5-симплексные соты

5-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерный 5-сотовый
Семья	Симплектические соты
Символ Шлефли	{3 [6] } = 0 [6]
Диаграмма Коксетера
5-ти гранные типы	{3 4 } , т 1 {3 4 } т 2 {3 4 }
4-х гранные типы	{3 3 } , т 1 {3 3 }
Типы клеток	{3,3} , т 1 {3,3}
Типы лица	{3}
Вершинная фигура	т 0,4 {3 4 }
Группы Коксетера	${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×2, <[3 [6] ]>
Характеристики	вершинно-транзитивный

В пятимерной евклидовой геометрии 5-симплексные соты или гексатерные соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты или пентакомбы). Каждая вершина делится между 12 5-симплексами , 30 выпрямленными 5-симплексами и 20 бивыпрямленными 5-симплексами . Эти типы граней встречаются в пропорциях 2:2:1 соответственно во всей соте.

Такое расположение вершин называется решеткой A ₅ или решеткой 5-симплекса . 30 вершин стерифицированной 5-симплексной вершинной фигуры представляют 30 корней группы Коксетера. ^[1] Это 5-мерный случай симплексных сот .${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$

А²
₅Решетка представляет собой объединение двух решеток A ₅ :

∪

А³
₅представляет собой объединение трех решеток A ₅ :

∪∪.

А^*
₅решетка (также называемая A⁶
₅) представляет собой объединение шести решеток A ₅ и является двойственным расположением вершин к всеусеченным 5-симплексным сотам , и, следовательно, ячейка Вороного этой решетки является всеусеченным 5-симплексом .

∪∪∪∪∪= двойственное из

Эти соты являются одними из 12 уникальных однородных сот ^[2], построенных группой Коксетера . Расширенная симметрия гексагональной диаграммы группы Коксетера допускает автоморфизмы , которые отображают узлы диаграммы (зеркала) друг на друга. Таким образом, различные 12 сот представляют более высокие симметрии, основанные на симметрии расположения колец в диаграммах:${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$ ${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$

А5 соты
Симметрия шестиугольника	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
а1	[3 [6] ]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$
д2	<[3 [6] ]>		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×2 1	1 ,,,,
стр2	[[3 [6] ]]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×2 2	2 ,
и4	[<[3 [6] ]>]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×2 1 ×2 2	,
д6	<3[3 [6] ]>		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×6 1
р12	[6[3 [6] ]]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$×12	3

5 -симплексные соты можно спроецировать в 3-мерные кубические соты с помощью геометрической операции свертывания , которая отображает две пары зеркал друг в друга, разделяя одно и то же расположение вершин :

${\displaystyle {\тильда {A}}_{5}}$
${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$

Регулярные и однородные соты в 5-мерном пространстве:

• 5-кубовые соты
• 5-демикубовые соты
• Усеченные 5-симплексные соты
• Усеченные 5-симплексные соты

• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Равномерное заполнение пространства)
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\тильда {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Э 2	Равномерная укладка плитки	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
Е 3	Равномерные выпуклые соты	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
Е 4	Равномерный 4-сотовый	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
Э 5	Равномерный 5-сотовый	0[6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
Е 6	Равномерный 6-сотовый	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
Е 7	Равномерный 7-сотовый	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
Е 8	Равномерный 8-сотовый	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Е 9	Равномерный 9-сотовый	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
Е 10	Равномерный 10-сотовый	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
Э н -1	Равномерный ( n -1)- соты	0 [ н ]	δ н	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21