Однородный 10-многогранник
Тип геометрического объекта
Графы трех правильных и связанных с ними однородных многогранников .

10-симплекс
Усеченный 10-симплекс
Выпрямленный 10-симплекс

Кантеллированный 10-симплекс
Runcinated 10-симплекс

Стерилизованный 10-симплекс
Пентеллированный 10-симплекс
Гексагональный 10-симплекс

Гептеллированный 10-симплекс
Октеллированный 10-симплекс
Замкнутый 10-симплекс

10-ортоплекс
Усеченный 10-ортоплекс
Выпрямленный 10-ортоплекс

10-кубовый
Усеченный 10-куб
Ректифицированный 10-кубовый

10-демикуб
Усеченный 10-демикуб

В десятимерной геометрии 10-многогранник — это 10-мерный многогранник , граница которого состоит из граней 9-многогранника , причём ровно две такие грани встречаются на каждом гребне 8-многогранника .

Однородный 10-многогранник — это вершинно-транзитивный многогранник , построенный из однородных граней .

Правильные 10-мерные многогранники

Правильные 10-мерные многогранники можно представить символом Шлефли {p,q,r,s,t,u,v,w,x} с x {p,q,r,s,t,u,v,w} гранями 9-мерного многогранника вокруг каждой вершины .

Существует ровно три таких выпуклых правильных 10-мерных многогранника :

  1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-симплекс
  2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-куб
  3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ортоплекс

Невыпуклых правильных 10-мерных многогранников не существует.

Эйлерова характеристика

Топология любого заданного 10-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [1]

Значение характеристики Эйлера, используемое для характеристики многогранников, не обобщается полезным образом на более высокие измерения и равно нулю для всех 10-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. [1]

Аналогично, понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики поверхностных скручиваний тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. [1]

Однородные 10-многогранники фундаментальных групп Коксетера

Однородные 10-мерные многогранники с отражательной симметрией могут быть получены с помощью этих трех групп Коксетера, представленных перестановками колец диаграмм Коксетера-Дынкина :

#Группа КоксетераДиаграмма Коксетера-Дынкина
1А 10[3 9 ]
2Б 10[4,3 8 ]
3Д 10[3 7,1,1 ]

Выбранные правильные и однородные 10-мерные многогранники из каждого семейства включают:

  1. Симплексная семья: A 10 [3 9 ] -
    • 527 однородных 10-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, включая один правильный:
      1. {3 9 } - 10-симплекс -
  2. Семейство гиперкубов / ортоплексов : B 10 [4,3 8 ] -
    • 1023 однородных 10-многогранника как перестановки колец в групповой диаграмме, включая два правильных:
      1. {4,3 8 } - 10-кубовый или декерактный -
      2. {3 8 ,4} - 10-ортоплекс или декакросс -
      3. h{4,3 8 } - 10-демикуб .
  3. Семейство полугиперкубов D 10 : [3 7,1,1 ] -
    • 767 однородных 10-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
      1. 1 7,1 - 10-демикуб или демидекеракт -
      2. 7 1,1 - 10-ортоплекс -

А10семья

Семейство A 10 имеет симметрию порядка 39 916 800 ( факториал 11 ).

Существует 512+16-1=527 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Коксетера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Ниже показаны 31: все формы с одним и двумя кольцами, а также окончательная всесокращенная форма. Названия сокращений в стиле Боуэрса даны в скобках для перекрестных ссылок.

#ГрафикДиаграмма Кокстера-Дынкина
Символ Шлефли
Название		Количество элементов
9-гранный8-гранный7-гранный6-гранный5-гранный4-х гранныйКлеткиЛицаКраяВершины
1


t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
10-симплекс (ux)

11551653304624623301655511
2


t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Ректифицированный 10-симплекс (ru)

49555
3


t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Двуспрямленный 10-симплекс (bru)

1980165
4


t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Триректифицированный 10-симплекс (tru)

4620330
5


t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квадриректифицированный 10-симплекс (teru)

6930462
6


t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Усеченный 10-симплекс (tu)

550110
7


t 0,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Скошенный 10-симплекс

4455495
8


t 1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Усеченный 10-симплекс

2475495
9


t 0,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Скрученный 10-симплекс

158401320
10


t 1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Двояковыпуклый 10-симплекс

178201980
11


t 2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Три-усеченный 10-симплекс

66001320
12


t 0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Стерилизованный 10-симплекс

323402310
13


t 1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Двуручьевой 10-симплекс

554404620
14


t 2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Трикантеллированный 10-симплекс

415804620
15


t 3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квадритрукзированный 10-симплекс

115502310
16


t 0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Пентеллатный 10-симплекс

415802772
17


t 1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Бистерический 10-симплекс

970206930
18


t 2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Трехлучевой 10-симплекс

1108809240
19


t 3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квадрикантеллированный 10-симплекс

623706930
20


t 4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квинтиусеченный 10-симплекс

138602772
21


t 0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Шестигранный 10-симплекс

346502310
22


t 1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Двупентеллированный 10-симплекс

1039506930
23


t 2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Тристерифицированный 10-симплекс

16170011550
24


t 3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квадриперцинкированный 10-симплекс

13860011550
25


t 0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Гептеллированный 10-симплекс

184801320
26


t 1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Бигексагональный 10-симплекс

693004620
27


t 2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Трехзвездчатый 10-симплекс

1386009240
28


t 0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Октеллированный 10-симплекс

5940495
29


t 1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Бигептеллированный 10-симплекс

277201980
30


t 0,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Замкнутый 10-симплекс

990110
31
t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Всеусеченный 10-симплекс		19958400039916800

Б10семья

Существует 1023 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

Ниже показаны двенадцать случаев: десять однокольцевых ( ректифицированных ) форм и два усечения. Аббревиатуры в стиле Боуэрса даны в скобках для перекрестных ссылок.

#ГрафикДиаграмма Кокстера-Дынкина
Символ Шлефли
Название		Количество элементов
9-гранный8-гранный7-гранный6-гранный5-гранный4-х гранныйКлеткиЛицаКраяВершины
1
t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
10-куб (декер)		201809603360806413440153601152051201024
2
t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
Усеченный 10-куб (tade)		5120010240
3
t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
Ректифицированный 10-кубовый (rade)		460805120
4
t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
Двустворчатый 10-куб (брад)		18432011520
5
t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
Триректифицированный 10-кубовый (торговый)		32256015360
6
t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
Квадриректифицированный 10-куб (тераде)		32256013440
7
t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,4}
Квадриректифицированный 10-ортоплекс (тераке)		2016008064
8
t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4}
Триректифицированный 10-ортоплекс (трак)		806403360
9
t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,4}
Двукратно выпрямленный 10-ортоплекс (тормоз)		20160960
10
t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4}
Выпрямленный 10-ортоплекс (грабли)		2880180
11
t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,4}
Усеченный 10-ортоплекс (взять)		3060360
12
t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,3,4}
10-ортоплекс (ка)		102451201152015360134408064336096018020

Д10семья

Семейство D 10 имеет симметрию порядка 1 857 945 600 (10 факториал × 2 9 ).

Это семейство имеет 3×256−1=767 однородных многогранников Витхоффа, сгенерированных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Коксетера-Дынкина D 10 . Из них 511 (2×256−1) повторяются из семейства B 10 и 256 являются уникальными для этого семейства, 2 из которых перечислены ниже. Названия сокращений в стиле Боуэрса даны в скобках для перекрестных ссылок.

#ГрафикДиаграмма Кокстера-Дынкина
Символ Шлефли
Название		Количество элементов
9-гранный8-гранный7-гранный6-гранный5-гранный4-х гранныйКлеткиЛицаКраяВершины
1
10-демикуб (хеде)		532530024000648001155841424641228806144011520512
2
Усеченный 10-демикуб (thede)		19584023040

Регулярные и однородные соты

Существует четыре фундаментальные аффинные группы Коксетера , которые генерируют регулярные и равномерные замощения в 9-мерном пространстве:

#Группа КоксетераДиаграмма Коксетера-Дынкина
1 А ~ 9 {\displaystyle {\tilde {A}}_{9}} [3 [10] ]
2 Б ~ 9 {\displaystyle {\тильда {B}}_{9}} [4,3 7 ,4]
3 С ~ 9 {\displaystyle {\тильда {C}}_{9}} ч[4,3 7 ,4]
[4,3 6 ,3 1,1 ]
4 Д ~ 9 {\displaystyle {\tilde {D}}_{9}} д[4,3 7 ,4]
[3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]

Регулярные и равномерные мозаики включают в себя:

Регулярные и однородные гиперболические соты

Не существует компактных гиперболических групп Коксетера ранга 10, групп, которые могут генерировать соты со всеми конечными гранями и конечной вершинной фигурой . Однако существуют 3 паракомпактные гиперболические группы Коксетера ранга 9, каждая из которых генерирует однородные соты в 9-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Коксетера.

В ¯ 9 {\displaystyle {\bar {Q}}_{9}} = [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:
 С ¯ 9 {\displaystyle {\bar {S}}_{9}} = [4,3 5 ,3 2,1 ]:
 Э 10 {\displaystyle E_{10}} или = [3 6,2,1 ]: Т ¯ 9 {\displaystyle {\bar {T}}_{9}}

Три соты из этого семейства, созданные с помощью диаграмм Коксетера с конечными кольцами, следующие: Э 10 {\displaystyle E_{10}}

Ссылки

  1. ^ abc Ричесон, Д.; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстон, 2008.
  • Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900
  • А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Verhandelingen из Koninklijke academy van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
  • HSM Коксетер :
    • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Однородные многогранники , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Клитцинг, Ричард. «10D однородные многогранники (поликсена)».
  • Имена многогранников
  • Многогранники различных размерностей, Джонатан Бауэрс
  • Многомерный глоссарий
  • Глоссарий гиперпространства, Джордж Ольшевский.
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
СемьяА нБ нЯ 2 (п) / Д нЕ 6 / Е 7 / Е 8 / Ф 4 / Соль 2Н н
Правильный многоугольникТреугольникКвадратп-гонШестиугольникПентагон
Однородный многогранникТетраэдрОктаэдр • КубДемикубДодекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихоронПентахорон16-ячеечный • ТессерактДемитессеракт24-ячеечный120-ячеечный • 600-ячеечный
Однородный 5-многогранник5-симплекс5-ортоплекс • 5-куб5-демикуб
Однородный 6-многогранник6-симплекс6-ортоплекс • 6-куб6-демикуб1 22 • 2 21
Однородный 7-многогранник7-симплекс7-ортоплекс • 7-куб7-демикуб1 32 • 2 31 • 3 21
Однородный 8-многогранник8-симплекс8-ортоплекс • 8-куб8-демикуб1 42 • 2 41 • 4 21
Однородный 9-многогранник9-симплекс9-ортоплекс • 9-куб9-демикуб
Однородный 10-многогранник10-симплекс10-ортоплекс • 10-куб10-демикуб
Однородный n - многогранникн - симплексn - ортоплекс • n - кубн - демикуб1 к2 • 2 к1 • к 21n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uniform_10-polytope&oldid=1197693133#Regular_and_uniform_honeycombs"