Мутации симметрии равномерной мозаики

Пример * n 32 мутации симметрии

Сферические мозаики ( n = 3..5)
*332	*432	*532
Мозаика евклидовой плоскости ( n = 6)
*632
Гиперболические плоские мозаики ( n = 7...∞)
*732	*832	... *∞32

В геометрии мутация симметрии — это отображение фундаментальных областей между двумя группами симметрии. ^[1] Они компактно выражаются в орбифолдной нотации . Эти мутации могут происходить от сферических мозаик до евклидовых мозаик и гиперболических мозаик . Гиперболические мозаики также можно разделить на компактные, паракомпактные и расходящиеся случаи.

Однородные мозаики являются простейшим применением этих мутаций, хотя в пределах фундаментальной области можно выразить и более сложные узоры.

В этой статье представлены прогрессивные последовательности однородных мозаик в пределах семейств симметрии.

Орбифолды с одинаковой структурой могут мутировать между различными классами симметрии, в том числе через области кривизны от сферической до евклидовой и гиперболической. Эта таблица показывает классы мутаций. ^[1] Эта таблица не является полной для возможных гиперболических орбифолдов.

Семейство правильных осоэдров · * n 22 мутации симметрии правильных осоэдральных мозаик: nn

Космос	Сферический						Евклидов
Имя плитки	Шестиугольный осоэдр	Дигональный осоэдр	Треугольный осоэдр	Квадратный осоэдр	Пятиугольный осоэдр	...	Апейрогональный осоэдр
Изображение мозаики						...
Символ Шлефли	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	...	{2,∞}
Диаграмма Коксетера						...
Грани и края	1	2	3	4	5	...	∞
Вершины	2	2	2	2	2	...	2
Конфигурация вершины .	2	2.2	2 3	2 4	2 5	...	2 ∞

Семейство правильных двугранников · * n 22 мутации симметрии правильных двугранных мозаик: nn

Космос	Сферический						Евклидов
Имя плитки	Моногональный диэдр	Двугранник двугранный	Треугольный диэдр	Квадратный двугранник	Пятиугольный диэдр	...	Апейрогональный диэдр
Изображение мозаики						...
Символ Шлефли	{1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	...	{∞,2}
Диаграмма Коксетера						...
Лица	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	...	2 {∞}
Ребра и вершины	1	2	3	4	5	...	∞
Конфигурация вершины .	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	...	∞.∞

* n 22 мутации симметрии однородных призм : n .4.4

Космос	Сферический										Евклидов
Плиточный
Конфигурация.	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	... ∞.4.4

* n 22 мутации симметрии антипризменных мозаик: V n .3.3.3

Космос	Сферический							Евклидов
Плиточный
Конфигурация.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	... ∞.3.3.3

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n } в т е
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Парако.	Некомпактный гиперболический
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6и	3 3и

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3} в т е
Сферический				Евклидов	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3и,3}

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик: t{ n ,3} в т е
Симметрия * n 32 [n,3]	Сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]
Усеченные фигуры
Символ	т{2,3}	т{3,3}	т{4,3}	т{5,3}	т{6,3}	т{7,3}	т{8,3}	т{∞,3}	т{12i,3}	т{9i,3}	т{6i,3}
Триакис цифры
Конфигурация.	В3.4.4	В3.6.6	В3.8.8	В3.10.10	В3.12.12	В3.14.14	В3.16.16	V3.∞.∞

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик: n .6.6 в т е
Сим. * н 42 [н,3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Парак.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]
Усеченные фигуры
Конфигурация.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis цифры
Конфигурация.	В2.6.6	В3.6.6	В4.6.6	В5.6.6	В6.6.6	В7.6.6	В8.6.6	В∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Квазирегулярные мозаики: (3. n ) 2 в т е
Сим. *n32 [n,3]	Сферический			Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
	*332 [3,3] Т д	*432 [4,3] О ч	*532 [5,3] I ч	*632 [6,3] стр6м	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]
Фигура
Фигура
Вершина	(3.3) 2	(3.4) 2	(3,5) 2	(3.6) 2	(3,7) 2	(3,8) 2	(3.∞) 2	(3.12i) 2	(3.9i) 2	(3.6i) 2
Шлефли	г{3,3}	г{3,4}	г{3,5}	г{3,6}	г{3,7}	г{3,8}	г{3,∞}	г{3,12i}	г{3,9и}	г{3,6i}
Коксетер
Двойные однородные фигуры
Двойная конф.	В(3.3) 2	В(3,4) 2	В(3,5) 2	В(3,6) 2	В(3,7) 2	В(3,8) 2	V(3.∞) 2

Симметричные мутации двойственных квазирегулярных мозаик: V(3.n) 2
*н32	Сферический			Евклидов	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плиточный
Конф.	В(3.3) 2	В(3,4) 2	В(3,5) 2	В(3,6) 2	В(3,7) 2	В(3,8) 2	V(3.∞) 2

* n 32 мутация симметрии расширенных мозаик: 3.4. n .4 в т е
Симметрия * n 32 [n,3]	Сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]
Фигура
Конфигурация.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4	3.4.12i.4	3.4.9и.4	3.4.6и.4

* n 32 мутация симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4. n .4

Симметрия * n 32 [n,3]	Сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Конфигурация рисунка .	В3.4.2.4	В3.4.3.4	В3.4.4.4	В3.4.5.4	В3.4.6.4	В3.4.7.4	В3.4.8.4	В3.4.∞.4

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.6.2 n в т е
Сим. * н 32 [ н ,3]	Сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]	[3и,3]
Цифры
Конфигурация.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойные
Конфигурация.	В4.6.4	В4.6.6	В4.6.8	В4.6.10	В4.6.12	В4.6.14	В4.6.16	В4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

n 32 мутации симметрии плосконосых мозаик: 3.3.3.3. n в т е
Симметрия n 32	Сферический				Евклидов	Компактный гиперболический		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносые фигуры
Конфигурация.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фигурки гироскопа
Конфигурация.	В3.3.3.3.2	В3.3.3.3.3	В3.3.3.3.4	В3.3.3.3.5	В3.3.3.3.6	В3.3.3.3.7	В3.3.3.3.8	В3.3.3.3.∞

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n } в т е
Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,4} в т е
Сферический		Евклидов	Гиперболические мозаики
2 4	3 4	4 4	5 4	6 4	7 4	8 4	... ∞ 4

* n 42 мутации симметрии квазирегулярных мозаик: (4. n ) 2 в т е
Симметрия *4 n 2 [n,4]	Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный	Некомпактный
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[ н я,4]
Цифры
Конфигурация.	(4.3) 2	(4.4) 2	(4,5) 2	(4.6) 2	(4.7) 2	(4,8) 2	(4.∞)2	(4. н я) 2

* n 42 мутации симметрии квазирегулярных дуальных мозаик: V (4.n) 2
Симметрия *4n2 [n,4]	Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный	Некомпактный
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Конференция по укладке плитки   .	В4.3.4.3	В4.4.4.4	В4.5.4.5	В4.6.4.6	В4.7.4.7	В4.8.4.8	В4.∞.4.∞	В4.∞.4.∞

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n в т е
Симметрия * n 42 [n,4]	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченные фигуры
Конфигурация.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis цифры
Конфигурация.	В4.4.4	В4.6.6	В4.8.8	В4.10.10	В4.12.12	В4.14.14	В4.16.16	В4.∞.∞

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: n .8.8 в т е
Симметрия * n 42 [n,4]	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченные фигуры
Конфигурация.	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
n-kis цифры
Конфигурация.	В2.8.8	В3.8.8	В4.8.8	В5.8.8	В6.8.8	В7.8.8	В8.8.8	В∞.8.8

* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик: n .4.4.4 в т е
Симметрия [n,4], (* n 42)	Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Расширенные цифры
Конфигурация.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Конфигурация ромбических фигур .	В3.4.4.4	В4.4.4.4	В5.4.4.4	В6.4.4.4	В7.4.4.4	В8.4.4.4	В∞.4.4.4

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.8.2 n в т е
Симметрия * n 42 [n,4]	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченная фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Всеусеченные дуалы	В4.8.4	В4.8.6	В4.8.8	В4.8.10	В4.8.12	В4.8.14	В4.8.16	В4.8.∞

4 n 2 мутации симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3. n в т е
Симметрия 4 н 2	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Курносые фигуры
Конфигурация.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Фигурки гироскопа
Конфигурация.	В3.3.4.3.2	В3.3.4.3.3	В3.3.4.3.4	В3.3.4.3.5	В3.3.4.3.6	В3.3.4.3.7	В3.3.4.3.8	В3.3.4.3.∞

* n 52 мутация симметрии усеченных мозаик: 5 ⁿ

Сфера	Гиперболическая плоскость
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	... {5,∞}

* n 62 мутация симметрии правильных мозаик: {6, n } в т е
Сферический	Евклидов	Гиперболические мозаики
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

n 82 мутации симметрии правильных мозаик: 8 ⁿ

• в
• т
• е

Космос	Сферический	Компактный гиперболический						Паракомпактный
Плиточный
Конфигурация.	8.8	8 3	8 4	85	8 6	87	8 8	...8∞

• Джон Х. Конвей, Хайди Берджил, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
• От гиперболического 2-пространства к евклидову 3-пространству: мозаики и узоры через топологию Стивен Хайд