Полупримитивное кольцо

В алгебре полупримитивное кольцо или полупростое кольцо Джекобсона или J-полупростое кольцо — это кольцо , радикал Джекобсона которого равен нулю . Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо , но простые модули которого все еще предоставляют достаточно информации о кольце. Такие кольца, как кольцо целых чисел, являются полупримитивными, а артиново полупримитивное кольцо — это просто полупростое кольцо . Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец , которые описываются теоремой плотности Джекобсона .

Определение

Кольцо называется полупримитивным или полупростым по Джекобсону, если его радикал Джекобсона является нулевым идеалом .

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой левый модуль . Свойство полупримитивности симметрично слева-справа, и поэтому кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой правый модуль.

Кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением левых примитивных колец.

Коммутативное кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением полей (Lam 1995, стр. 137).

Левое артиново кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно полупросто , (Lam 2001, стр. 54). Такие кольца иногда называют полупростыми артиновыми , (Kelarev 2002, стр. 13).

Примеры

Кольцо целых чисел является полупримитивным, но не полупростым.
Каждое примитивное кольцо является полупримитивным.
Произведение двух полей является полупримитивным, но не примитивным .
Каждое регулярное кольцо фон Неймана является полупримитивным.

Сам Якобсон определил кольцо как «полупростое» тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением простых колец (Якобсон, 1989, стр. 203). Однако это более строгое понятие, поскольку кольцо эндоморфизмов счетно -бесконечномерного векторного пространства является полупримитивным, но не подпрямым произведением простых колец (Лэм, 1995, стр. 42).

Ссылки

Якобсон, Натан (1989), Основы алгебры II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
Лам, Цит-Юэн (1995), Упражнения по классической теории колец , Сборник задач по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94317-6, г-н 1323431
Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
Келарев, Андрей В. (2002), Кольцевые конструкции и приложения , World Scientific, ISBN 978-981-02-4745-4

Эта статья по теме «Абстрактная алгебра» — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.