Площадь поверхности
Мера двумерной поверхности

Сфера радиуса r имеет площадь поверхности 4 πr 2 .

Площадь поверхности (символ A ) твердого тела является мерой общей площади , которую занимает поверхность объекта. [1] Математическое определение площади поверхности при наличии криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т. е. объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых площадь поверхности является суммой площадей его граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , назначается площадь поверхности с использованием их представления в виде параметрических поверхностей . Это определение площади поверхности основано на методах исчисления бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .

Общее определение площади поверхности было предложено Анри Лебегом и Германом Минковским на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , которая изучает различные понятия площади поверхности для нерегулярных объектов любого размера. Важным примером является содержание Минковского поверхности.

Определение

Хотя площади многих простых поверхностей известны с древности, строгое математическое определение площади требует большой осторожности. Это должно обеспечить функцию

С ↦ А ( С ) {\displaystyle S\mapsto A(S)}

которая присваивает положительное действительное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему нескольким естественным требованиям. Наиболее фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого равна сумме площадей частей . Более строго, если поверхность S является объединением конечного числа частей S 1 , …, S r , которые не перекрываются, за исключением своих границ, то

А ( С ) = А ( С 1 ) + ⋯ + А ( С г ) . {\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}

Площади поверхности плоских многоугольных фигур должны соответствовать их геометрически определенной площади . Поскольку площадь поверхности является геометрическим понятием, площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми, и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности для широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в параметрической форме

С Д : г → = г → ( ты , в ) , ( ты , в ) ∈ Д {\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}

с непрерывно дифференцируемой функцией Площадь отдельного куска определяется по формуле г → . {\displaystyle {\vec {r}}.}

А ( С Д ) = ∬ Д | г → ты × г → в | г ты г в . {\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}

Таким образом, площадь S D получается путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости uv . Площадь всей поверхности затем получается путем сложения площадей частей, используя аддитивность площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для различных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графиков z = f ( x , y ) и поверхностей вращения . г → ты × г → в {\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}

Фонарь Шварца с осевыми срезами и радиальными вершинами. Предел площади при и стремлении к бесконечности не сходится. В частности, он не сходится к площади цилиндра. М {\displaystyle М} Н {\displaystyle N} М {\displaystyle М} Н {\displaystyle N}

Одной из тонкостей площади поверхности, по сравнению с длиной дуги кривых, является то, что площадь поверхности не может быть определена просто как предел площадей многогранных форм, аппроксимирующих данную гладкую поверхность. Герман Шварц продемонстрировал , что уже для цилиндра различные выборы аппроксимирующих плоских поверхностей могут приводить к различным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца . [2] [3]

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковским . В то время как для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень нерегулярна или шероховата, то ей вообще может быть невозможно присвоить площадь. Типичным примером является поверхность с шипами, распределенными по всей поверхности плотным образом. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталов . Расширения понятия площади, которые частично выполняют свою функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей, изучаются в геометрической теории меры . Конкретным примером такого расширения является содержание Минковского поверхности.

Общие формулы

Площади поверхности обычных твердых тел
ФормаФормула/УравнениеПеременные
Куб 6 а 2 {\displaystyle 6a^{2}} а = длина стороны
Кубоид 2 ( л б + л час + б час ) {\displaystyle 2\left(фунт+лх+бх\right)} l = длина, b = ширина, h = высота
Треугольная призма б час + л ( п + д + г ) {\displaystyle bh+l\left(p+q+r\right)} b = длина основания треугольника, h = высота треугольника, l = расстояние между треугольными основаниями, p , q , r = стороны треугольника
Все призмы 2 Б + П час {\displaystyle 2B+Ph} B = площадь одного основания, P = периметр одного основания, h = высота
Сфера 4 π г 2 = π г 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}} r = радиус сферы, d = диаметр
полушарие 3 π г 2 {\displaystyle 3\пи г^{2}} r = радиус полусферы
Полусферическая оболочка π ( 3 Р 2 + г 2 ) {\displaystyle \пи \left(3R^{2}+r^{2}\right)} R = внешний радиус полусферы, r = внутренний радиус полусферы
Сферическая луночка 2 г 2 θ {\displaystyle 2r^{2}\тета } r = радиус сферы, θ = двугранный угол
Тор ( 2 π г ) ( 2 π Р ) = 4 π 2 Р г {\displaystyle \left(2\пи r\right)\left(2\пи R\right)=4\пи ^{2}Rr} r = малый радиус (радиус трубки), R = большой радиус (расстояние от центра трубки до центра тора)
Закрытый цилиндр 2 π г 2 + 2 π г час = 2 π г ( г + час ) {\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)} r = радиус круглого основания, h = высота цилиндра
Цилиндрическое кольцо 2 π R h + 2 π r h + 2 ( π R 2 − π r 2 ) = 2 π ( R + r ) ( R − r + h ) {\displaystyle 2\pi Rh+2\pi rh+2(\pi R^{2}-\pi r^{2})=2\pi (R+r)(R-r+h)} R = Внешний радиус

r = Внутренний радиус, h = высота

Капсула 2 π r ( 2 r + h ) {\displaystyle 2\pi r(2r+h)} r = радиус полусфер и цилиндра, h = высота цилиндра
Площадь криволинейной поверхности конуса π r r 2 + h 2 = π r s {\displaystyle \pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs} s = r 2 + h 2 {\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса

Полная площадь поверхности конуса π r ( r + r 2 + h 2 ) = π r ( r + s ) {\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)} s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса
Правильная Пирамида B + P s 2 {\displaystyle B+{\frac {Ps}{2}}} B = площадь основания, P = периметр основания, s = высота наклонной плоскости
Квадратная пирамида b 2 + 2 b s = b 2 + 2 b ( b 2 ) 2 + h 2 {\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}} b = длина основания, s = наклонная высота, h = вертикальная высота
Прямоугольная пирамида l b + l ( b 2 ) 2 + h 2 + b ( l 2 ) 2 + h 2 {\displaystyle lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}} l = длина, b = ширина, h = высота
Тетраэдр 3 a 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}} а = длина стороны
Поверхность вращения 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}}
Параметрическая поверхность ∬ D | r → u × r → v | d A {\displaystyle \iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA} r → {\displaystyle {\vec {r}}} = параметрическое векторное уравнение поверхности,

r → u {\displaystyle {\vec {r}}_{u}} = частная производная по отношению к , = частная производная по отношению к , = теневая область r → {\displaystyle {\vec {r}}} u {\displaystyle u}
r → v {\displaystyle {\vec {r}}_{v}} r → {\displaystyle {\vec {r}}} v {\displaystyle v}
D {\displaystyle D}

Отношение площадей поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиусом r и высотой h .

Приведенные ниже формулы можно использовать для того, чтобы показать, что площадь поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находятся в соотношении 2 : 3 , как следует.

Пусть радиус равен r , а высота равна h ( для сферы она равна 2r ) .

Sphere surface area = 4 π r 2 = ( 2 π r 2 ) × 2 Cylinder surface area = 2 π r ( h + r ) = 2 π r ( 2 r + r ) = ( 2 π r 2 ) × 3 {\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}

Открытие этого соотношения приписывается Архимеду . [4]

В химии

Площадь поверхности частиц разного размера.

Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции . Например, железо в виде тонкого порошка будет гореть , [5] тогда как в виде твердых блоков оно достаточно стабильно для использования в структурах. Для различных применений может быть желательна минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии

Внутренняя мембрана митохондрии имеет большую площадь поверхности из-за складок, что обеспечивает более высокую скорость клеточного дыхания (электронная микрофотография ). [6]

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, таким как регуляция температуры тела и пищеварение . [7] Животные используют свои зубы для измельчения пищи на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для пищеварения. [8] Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивая площадь, доступную для всасывания. [9] У слонов большие уши , что позволяет им регулировать собственную температуру тела. [10] В других случаях животным необходимо минимизировать площадь поверхности; [11] например, люди складывают руки на груди, когда им холодно, чтобы минимизировать потерю тепла.

Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки накладывает верхние ограничения на размер, так как объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальное пространство или в другие клетки. [12] Действительно, представляя клетку как идеализированную сферу радиусом r , объем и площадь поверхности составляют, соответственно, V = (4/3) πr 3 и SA = 4 πr 2 . Результирующее отношение площади поверхности к объему, следовательно, составляет 3/ r . Таким образом, если клетка имеет радиус 1 мкм, отношение SA:V равно 3; тогда как если радиус клетки вместо этого составляет 10 мкм, то отношение SA:V становится равным 0,3. При радиусе клетки 100 отношение SA:V равно 0,03. Таким образом, площадь поверхности круто падает с увеличением объема.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Площадь поверхности». MathWorld .
  2. ^ "Парадокс Шварца" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 года . Получено 21 марта 2017 года .
  3. ^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 . Получено 24 июля 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  4. ^ Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники». Институт математических наук Куранта. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Получено 2 января 2007 года .
  5. ^ Наср, Сомайе; Плакнетт, Кевин П. (20 февраля 2014 г.). «Кинетика восстановления железной руды метаном для химического петлевого сжигания». Энергия и топливо . 28 (2): 1387–1395. doi :10.1021/ef402142q. ISSN  0887-0624.
  6. ^ Помар, Патрик; Вайе, Жак; Кулари, Бенедикт; Шеффер, Жак; Субанье, Винсент; Мюллер, Дэвид М.; Брет, Даниэль; ди Раго, Жан-Поль; Велюр, Жан (1 февраля 2002 г.). «АТФ-синтаза участвует в формировании морфологии митохондриальных крист». Журнал ЭМБО . 21 (3): 221–230. дои : 10.1093/emboj/21.3.221. ПМЦ 125827 . ПМИД  11823415. 
  7. ^ Нарасимхан, Арунн (1 июля 2008 г.). «Почему у слонов большие уши?». Resonance . 13 (7): 638–647. doi :10.1007/s12045-008-0070-5. ISSN  0973-712X.
  8. ^ Фехер, Джозеф (2012), «Рот и пищевод», Количественная физиология человека , Elsevier, стр. 689–700, doi :10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3, ISBN 978-0-12-382163-8, получено 30 марта 2024 г.
  9. ^ "Microvillus | Описание, анатомия и функции | Britannica". www.britannica.com . Получено 30 марта 2024 г. .
  10. ^ Райт, ПГ (1984). «Почему слоны хлопают ушами?». African Zoology . 19 (4): 266–269. ISSN  2224-073X.
  11. ^ Стокс, Джоди М.; Тейлор, Найджел А.С.; Типтон, Майкл Дж.; Гринлиф, Джон Э. (1 мая 2004 г.). «Физиологические реакции человека на воздействие холода». Авиация, космос и экологическая медицина . 75 (5): 444–457. PMID  15152898.
  12. ^ Дивер, Джеймс Р. (1 ноября 1978 г.). «Моделирование пределов размера клетки». The American Biology Teacher . 40 (8): 502–504. doi :10.2307/4446369. ISSN  0002-7685. JSTOR  4446369.
  • Видеоролик о площади поверхности в Thinkwell
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Surface_area&oldid=1246140919"