что геометрически соответствует объединению, а алгебраически - тому, что они не являются простым идеалом). Немаксимальные идеалы тогда соответствуют бесконечномерным представлениям.${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Если задан линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V , можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом полиномов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).

Далее, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно, алгебраическая структура модуля) фиксирует поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2×2 имеется соответствующий модуль:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

нулевая матрица 2×2 имеет модуль

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

показывая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения , в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2×2 имеет модуль

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

показывая алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Более подробно:

• собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (редуцированным) точкам многообразия с кратностью;
• первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
• диагонализуемый (полупростой) оператор соответствует редуцированному многообразию;
• циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого относительно T охватывает пространство);
• последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .

Спектр может быть обобщен с колец на C*-алгебры в теории операторов , что даёт понятие спектра C*-алгебры . Примечательно, что для хаусдорфова пространства алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции на пространстве, являющиеся аналогами регулярных функций) является коммутативной C*-алгеброй, причём пространство восстанавливается как топологическое пространство из алгебры скаляров, действительно функториально; это содержание теоремы Банаха–Стоуна . Действительно, любая коммутативная C*-алгебра может быть реализована как алгебра скаляров хаусдорфова пространства таким образом, что даёт то же самое соответствие, что и между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры даёт некоммутативную топологию .${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

• Схема (математика)
• Проективная схема
• Спектр матрицы
• Теорема Серра об аффинности
• Этальный спектр
• спектр Циглера
• Первичный спектр
• Двойственность камня ^[12]

• https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum