Пятиугольный купол

Пятиугольный купол
Тип	Джонсон Дж 4 – Дж 5 – Дж 6
Лица	5 треугольников 5 квадратов 1 пятиугольник 1 десятиугольник
Края	25
Группа симметрии	${\displaystyle C_{\mathrm {v} }}$
Характеристики	выпуклый , элементарный
Сеть

Грани пятиугольного купола представляют собой пять равносторонних треугольников , пять квадратов , один правильный пятиугольник и один правильный десятиугольник . ^[1] Он обладает свойством выпуклости и правильными многоугольными гранями, благодаря чему он классифицируется как пятое тело Джонсона . ^[2] Этот купол образует два или более правильных многогранника путем разрезания его плоскостью, пример элементарного многогранника . ^[3]

Следующие формулы для радиуса описанной окружности , высоты , площади поверхности и объема могут быть применены, если все грани являются правильными с длиной ребра : ^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle ч}$ ${\displaystyle А}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle а}$$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}a&\approx 0.526a,\\R&={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}a&\approx 2.233a,\\A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}a^{2}&\approx 16.580a^{2},\\V&={\frac {5+4{\sqrt {5}}}{6}}a^{3}&\approx 2.324a^{3}.\end{aligned}}}$$

Он имеет ось симметрии, проходящую через центр как вершины, так и основания, которая симметрична при вращении вокруг нее на одну, две, три и четыре пятых угла полного оборота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису шестиугольного основания. Поэтому он имеет пирамидальную симметрию , циклическую группу порядка десять. ^[3]${\displaystyle C_{5\mathrm {v} }}$

Пятиугольный купол может быть использован для построения многогранника . Конструкция, которая включает присоединение его основания к другому многограннику, известна как аугментация ; присоединение его к призмам или антипризмам известно как удлинение или гироудлинение . ^{[5] [6]} Некоторые тела Джонсона с такими конструкциями: удлиненный пятиугольный купол , гироудлиненный пятиугольный купол , пятиугольный ортобикупол , пятиугольный гиробикупол , пятиугольная ортокуполо-ротонда, пятиугольная гирокуполо-ротонда , удлиненный пятиугольный ортобикупол , удлиненный пятиугольный гиробикупол , удлиненный пятиугольный ортокуполо- ротонда , гироудлиненный пятиугольный бикупол , гироудлиненный пятиугольный куполо-ротонда , наращенный усеченный додекаэдр , парабиоудлиненный усеченный додекаэдр , метабиоудлиненный усеченный додекаэдр , триаугментированный усеченный додекаэдр , гиратный ромбоикосододекаэдр , парабивиратный ромбоикосододекаэдр , метабивиратный ромбоикосододекаэдр и тривиратный ромбоикосододекаэдр . Соответственно, построение из многогранников путем удаления одного или нескольких пятиугольных куполов известно как уменьшение : уменьшенный ромбоикосододекаэдр , парагиратный уменьшенный ромбоикосододекаэдр , метагиратный уменьшенный ромбоикосододекаэдр , бигиратный уменьшенный ромбоикосододекаэдр , парабидиминизироанный ромбоикосододекаэдр , метабидиминизироанный ромбоикосододекаэдр , гиратный бидиминизироанный ромбоикосододекаэдр и тридиминизироанный ромбоикосододекаэдр . ^[1]${\displaystyle J_{20}}$ ${\displaystyle J_{24}}$ ${\displaystyle J_{30}}$ ${\displaystyle J_{31}}$ ${\displaystyle J_{32}}$ ${\displaystyle J_{33}}$ ${\displaystyle J_{38}}$ ${\displaystyle J_{39}}$ ${\displaystyle J_{40}}$ ${\displaystyle J_{46}}$ ${\displaystyle J_{47}}$ ${\displaystyle J_{68}}$ ${\displaystyle J_{69}}$ ${\displaystyle J_{70}}$ ${\displaystyle J_{71}}$ ${\displaystyle J_{72}}$ ${\displaystyle J_{73}}$ ${\displaystyle J_{74}}$ ${\displaystyle J_{75}}$ ${\displaystyle J_{76}}$ ${\displaystyle J_{77}}$ ${\displaystyle J_{78}}$ ${\displaystyle J_{79}}$ ${\displaystyle J_{80}}$ ${\displaystyle J_{81}}$ ${\displaystyle J_{82}}$ ${\displaystyle J_{83}}$

• Вайсштейн, Эрик В. , «Пентагональный купол» («тело Джонсона») на MathWorld .