Усеченная тетрагексагональная мозаика

Усеченная тетрагексагональная мозаика
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая однородная мозаика
Конфигурация вершины	4.8.12
Символ Шлефли	тр{6,4} или${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$
Символ Витхоффа	2 6 4 |
Диаграмма Коксетера	или
Группа симметрии	[6,4], (*642)
Двойной	Заказ-4-6 ромбовидная мозаика
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии усеченная тетрагексагональная мозаика — это полуправильная мозаика гиперболической плоскости. На каждой вершине лежит один квадрат , один восьмиугольник и один двенадцатиугольник . Символ Шлефли — tr{6,4}.

Двойственная мозаика называется мозаикой порядка 4-6 кисромбилла , сделанной как полное биссектриса шестиугольной мозаики порядка 4 , здесь треугольники показаны в чередующихся цветах. Эта мозаика представляет фундаментальные треугольные области симметрии [6,4] (*642).

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.8.2n в т е
Симметрия * n 42 [n,4]	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченная фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Всеусеченные дуалы	В4.8.4	В4.8.6	В4.8.8	В4.8.10	В4.8.12	В4.8.14	В4.8.16	В4.8.∞

* nn 2 мутации симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n в т е
Симметрия * nn 2 [n,n]	Сферический		Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Фигура
Конфигурация.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Двойной
Конфигурация.	В4.4.4	В4.6.6	В4.8.8	В4.10.10	В4.12.12	В4.14.14	В4.16.16	В4.∞.∞

Согласно построению Витхоффа, существует четырнадцать гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на обычной шестиугольной мозаике порядка 4.

Рисуя плитки, окрашенные в красный цвет на исходных гранях, в желтый цвет на исходных вершинах и в синий цвет вдоль исходных ребер, получаем 7 форм с полной [6,4] симметрией и 7 с субсимметрией.

Однородные тетрагексагональные мозаики в т е
Симметрия : [6,4], (*642 ) (с [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) индекс 2 подсимметрии) (И [(∞,3,∞,3)] (*3232) индекс 4 подсимметрии)
= = =	=	= = =	=	= = =	=
{6,4}	т{6,4}	г{6,4}	т{4,6}	{4,6}	рр{6,4}	тр{6,4}
Равномерные дуалы
В6 4	В4.12.12	В(4,6) 2	В6.8.8	В4 6	В4.4.4.6	В4.8.12
Чередования
[1 + ,6,4] (*443)	[6 + ,4] (6*2)	[6,1 + ,4] (*3222)	[6,4 + ] (4*3)	[6,4,1 + ] (*662)	[(6,4,2 + )] (2*32)	[6,4] + (642)
=	=	=	=	=	=
ч{6,4}	с{6,4}	час{6,4}	с{4,6}	ч{4,6}	хрр{6,4}	ср{6,4}

Двойственное к мозаике представляет фундаментальные области (*642) орбифолдной симметрии. Из симметрии [6,4] существует 15 малых индексных подгрупп по операторам удаления зеркал и чередования . Зеркала можно удалить, если все их порядки ветвей четные, и разрезает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку инерции половинного порядка, где встретились удаленные зеркала. На этих изображениях уникальные зеркала окрашены в красный, зеленый и синий цвета, а попеременно окрашенные треугольники показывают расположение точек инерции. Подгруппа [6 ⁺ ,4 ⁺ ], (32×) имеет узкие линии, представляющие скользящие отражения. Группа индекса подгруппы -8, [1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (3232) является коммутаторной подгруппой [6,4].

Более крупная подгруппа, построенная как [6,4*], удаляя точки инерции [6,4 ⁺ ], (3*22), индекс 6 становится ( *3333 ), и [6*,4], удаляя точки инерции [6 ⁺ ,4], (2*33), индекс 12 становится ( *222222 ). Наконец, их прямые подгруппы [6,4*] ⁺ , [6*,4] ⁺ , индексы подгрупп 12 и 24 соответственно, могут быть заданы в орбифолдной нотации как (3333) и (222222).

Малые индексные подгруппы [6,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Коксетер	[6,4] ==	[1 + ,6,4] =	[6,4,1 + ] ==	[6,1 + ,4] =	[1 + ,6,4,1 + ] =	[6 + ,4 + ]
Генераторы	{ 0 , 1 , 2 }	{ 1 , 010 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 2 , 121 }	{ 1 , 010 , 212 , 20102 }	{012,021}
Орбифолд	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Коксетер		[6,4 + ]	[6 + ,4]	[(6,4,2 + )]	[6,1 + ,4,1 + ] == ==	[1 + ,6,1 + ,4] == ==
Генераторы		{ 0 ,12}	{01, 2 }	{ 1 ,02}	{ 0 , 101 ,1212}	{0101, 2 , 121 }
Орбифолд		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Коксетер	[6,4] + =	[6,4 + ] + =	[6 + ,4] + =	[(6,4,2 + )] + =	[6 + ,4 + ] + = [1 + ,6,1 + ,4,1 + ] ===
Генераторы	{01,12}	{(01) 2 ,12}	{01,(12) 2 }	{02,(01) 2 ,(12) 2 }	{(01) 2 ,(12) 2 ,2(01) 2 2}
Орбифолд	642	443	662	3222	3232
Радикальные подгруппы
Индекс		8	12	16	24
Диаграмма
Коксетер		[6,4*] =	[6*,4]	[6,4*] + =	[6*,4] +
Орбифолд		*3333	*222222	3333	222222

На Викискладе есть медиафайлы по теме « Однородная мозаика 4-8-12» .

• Мозаики правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик

• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• "Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве". Красота геометрии: Двенадцать эссе . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678.

• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперболическая мозаика". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперболический диск Пуанкаре". MathWorld .
• Галерея гиперболических и сферических мозаик
• KaleidoTile 3: Образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч