Завершение кольца

В абстрактной алгебре пополнение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям . Пополнение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов анализа коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и лемма Гензеля применима к ним. В алгебраической геометрии пополнение кольца функций R на пространстве X концентрируется на формальной окрестности точки X : эвристически, это окрестность настолько мала, что все ряды Тейлора с центром в этой точке сходятся. Алгебраическое пополнение строится способом, аналогичным пополнению метрического пространства с помощью последовательностей Коши , и согласуется с ним в случае, когда R имеет метрику, заданную неархимедовым абсолютным значением .

Предположим, что E — абелева группа с убывающей фильтрацией

${\displaystyle E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,}$

подгрупп. Затем определяется завершение (относительно фильтрации) как обратный предел :

${\displaystyle {\widehat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}E)=\left\{\left.({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\;\right|\;a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ для всех }}i\leq j\right\}.\,}$

Это снова абелева группа. Обычно E — аддитивная абелева группа. Если E имеет дополнительную алгебраическую структуру, совместимую с фильтрацией, например, E — фильтрованное кольцо , фильтрованный модуль или фильтрованное векторное пространство , то его завершение — снова объект с той же структурой, которая является полной в топологии, определяемой фильтрацией. Эта конструкция может быть применена как к коммутативным , так и к некоммутативным кольцам . Как и следовало ожидать, когда пересечение равно нулю, это дает полное топологическое кольцо .${\displaystyle F^{i}E}$

В коммутативной алгебре фильтрация на коммутативном кольце R степенями собственного идеала I определяет топологию Крулля (по Вольфгангу Круллю ) или I -адическую топологию на R . Случай максимального идеала особенно важен, например, выделенный максимальный идеал кольца нормирования . Базис открытых окрестностей 0 в R задается степенями I ⁿ , которые вложены друг в друга и образуют убывающую фильтрацию на R :${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle F^{0}R=R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots ,\quad F^{n}R=I^{n}.}$

(Открытые окрестности любого r ∈ R задаются смежными классами r + I ⁿ .) ( I -адическое) пополнение является обратным пределом фактор -колец ,

${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})}$

произносится как «шляпа RI». Ядро канонического отображения π из кольца в его завершение — это пересечение степеней I. Таким образом, π инъективно тогда и только тогда, когда это пересечение сводится к нулевому элементу кольца; по теореме Крулля о пересечении это имеет место для любого коммутативного нётерова кольца , которое является областью целостности или локальным кольцом .

Существует родственная топология на R - модулях , также называемая топологией Крулля или I -адической топологией. Базис открытых окрестностей модуля M задается множествами вида

${\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{for }}x\in M.}$

I -адическое пополнение R -модуля M является обратным пределом частных

${\displaystyle {\widehat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}M).}$

Эта процедура преобразует любой модуль над R в полный топологический модуль над . [это неверно в общем случае! Это так, только если идеал конечно порожден.]${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}}$

• Кольцо целых p -адических чисел получается путем дополнения кольца целых чисел до идеала ( p ).${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Пусть R = K [ x ₁ ,..., x _n ] — кольцо многочленов от n переменных над полем K и — максимальный идеал, порожденный переменными. Тогда пополнение — это кольцо K [[ x ₁ ,..., x _n ]] формальных степенных рядов от n переменных над K .${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}}$

• Для данного нётерова кольца и идеала -адическое пополнение является образом формального кольца степенных рядов, в частности, образом сюръекции ^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}}$

Ядро — это идеал${\displaystyle (x_{1}-f_{1},\ldots ,x_{n}-f_{n}).}$

Дополнения также могут использоваться для анализа локальной структуры особенностей схемы . Например, аффинные схемы, связанные с и узловой кубической плоской кривой, имеют похожие особенности в начале координат при просмотре их графиков (оба выглядят как знак плюс). Обратите внимание, что во втором случае любая окрестность Зарисского начала координат по-прежнему является неприводимой кривой. Если мы используем дополнения, то мы рассматриваем «достаточно малую» окрестность, где узел имеет два компонента. Взяв локализации этих колец вдоль идеала и дополнив, получаем и соответственно, где — формальный квадратный корень из в Более явно, степенной ряд:${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/(xy)}$${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(yu))}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x^{2}(1+x)}$${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]].}$

${\displaystyle u=x{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1- 2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.}$

Поскольку оба кольца заданы пересечением двух идеалов, порожденных однородным многочленом степени 1, мы можем алгебраически видеть, что сингулярности «выглядят» одинаково. Это происходит потому, что такая схема является объединением двух неравных линейных подпространств аффинной плоскости.

• Пополнение нётерова кольца относительно некоторого идеала является нётеровым кольцом. ^[2]
• Пополнение нётерова локального кольца относительно единственного максимального идеала является нётеровым локальным кольцом. ^[3]
• Пополнение является функториальной операцией: непрерывное отображение f :  R  →  S топологических колец порождает отображение их пополнений,$${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {R}}\to {\widehat {S}}.}$$

Более того, если M и N — два модуля над одним и тем же топологическим кольцом R и f :  M  →  N — непрерывное отображение модулей, то f однозначно продолжается до отображения пополнений:

${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {M}}\to {\widehat {N}},}$

где находятся модули${\displaystyle {\widehat {M}},{\widehat {N}}}$${\displaystyle {\widehat {R}}.}$

• Пополнение нётерова кольца R является плоским модулем над R. ^[4 ]
• Пополнение конечно порождённого модуля M над нётеровым кольцом R можно получить путём расширения скаляров :

${\displaystyle {\widehat {M}}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}.}$

Вместе с предыдущим свойством это означает, что функтор пополнения на конечно порождённых R -модулях является точным : он сохраняет короткие точные последовательности . В частности, взятие факторов колец коммутирует с пополнением, что означает, что для любой факторной R -алгебры существует изоморфизм${\displaystyle Р/И}$

${\displaystyle {\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}.}$

• Теорема о структуре Коэна (случай равнохарактеристики). Пусть R — полное локальное нётерово коммутативное кольцо с максимальным идеаломи полем вычетов K. Если R содержит поле, то${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}$

для некоторого n и некоторого идеала I (Эйзенбуд, теорема 7.7).

• Формальная схема
• Проконечное целое число
• Локально компактное поле
• Кольцо Зариски
• Линейная топология
• Квази-несмешанное кольцо