Кольцо когомологий

В математике , в частности в алгебраической топологии , когомологическое кольцо топологического пространства X — это кольцо, образованное когомологическими группами X вместе с кубковым произведением, служащим кольцевым умножением. Здесь под «когомологиями» обычно понимают сингулярные когомологии , но кольцевая структура присутствует и в других теориях, таких как когомологии де Рама . Она также функториальна : для непрерывного отображения пространств получается кольцевой гомоморфизм на кольцах когомологий, который контравариантен.

В частности, если задана последовательность групп когомологий H ^k ( X ; R ) на X с коэффициентами в коммутативном кольце R (обычно R — это Z _n , Z , Q , R или C ), можно определить произведение чашек , которое принимает вид

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

Произведение чашек дает умножение на прямую сумму групп когомологий

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Это умножение превращает H ^• ( X ; R ) в кольцо. Фактически, это естественное кольцо с N - градуировкой , где степенью служит неотрицательное целое число k . Произведение кубков соблюдает эту градуировку.

Кольцо когомологий градуированно-коммутативно в том смысле, что произведение чашек коммутирует с точностью до знака, определяемого градуировкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; мы имеем

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Числовой инвариант, полученный из кольца когомологий, — это cup-length , что означает максимальное число градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, комплексное проективное пространство имеет cup-length, равную его комплексной размерности .

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\альфа ]/(\альфа ^{n+1})}$где .${\displaystyle |\альфа |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$где .${\displaystyle |\альфа |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\альфа ]/(\альфа ^{n+1})}$где .${\displaystyle |\альфа |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$где .${\displaystyle |\альфа |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\альфа ]/(\альфа ^{n+1})}$где .${\displaystyle |\альфа |=4}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$где .${\displaystyle |\альфа |=4}$
• По формуле Кюннета кольцо когомологий mod 2 декартова произведения n копий является кольцом многочленов от n переменных с коэффициентами в .${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• Редуцированное кольцо когомологий сумм клина является прямым произведением их редуцированных колец когомологий.
• Кольцо когомологий подвесок исчезает, за исключением части степени 0.

• Квантовые когомологии

• Новиков, СП (1996). Топология I, Общий обзор . Спрингер-Верлаг. ISBN 7-03-016673-6.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.