Треугольный купол
Купол с шестиугольным основанием
Треугольный купол
ТипДжонсон
Дж 2 – Дж 3 – Дж 4
Лица4 треугольника
3 квадрата
1 шестиугольник
Края15
Вершины9
Конфигурация вершины 6 × ( 3 × 4 × 6 ) + 3 × ( 3 × 4 × 3 × 4 ) {\displaystyle {\begin{align}&6\times (3\times 4\times 6)\,+\\&3\times (3\times 4\times 3\times 4)\end{align}}}
Группа симметрии С 3 в {\displaystyle C_{3v}}
Характеристикивыпуклый
Сеть

В геометрии треугольный купол — это купол с шестиугольником в основании и треугольником наверху. Если ребра равны по длине, треугольный купол — это тело Джонсона. Его можно рассматривать как половину кубооктаэдра . Треугольный купол можно применять для построения множества многогранников.

Характеристики

Треугольный купол имеет 4 треугольника , 3 квадрата и 1 шестиугольник в качестве своих граней; шестиугольник является основанием, а один из четырех треугольников - вершиной. Если все ребра равны по длине, треугольники и шестиугольник становятся правильными . [1] [2] Двугранный угол между каждым треугольником и шестиугольником составляет приблизительно 70,5°, между каждым квадратом и шестиугольником - 54,7°, а между квадратом и треугольником - 125,3°. [3] Выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными, является телом Джонсона , и треугольный купол входит в их число, перечисляемое как третье тело Джонсона . [2] Дж. 3 {\displaystyle J_{3}}

Учитывая, что это длина ребра треугольного купола. Его площадь поверхности может быть вычислена путем сложения площади четырех равносторонних треугольников, трех квадратов и одного шестиугольника: [1] Его высота и объем : [4] [1] а {\displaystyle а} А {\displaystyle А} А = ( 3 + 5 3 2 ) а 2 ≈ 7.33 а 2 . {\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.} h {\displaystyle h} V {\displaystyle V} h = 6 3 a ≈ 0.82 a , V = ( 5 3 2 ) a 3 ≈ 1.18 a 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}

3D модель треугольного купола

Он имеет ось симметрии, проходящую через центр его вершины и основания, которая симметрична при вращении вокруг нее на одну и две трети угла полного оборота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису шестиугольного основания. Поэтому он имеет пирамидальную симметрию , циклическую группу порядка 6. [3] C 3 v {\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}

Треугольный купол можно найти в конструкции многих многогранников. Примером является кубооктаэдр, в котором треугольный купол можно рассматривать как его полусферу. [5] Конструкция, которая включает присоединение его основания к другому многограннику, известна как аугментация ; присоединение его к призмам или антипризмам известно как удлинение или гироудлинение . [6] [7] Некоторые из других тел Джонсона, построенных таким образом, это удлиненный треугольный купол , гироудлиненный треугольный купол , треугольный ортобикупол , удлиненный треугольный ортобикупол , удлиненный треугольный гиробикупол , гироудлиненный треугольный бикупол , увеличенный усеченный тетраэдр . [8] J 18 {\displaystyle J_{18}} J 22 {\displaystyle J_{22}} J 27 {\displaystyle J_{27}} J 35 {\displaystyle J_{35}} J 36 {\displaystyle J_{36}} J 44 {\displaystyle J_{44}} J 65 {\displaystyle J_{65}}

Треугольный купол также может быть применен при построении усеченного тетраэдра , хотя он оставляет некоторые полости и правильный тетраэдр в качестве его внутренней части. Канди (1956) построил такой многогранник таким же образом, как и ромбический додекаэдр, построенный путем присоединения шести квадратных пирамид наружу, каждая из которых вершинами находится в центре куба . При этом такой усеченный тетраэдр строится путем присоединения четырех треугольных куполов прямоугольник за прямоугольником; те купола, в которых чередующиеся стороны как прямоугольного равнобедренного треугольника, так и прямоугольника имеют ребра в отношении . Усеченный октаэдр может быть построен путем присоединения восьми тех же самых треугольных куполов треугольник за треугольником. [9] 1 : 1 2 2 {\textstyle 1:{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}

Ссылки

  1. ^ abc Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  2. ^ ab Uehara, Ryuhei (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
  3. ^ ab Johnson, Norman W. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
  4. ^ Сапинья, Р. «Площадь и объем тела Джонсона J 3 {\displaystyle J_{3}}». Проблемы и Ecuaciones (на испанском языке). ISSN  2659-9899 . Проверено 8 сентября 2020 г.
  5. ^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 86. ISBN 978-0-521-55432-9.
  6. ^ Демей, Лоренц; Смессарт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний». Симметрия . 9 (10): 204. Bibcode : 2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
  7. ^ Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
  8. ^ Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
  9. ^ Канди, Х. Мартин (1956). «2642. Унитарное построение некоторых многогранников». The Mathematical Gazette . 40 (234): 280–282. doi :10.2307/3609622. JSTOR  3609622.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Triangular_cupola&oldid=1247824100"