Тетраэдрально-октаэдрические соты

Переменные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Семья	Переменные гиперкубические соты Симплектические соты
Индексация [1]	Дж 21,31,51 , А 2 В 9 , Г 1
Символы Шлефли	h{4,3,4} {3 [4] } ht 0,3 {4,3,4} h{4,4}h{∞} ht 0,2 {4,4}h{∞} h{∞}h{∞}h{∞} s{∞}s{∞}s{∞}
Диаграммы Коксетера	= = = =
Клетки	{3,3} {3,4}
Лица	треугольник {3}
Крайняя фигура	[{3,3}.{3,4}] 2 ( прямоугольник )
Вершинная фигура	( кубооктаэдр )
Группа симметрии	Фм 3 м (225)
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$, [4,3 1,1 ]
Двойной	Додекаэдрическая ромбическая додекаэдрическая сотовая ячейка:
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , квазирегулярные соты

Тетраэдрально -октаэдрические соты , чередующиеся кубические соты — это квазирегулярная заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из чередующихся правильных октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.

Другие названия включают полукубические соты , полукубическую ячеистость или тетрагональную дисфеноидальную ячеистость . Джон Хортон Конвей называет эти соты тетрооктаэдриллом , а их двойник — додекаэдриллом .

Р. Бакминстер Фуллер объединяет два слова «октаэдр » и «тетраэдр » в термин «октаэдр» , ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противолежащих тетраэдров.

Он вершинно-транзитивен с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины . Он рёберно-транзитивен с 2 тетраэдрами и 2 октаэдрами, чередующимися на каждом ребре.

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Он является частью бесконечного семейства однородных сот , называемых чередующимися гиперкубическими сотами , образованными как чередование гиперкубических сот и состоящими из граней полугиперкуба и кросс-политопа . Он также является частью другого бесконечного семейства однородных сот, называемых симплектическими сотами .

В этом случае 3-пространства кубические соты чередуются, сводя кубические ячейки к тетраэдрам, а удаленные вершины создают октаэдрические пустоты. Таким образом, это может быть представлено расширенным символом Шлефли h{4,3,4} как содержащим половину вершин кубических сот {4,3,4}.

Существуют похожие соты, называемые спиральными тетраэдрально-октаэдрическими сотами , слои которых повернуты на 60 градусов, так что половина ребер имеет соседние, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры.

Тетраэдрально-октаэдрические соты могут иметь свою симметрию, удвоенную путем размещения тетраэдров на октаэдрических ячейках, создавая неоднородные соты, состоящие из тетраэдров и октаэдров (как треугольные антипризмы). Их вершинная фигура - усеченный триакистетраэдр порядка 3. Эти соты являются двойственными к триакисте-усеченным тетраэдрическим сотам , с триакисте-усеченными тетраэдрическими ячейками.

Для чередующихся кубических сот с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра 1 декартовы координаты вершин равны: (Для всех целых значений: i , j , k, где i + j + k четные )

(и, дж, к)

Существуют две отражающие конструкции и множество чередующихся кубических сотовых конструкций; примеры:

Симметрия	${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$, [4,3 1,1 ] = ½ , [1 + ,4,3,4]${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$, [3 [4] ] = ½ , [1 + ,4,3 1,1 ]${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	[[(4,3,4,2 + )]]	[(4,3,4,2 + )]
Космическая группа	Фм 3 м (225)	Ж 4 3м (216)	Я 4 3м (217)	П 4 3м (215)
Изображение
Типы тетраэдров	1	2	3	4
Диаграмма Коксетера	=	==

Перемежающиеся кубические соты можно разрезать на секции, где из внутренней части октаэдра создаются новые квадратные грани. Каждая секция будет содержать обращенные вверх и вниз квадратные пирамиды и тетраэдры , расположенные на их ребрах. Второе направление среза не требует новых граней и включает чередующиеся тетраэдрические и октаэдрические. Эти соты из пластин являются чешуйчатыми сотами, а не однородными, поскольку имеют неоднородные ячейки.

Альтернативные кубические соты могут быть ортогонально спроецированы в плоскую квадратную мозаику с помощью геометрической операции складывания , которая отображает одну пару зеркал друг в друга. Проекция альтернативных кубических сот создает две смещенные копии квадратной мозаики вершин плоскости:

Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$	${\displaystyle {\тильда {C}}_{2}}$
Диаграмма Коксетера
Изображение
Имя	чередующиеся кубические соты	квадратная мозаика

Расположение ее вершин представляет собой решетку A ₃ или решетку D ₃ . ^{[2] [3]} Эта решетка известна как гранецентрированная кубическая решетка в кристаллографии и также называется кубической плотноупакованной решеткой , поскольку ее вершины являются центрами плотной упаковки с равными сферами, которая достигает максимально возможной средней плотности. Тетраэдрально-октаэдрические соты являются трехмерным случаем симплектических сот . Их ячейка Вороного является ромбическим додекаэдром , двойственной вершинной фигуре кубооктаэдра для тет-октаэдрических сот.

Д⁺
₃Упаковка может быть построена путем объединения двух решеток D ₃ (или A ₃ ). D⁺
_нУпаковка является решеткой только для четных измерений. Число поцелуя равно 2 ² =4, (2 ^n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8). ^[4]

∪

А^*
₃или Д^*
₃решетка (также называемая A⁴
₃или Д⁴
₃) может быть построена путем объединения всех четырех решеток A3 _и идентична расположению вершин двуклиновидных тетраэдрических сот , дуальных сот однородных битусеченных кубических сот : ^[5] Это также объемно-центрированная кубическая сот , объединение двух кубических сот в дуальных положениях.

∪∪∪= двойственное из=∪.

Поцелуйное число D^*
₃решетка равна 8 ^[6] и ее мозаика Вороного представляет собой битусеченные кубические соты ,, содержащий все усеченные октаэдрические ячейки Вороного ,. ^[7]

[4,3,4],, Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных сот, 9 с различной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как тессерактовые соты с ручьями) геометрически идентичны кубическим сотам.

C3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Пм 3 м (221)	4 − :2	[4,3,4]		×1	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Фм 3 м (225)	2 − :2	[1 + ,4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	Половина	7 , 11 , 12 , 13
Я 4 3м (217)	4 о :2	[[(4,3,4,2 + )]]		Половина × 2	(7) ,
Фд 3 м (227)	2 + :2	[[1 + ,4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	Четверть × 2	10 ,
Мне 3 м (229)	8 о :2	[[4,3,4]]		×2	(1) , 8 , 9

[4,3 ^1,1 ],Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных сот, 4 из которых имеют различную геометрию, включая чередующиеся кубические соты.

B3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Фм 3 м (225)	2 − :2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	×1	1 , 2 , 3 , 4
Фм 3 м (225)	2 − :2	<[1 + ,4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	×2	(1) , (3)
Пм 3 м (221)	4 − :2	<[4,3 1,1 ]>		×2	5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11

Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот ^[8], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина : ${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$

А3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Квадратная симметрия	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
Ж 4 3м (216)	1 о :2	а1	[3 [4] ]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$	(Никто)
Фм 3 м (225)	2 − :2	д2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×2 1 ↔${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	1 , 2
Фд 3 м (227)	2 + :2	г2	[[3 [4] ]] или [2 + [3 [4] ]]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×2 2	3
Пм 3 м (221)	4 − :2	д4	<2[3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×4 1 ↔${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	4
Я 3 (204)	8 −о	р8	[4[3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + ,4]]	↔	½ ×8 ↔ ½ ×2${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$ ${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	(*)
Мне 3 м (229)	8 о :2		[4[3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×8 ↔ ×2${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	5

Квазирегулярные полихоры и соты: h{4,p,q}
Космос	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный
Символ Шлефли	ч{4,3,3}	ч{4,3,4}	ч{4,3,5}	ч{4,3,6}	ч{4,4,3}	ч{4,4,4}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{5 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{6 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
Диаграмма Коксетера	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Изображение
Вершинная фигура r{p,3}

Кантик кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	ч 2 {4,3,4}
Диаграммы Коксетера	= =
Клетки	т{3,4} г{4,3} т{3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Коксетера	[4,3 1,1 ], [3 [4] ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$
Группа симметрии	Фм 3 м (225)
Двойной	Ячейка полусплюснутого октаэдра :
Характеристики	вершинно-транзитивный

Кантические кубические соты , кантические кубические ячейки или усеченные полукубические соты — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных октаэдров , кубооктаэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2. Ее вершинная фигура — прямоугольная пирамида .

Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраоктаэдрилом , а их двойную половину — сплющенным октаэдрилом .

Имеет две различные однородные конструкции. Конструкция может быть представлена ​​попеременно окрашенными усеченными тетраэдрами .${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$

Симметрия	[4,3 1,1 ], =<[3 [4] ]>${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	[3 [4] ],${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$
Космическая группа	Фм 3 м (225)	Ж 4 3м (216)
Раскрашивание
Коксетер	=	=
Вершинная фигура

Он связан с кубическими сотами, имеющими форму усеченных ромбов . Ромбокубооктаэдры сводятся к усеченным октаэдрам, а кубы — к усеченным тетраэдрам.

кубический скошенный	Кантик кубический
,, рр{4,3} , р{4,3} , {4,3}	,, т{3,4} , р{4,3} , т{3,3}

Кубические соты Runcic
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	ч 3 {4,3,4}
Диаграммы Коксетера	=
Клетки	рр{4,3} {4,3} {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольный усеченный треугольник
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {B}}_{4}}$, [4,3 1,1 ]
Группа симметрии	Фм 3 м (225)
Двойной	Ячейка четверть куба :
Характеристики	вершинно-транзитивный

Кубические соты рунчика или кубическая ячеистость рунчика — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , кубов и тетраэдров в соотношении 1:1:2. Ее вершинная фигура — треугольный усеченный треугольник с тетраэдром на одном конце, кубом на противоположном конце и тремя ромбокубооктаэдрами вокруг трапециевидных сторон.

Джон Хортон Конвей называет эти соты 3-RCO-триллем , а их двойные четверти — кубиллой .

Двойственная кубическим сотам руническая ячейка называется четвертной кубильей , с диаграммой Коксетера , с гранями в 2 из 4 гиперплоскостей фундаментальной области симметрии , [4,3 ^1,1 ]. ${\displaystyle {\тильда {B}}_{4}}$

Ячейки можно рассматривать как 1/4 рассеченного куба, используя 4 вершины и центр. Четыре ячейки существуют вокруг 6 ребер, и 3 ячейки вокруг 3 ребер.

Она похожа на кубические соты с бороздками , в которых четверть кубов чередуется с тетраэдрами, а половина расширена до ромбокубооктаэдров.

рунцинированный кубический	Рунчич кубический =
{4,3} , {4,3} , {4,3} , {4,3} ,,,	ч{4,3} , рр{4,3} , {4,3} ,,

Эти соты можно разделить на усеченные квадратные мозаичные плоскости, используя восьмиугольные центры ромбокубооктаэдров, создавая квадратные купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Коксетера, и символ s ₃ {2,4,4}, с симметрией обозначения Кокстера [2 ⁺ ,4,4].

.

Кубические соты Runcicantic
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	ч 2,3 {4,3,4}
Диаграммы Коксетера	=
Клетки	тр{4,3} т{4,3} т{3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {B}}_{4}}$, [4,3 1,1 ]
Группа симметрии	Фм 3 м (225)
Двойной	Полупирамидальная клетка:
Характеристики	вершинно-транзитивный

Runcicantic cube honeycomb или runcicantic cube cellulation — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубооктаэдров , усеченных кубов и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2 с зеркальной клиновидной вершиной . Она связана с runcicantellated cube honeycomb .

Джон Хортон Конвей называет эти соты f-tCO-trille , а их двойную половину — pyramidille .

Двойственная к усеченным кубическим сотам структура называется полупирамидиллой , с диаграммой Коксетера Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,3 ^1,1 ] .${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$

Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбического додекаэдра , каждая из которых определяется тремя вершинами и центром куба.

Существует родственный однородный косой апейроэдр с тем же расположением вершин , но без треугольников и квадрата. Его можно рассматривать как усеченные тетраэдры и усеченные кубы, дополненные вместе.

Runcicantic кубический

кубический

Скрученные тетраэдрально-октаэдрические соты
Тип	выпуклые однородные соты
Диаграммы Коксетера
Символы Шлефли	ч{4,3,4}:г ч{6,3}ч{∞} с{3,6}ч{∞} с{3 [3] }ч{∞}
Клетки	{3,3} {3,4}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	треугольный ортобикупол G3.4.3.4
Космическая группа	P6 3 /mmc (194) [3,6,2 + ,∞]
Двойной	трапециевидно-ромбические додекаэдрические соты
Характеристики	вершинно-транзитивный

Скрученные тетраэдрально-октаэдрические соты или скрученные чередующиеся кубические соты представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящую из октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.

Он имеет вершинно-однородную структуру с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины.

Он не является однородным по краям . Все ребра имеют 2 тетраэдра и 2 октаэдра, но некоторые из них чередуются, а некоторые являются парными.

Это можно увидеть в виде отражающих слоев сотового слоя:

Это менее симметричная версия других сот, тетраэдрально-октаэдрических сот, в которых каждое ребро окружено чередующимися тетраэдрами и октаэдрами. Оба можно рассматривать как состоящие из слоев толщиной в одну ячейку, внутри которых два вида ячеек строго чередуются. Поскольку грани на плоскостях, разделяющих эти слои, образуют правильный узор из треугольников , соседние слои можно размещать так, чтобы каждый октаэдр в одном слое встречался с тетраэдром в следующем слое, или так, чтобы каждая ячейка встречалась с ячейкой своего вида (граница слоя, таким образом, становится плоскостью отражения ). Последняя форма называется гиратированной .

Вершинная фигура называется треугольным ортобикуполом , в отличие от тетраэдрально-октаэдрических сот, вершинная фигура которых кубооктаэдр в более низкой симметрии называется треугольным гиробикуполом , поэтому префикс гиро- используется наоборот.

Вершинные фигуры

Соты	Скрученный тет-окт	Рефлексивный тет-окт
Изображение
Имя	треугольный ортобикупол	треугольный гиробикупол
Вершинная фигура
Симметрия	Д 3ч , заказ 12	D 3d , порядок 12 (O h , порядок 48)

Геометрия также может быть построена с помощью операции чередования , примененной к шестиугольным призматическим сотам . Ячейки шестиугольной призмы становятся октаэдрами , а пустоты создают треугольные бипирамиды , которые можно разделить на пары тетраэдров этих сот. Эти соты с бипирамидами называются дитетраэдрально-октаэдрическими сотами . Существует 3 диаграммы Коксетера-Дынкина , которые можно рассматривать как 1, 2 или 3 цвета октаэдров:

Гироудлиненные перемежающиеся кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	ч{4,3,4}:гэ {3,6}ч 1 {∞}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура
Космическая группа	P6 3 /mmc (194) [3,6,2 + ,∞]
Характеристики	вершинно-транзитивный

Гироудлиненные чередующиеся кубические соты или удлинённые треугольные антипризматические ячейки — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трёхмерном пространстве . Она состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.

Он вершинно-транзитивен с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины.

Это одна из 28 выпуклых однородных сот .

Удлиненные чередующиеся кубические соты имеют то же самое расположение ячеек в каждой вершине, но общее расположение отличается. В удлиненной форме каждая призма встречается с тетраэдром на одной из своих треугольных граней и с октаэдром на другой; в гироудлиненной форме призма встречается с тем же видом дельтаэдра на каждом конце.

Удлиненные перемежающиеся кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	ч{4,3,4}:е {3,6}г 1 {∞}
Клетки	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольный купол, соединенный с равнобедренной шестиугольной пирамидой
Группа симметрии	[6,(3,2 + ,∞,2 + )] ?
Характеристики	вершинно-транзитивный

Удлиненные чередующиеся кубические соты или удлинённые треугольные гиропризматические ячейки — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.

Он вершинно-транзитивен с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами, 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины. Каждая призма встречает октаэдр на одном конце и тетраэдр на другом.

Это одна из 28 выпуклых однородных сот .

Он имеет изогнутую форму, называемую гироудлиненными перемежающимися кубическими сотами с одинаковым расположением ячеек в каждой вершине.

• Архитектоническая и катоптрическая мозаика
• Кубические соты
• Пространственная рама

• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, Архитектурные и катоптрические мозаики, стр. 292–298, включает все непризматические формы) 
• Джордж Ольшевский, Однородные паноплоидные тетракомбы , рукопись (2006) (полный список 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
• Бранко Грюнбаум , Однородные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49 - 56.
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
• Кричлоу, Кит (1970). Порядок в пространстве: Книга-источник дизайна . Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] 
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Равномерное заполнение пространства)
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Андреини А. , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
• DMY Sommerville , Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton, 1930. 196 стр. (издание Dover Publications, 1958) Глава X: Правильные многогранники
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98585-9.

На Викискладе есть медиафайлы по теме Тетраэдрально-октаэдрические соты .

• Архитектурный проект, выполненный с использованием тетраэдров и правильных пирамид на основе квадрата. (2003) Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные евклидовы соты x3o3o *b4o - октет - O21».
• Равномерные соты в 3-х пространствах: 11-октет

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\тильда {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Э 2	Равномерная укладка плитки	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
Е 3	Равномерные выпуклые соты	0[4]	δ 4	hδ4	qδ 4
Е 4	Равномерный 4-сотовый	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
Э 5	Равномерный 5-сотовый	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
Е 6	Равномерный 6-сотовый	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
Е 7	Равномерный 7-сотовый	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
Е 8	Равномерный 8-сотовый	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Е 9	Равномерный 9-сотовый	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
Е 10	Равномерный 10-сотовый	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
Э н -1	Равномерный ( n -1)- соты	0 [ н ]	δ н	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21