Изогональная фигура
В геометрии многогранник (например, многоугольник или полиэдр ) или мозаика является изогональной или вершинно-транзитивной, если все его вершины эквивалентны относительно симметрий фигуры. Это подразумевает, что каждая вершина окружена теми же видами граней в том же или обратном порядке и с теми же углами между соответствующими гранями.
Технически, говорят, что для любых двух вершин существует симметрия многогранника, отображающая первую изометрически на вторую. Другие способы сказать это — то, что группа автоморфизмов многогранника действует транзитивно на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии .
Все вершины конечной n -мерной изогональной фигуры существуют на ( n −1) -сфере . [1]
Термин изогональный долгое время использовался для многогранников. Вершинно-транзитивный — это синоним, заимствованный из современных идей, таких как группы симметрии и теория графов .
Псевдоромбокубооктаэдр , который не является изогональным, демонстрирует, что простое утверждение о том, что «все вершины выглядят одинаково», не является столь ограничительным, как используемое здесь определение, которое включает группу изометрий, сохраняющих многогранник или мозаику.
Изогональные многоугольники и апейрогоны
 |
 |
| Изогональные апейрогоны |
|---|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Изогональные косые апейрогоны |
Все правильные многоугольники , апейрогоны и правильные звездчатые многоугольники являются изогональными . Двойственный многоугольник изогонального многоугольника является изотоксальным многоугольником .
Некоторые четносторонние многоугольники и апейрогоны, у которых чередуются две длины сторон, например, прямоугольник , являются изогональными .
Все плоские изогональные 2 n -угольники имеют диэдральную симметрию (D n , n = 2, 3, ...) с линиями отражения, проходящими через точки середины ребер.
| Д 2 | Д 3 | Д 4 | Д 7 |
|---|---|---|---|
 Изогональные прямоугольники и перекрещивающиеся прямоугольники, имеющие одинаковое расположение вершин |  Изогональная гексаграмма с 6 одинаковыми вершинами и 2 длинами ребер. [2] |  Равноугольный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными линиями отражения |  Изогональный «звездчатый» тетрадекагон с одним типом вершины и двумя типами ребер [3] |
Изогональные многогранники и двумерные мозаики
 |
| Искаженная квадратная мозаика |
 |
| Искаженная усеченная квадратная мозаика |
Изогональный многогранник и 2D-мозаика имеют один вид вершины. Изогональный многогранник со всеми правильными гранями также является однородным многогранником и может быть представлен нотацией конфигурации вершин , упорядочивающей грани вокруг каждой вершины. Геометрически искаженные вариации однородных многогранников и мозаик также могут быть заданы конфигурацией вершин.
| D 3d , порядок 12 | Чт , заказ 24 | О , заказ 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
 Искаженная шестиугольная призма (дитригональная трапециевидная призма) |  Искаженный ромбокубооктаэдр |  Неглубокий усеченный кубооктаэдр |  Гиперусеченный куб |
Изогональные многогранники и двумерные мозаики можно дополнительно классифицировать:
- Правильный , если он также является равногранным (транзитивным по граням) и изотоксальным (транзитивным по ребрам); это означает, что каждая грань является правильным многоугольником одного и того же вида.
- Квазирегулярный , если он также изотоксален (транзитивен по ребрам), но не изоэдральный (транзитивен по граням).
- Полуправильный , если каждая грань является правильным многоугольником, но не является равногранной (транзитивной по граням) или изотоксальной (транзитивной по ребрам). (Определение различается у разных авторов; например, некоторые исключают тела с двугранной симметрией или невыпуклые тела.)
- Равномерный , если каждая грань является правильным многоугольником, т.е. является правильным, квазиправильным или полуправильным.
- Полуоднородным, если его элементы также изогональны.
- Чешуйчатая, если все ребра имеют одинаковую длину.
- Благородно, если оно также изоэдрально (гранно-транзитивно).
Нразмеры: изогональные многогранники и мозаики.
Эти определения можно распространить на многогранники и мозаики более высокой размерности . Все однородные многогранники являются изогональными , например, однородные 4-мерные многогранники и выпуклые однородные соты .
Двойственная фигура изогонального многогранника — это изоэдральная фигура , транзитивная на своих гранях .
к-изогональный ик-единообразные фигуры
Многогранник или мозаика могут быть названы k -изогональными , если их вершины образуют k классов транзитивности. Более строгий термин, k -однородный, определяется как k-изогональная фигура, построенная только из правильных многоугольников . Их можно визуально представить цветами с помощью различных однородных раскрасок .
 Этот усеченный ромбический додекаэдр является 2-изогональным , поскольку содержит два класса транзитивности вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и сплющенных шестиугольников . |  Эта полуправильная мозаика также является 2-изогональной (и 2-однородной ). Эта мозаика сделана из равносторонних треугольников и правильных шестиугольных граней. |  2-изогональная эннеаграмма 9/4 (грань конечной звездчатости икосаэдра ) |
Смотрите также
- Крайне-транзитивный (Изотоксальная фигура)
- Грань-транзитивная (Изоэдральная фигура)
Ссылки
- ^ Грюнбаум, Бранко (1997), «Изогональные призматоиды», Дискретная и вычислительная геометрия , 18 (1): 13–52, doi :10.1007/PL00009307, MR 1453440
- ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, стр. 54-55, вершинная фигура «гексаграмма» h{5/2,5}.
- ^ Более светлая сторона математики: Труды конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории , (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум , Рисунок 1. Параметр t =2,0
- Питер Р. Кромвель, Многогранники , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , стр. 369 Транзитивность
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(стр. 33 k-изогональные мозаики, стр. 65 k-равномерные мозаики )
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Вершинно-транзитивный граф". MathWorld .
- Изогональные калейдоскопические многогранники Владимир Л. Булатов, Физический факультет, Университет штата Орегон, Корваллис, Доклад на Mosaic2000, Открытом симпозиуме тысячелетия по искусству и междисциплинарным вычислениям, 21–24 августа 2000 г., Сиэтл, Вашингтон Модели VRML
- Стивен Датч использует термин k-равномерный для перечисления k-изогональных мозаик
- Список n-однородных мозаик
- Вайсштейн, Эрик В. «Демирегулярные мозаики». MathWorld .(Также используется термин k-равномерный вместо k-изогональный)
