Кубические соты

Кубические соты
Тип	Обычные соты
Семья	Гиперкубические соты
Индексация [1]	Дж 11,15 , А 1 В 1 , Г 22
Символ Шлефли	{4,3,4}
Диаграмма Коксетера
Тип ячейки	{4,3}
Тип лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	октаэдр
Пространственная группа Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$, [4,3,4]
Двойной	Самодвойственная ячейка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный , регулярный

Кубические соты или кубическая ячеистость — единственная правильная регулярная заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве, состоящая из кубических ячеек. Она имеет 4 куба вокруг каждого ребра и 8 кубов вокруг каждой вершины. Ее вершинная фигура — правильный октаэдр . Это самодвойственная мозаика с символом Шлефли {4,3,4}. Джон Хортон Конвей назвал эти соты кубиллой .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Он является частью многомерного семейства гиперкубических сот с символами Шлефли вида {4,3,...,3,4}, начиная с квадратной мозаики {4,4} на плоскости.

Это одна из 28 однородных сот, использующих выпуклые однородные многогранные ячейки.

Простые кубические решетки могут быть искажены до более низких симметрий, представленных низшими кристаллическими системами:

Кристаллическая система	Моноклинный Триклинный	Орторомбический	Тетрагональный	Ромбоэдрический	Кубический
Элементарная ячейка	Параллелепипед	Прямоугольный кубоид	Квадратный кубоид	Треугольный трапецоэдр	Куб
Группа точек Подгруппа порядка вращения	[ ], (*) Заказ 2 [ ] + , (1)	[2,2], (*222) Заказать 8 [2,2] + , (222)	[4,2], (*422) Заказ 16 [4,2] + , (422)	[3], (*33) Заказ 6 [3] + , (33)	[4,3], (*432) Заказ 48 [4,3] + , (432)
Диаграмма
Пространственная группа Подгруппа вращения	Пм (6) П1 (1)	Пммм (47) П222 (16)	П4/ммм (123) П422 (89)	Р3м (160) Р3 (146)	Пм 3 м (221) П432 (207)
нотация Коксетера	-	[∞] а ×[∞] б ×[∞] в	[4,4] а ×[∞] с	-	[4,3,4] а
Диаграмма Коксетера	-			-

Существует большое количество однородных окрасок , полученных из различных симметрий. К ним относятся:

Обозначение Коксетера Пространственная группа	Диаграмма Коксетера	Символ Шлефли	Частичные соты	Цвета по буквам
[4,3,4] Пм 3 м (221)	=	{4,3,4}		1: аааа/аааа
[4,3 1,1 ] = [4,3,4,1 + ] Фм 3 м (225)	=	{4,3 1,1 }		2: абба/бааб
[4,3,4] Пм 3 м (221)		т 0,3 {4,3,4}		4: abc/bccd
[[4,3,4]] Пм 3 м (229)		т 0,3 {4,3,4}		4: аббб/ббба
[4,3,4,2,∞]	или	{4,4}×t{∞}		2: аааа/бббб
[4,3,4,2,∞]		т 1 {4,4}×{∞}		2: абба/абба
[∞,2,∞,2,∞]		т{∞}×т{∞}×{∞}		4: абвг/абвг
[∞,2,∞,2,∞] = [4,(3,4) * ]	=	т{∞}×т{∞}×т{∞}		8: abcd/efgh

Кубические соты можно ортогонально спроектировать на евклидову плоскость с различными расположениями симметрии. Самая высокая (шестиугольная) форма симметрии проецируется в треугольную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует квадратную мозаику .

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Он связан с правильным 4-многогранным тессерактом , символом Шлефли {4,3,3}, который существует в 4-пространстве и имеет только 3 куба вокруг каждого ребра. Он также связан с кубическими сотами порядка 5 , символом Шлефли {4,3,5}, гиперболического пространства с 5 кубами вокруг каждого ребра.

Он представляет собой последовательность полихор и сот с октаэдрическими вершинными фигурами .

{p,3,4} обычные соты
Космос	С 3	Е 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он представляет собой последовательность правильных многогранников и сот с кубическими ячейками .

{4,3,p} обычные соты
Космос	С 3	Е 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p,3,p} обычные соты
Космос	С 3	Евклидово E 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞,3,∞}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Кубические соты имеют более низкую симметрию, как и струйчатые кубические соты, с двумя размерами кубов . Конструкция с двойной симметрией может быть построена путем помещения маленького куба в каждый большой куб, в результате чего получится неоднородная сота с кубами , квадратными призмами и прямоугольными трапециевидными призмами (куб с симметрией D _2d ). Ее вершинная фигура — треугольная пирамида с боковыми гранями, дополненными тетраэдрами.

Двойная ячейка

Полученные соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с правильными тетраэдрами , двумя видами тетрагональных дисфеноидов, треугольными пирамидами и клиновидными телами. Их вершинная фигура имеет симметрию C _3v и имеет 26 треугольных граней, 39 ребер и 15 вершин.

[4,3,4],, Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 с различной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как рунцинированные кубические соты) геометрически идентичны кубическим сотам.

C3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Пм 3 м (221)	4 − :2	[4,3,4]		×1	1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Фм 3 м (225)	2 − :2	[1 + ,4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	Половина	7 , 11 , 12 , 13
Я 4 3м (217)	4 о :2	[[(4,3,4,2 + )]]		Половина × 2	(7) ,
Фд 3 м (227)	2 + :2	[[1 + ,4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	Четверть × 2	10 ,
Мне 3 м (229)	8 о :2	[[4,3,4]]		×2	(1), 8 , 9

[4,3 ^1,1 ],Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 из которых имеют различную геометрию, включая чередующиеся кубические соты.

B3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Фм 3 м (225)	2 − :2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	×1	1 , 2 , 3 , 4
Фм 3 м (225)	2 − :2	<[1 + ,4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	×2	(1) , (3)
Пм 3 м (221)	4 − :2	<[4,3 1,1 ]>		×2	5, 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11

Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот ^[2], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина : ${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$

А3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Квадратная симметрия	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
Ж 4 3м (216)	1 о :2	а1	[3 [4] ]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$	(Никто)
Фм 3 м (225)	2 − :2	д2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×2 1 ↔${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	1 , 2
Фд 3 м (227)	2 + :2	г2	[[3 [4] ]] или [2 + [3 [4] ]]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×2 2	3
Пм 3 м (221)	4 − :2	д4	<2[3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×4 1 ↔${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	4
Я 3 (204)	8 −о	р8	[4[3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + ,4]]	↔	½ ×8 ↔ ½ ×2${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$ ${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	(*)
Мне 3 м (229)	8 о :2		[4[3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×8 ↔ ×2${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	5

Ректифицированные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	r{4,3,4} или t 1 {4,3,4} r{4,3 1,1 } 2r{4,3 1,1 } r{3 [4] }
Диаграммы Коксетера	= = ===
Клетки	г{4,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	квадратная призма
Пространственная группа Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$, [4,3,4]
Двойной	Ячейка сплющенного октаэдра :
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный

Выпрямленные кубические соты или выпрямленная кубическая ячеистость — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из октаэдров и кубооктаэдров в соотношении 1:1, с вершинной фигурой в виде квадратной призмы .

Джон Хортон Конвей называет эту сотовую структуру кубооктаэдриллом , а ее двойник — сплющенным октаэдриллом .

Выпрямленные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Существует четыре однородных варианта окраски ячеек этой сотовой структуры с отражательной симметрией, перечисленных по группам Коксетера и названию конструкции Вайтхоффа , а также диаграмма Коксетера ниже.

Симметрия	[4,3,4] ${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	[1 + ,4,3,4] [4,3 1,1 ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	[4,3,4,1 + ] [4,3 1,1 ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	[1 + ,4,3,4,1 + ] [3 [4] ],${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$
Космическая группа	Пм 3 м (221)	Фм 3 м (225)	Фм 3 м (225)	Ж 4 3м (216)
Раскрашивание
Диаграмма Коксетера
Вершинная фигура
Симметрия вершинной фигуры	Д 4ч [4,2] (*224) порядок 16	Д 2ч [2,2] (*222) порядок 8	C 4v [4] (*44) порядок 8	C 2v [2] (*22) порядок 4

Эти соты можно разделить на тригексагональные мозаичные плоскости, используя шестиугольные центры кубооктаэдров, создавая два треугольных купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Коксетера, и символ s ₃ {2,6,3}, с симметрией обозначения Кокстера [2 ⁺ ,6,3].

.

Двойную симметричную конструкцию можно создать, поместив октаэдры на кубооктаэдры, что приведет к неоднородным сотам с двумя типами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы). Вершинная фигура — квадратный бифрустум . Дуал состоит из удлиненных квадратных бипирамид .

Двойная ячейка

Усеченные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	т{4,3,4} или т 0,1 {4,3,4} т{4,3 1,1 }
Диаграммы Коксетера	=
Тип ячейки	т{4,3} {3,4}
Тип лица	треугольник {3} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренная квадратная пирамида
Пространственная группа Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$, [4,3,4]
Двойной	Пирамидальная клетка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты или усеченная кубическая ячеистость — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубов и октаэдров в соотношении 1:1, с вершиной в виде равнобедренной квадратной пирамиды .

Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным кубиллом , а их двойную пирамидиллу .

Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными схемами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Существует вторая равномерная окраска, обусловленная отражательной симметрией групп Коксетера , вторая наблюдается при использовании попеременно окрашенных усеченных кубических ячеек.

Строительство	Двойной кубический чередующийся	Усеченные кубические соты
Группа Коксетера	[4,3 1,1 ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$	[4,3,4], =<[4,3 1,1 ]>${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Космическая группа	Фм 3 м	Пм 3 м
Раскрашивание
Диаграмма Коксетера	=
Вершинная фигура

Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив октаэдры на усеченные кубы, что приведет к неоднородным сотам с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы) и двумя видами тетраэдров (тетрагональные двуклиноиды и двуугольные двуклиноиды). Вершинная фигура — октаэдры квадратного купола.

Вершинная фигура

Двойная ячейка

Усеченные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	2т{4,3,4} т 1,2 {4,3,4}
Диаграмма Коксетера-Дынкина
Клетки	т{3,4}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Крайняя фигура	равнобедренный треугольник {3}
Вершинная фигура	тетрагональный двуклиновидный
Группа симметрии Фибрифолдная нотация Нотация Коксетера	Я 3 м (229) 8 о :2 [[4,3,4]]
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$, [4,3,4]
Двойной	Сплюснутый тетраэдр Двуклиновидная тетраэдрическая ячейка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , ячеечно-транзитивный

Битусечённые кубические соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве, состоящая из усечённых октаэдров (или, что эквивалентно, битусечённых кубов). Она имеет четыре усечённых октаэдра вокруг каждой вершины в тетрагональной двуклиновидной вершинной фигуре . Будучи полностью состоящей из усечённых октаэдров , она является ячейково-транзитивной . Она также является рёберно-транзитивной , с 2 шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и вершинно-транзитивной . Это одна из 28 однородных сот .

Джон Хортон Конвей называет эту сотовую ячейку усеченным октаэдриллом в своем списке Architectonic and catoptric tesslation , а ее двойственный элемент называется сплющенным тетраэдриллом , также называемым двуклиновидной тетраэдрической сотовой ячейкой . Хотя правильный тетраэдр не может сам по себе замостить пространство, этот двойственный элемент имеет идентичные ячейки двуклиновидного тетраэдра с равнобедренными треугольными гранями.

Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными расположениями симметрии. Самая высокая (гексагональная) форма симметрии проецируется в неоднородную ромботригексагональную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные мозаики , которые объединяются вместе как скошенная квадратная мозаика .

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Вершинная фигура для этих сот — двуклиновидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Коксетера . Эти соты имеют четыре однородные конструкции, причем усеченные октаэдрические ячейки имеют различные группы Коксетера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив ячейки в каждой конструкции по-разному.${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$

Пять равномерных раскрасок по клеткам

Космическая группа	Мне 3 м (229)	Пм 3 м (221)	Фм 3 м (225)	Ж 4 3м (216)	Фд 3 м (227)
Фибрифолд	8 о :2	4 − :2	2 − :2	1 о :2	2 + :2
Группа Коксетера	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$×2 [[4,3,4]] =[4[3 [4] ]] =	${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$ [4,3,4] =[2[3 [4] ]] =	${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$ [4,3 1,1 ] =<[3 [4] ]> =	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$ [3 [4] ]	${\displaystyle {\тильда {A}}_{3}}$×2 [[3 [4] ]] =[[3 [4] ]]
Диаграмма Коксетера
усеченные октаэдры	1	1:1 :	2:1:1 ::	1:1:1:1 :::	1:1 :
Вершинная фигура
Симметрия вершинной фигуры	[2 + ,4] (порядок 8)	[2] (порядок 4)	[ ] (заказ 2)	[ ] + (заказ 1)	[2] + (порядок 2)
Изображение раскрашено по ячейке

Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров, чтобы получить неоднородную сотовую структуру с усеченными октаэдрами и шестиугольными призмами (как дитригональными трапециями). Ее вершинная фигура — C _2v -симметричная треугольная бипирамида .

Эти соты затем можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с _{пиритоэдрическими} икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как клиновидные). Их вершинная фигура имеет симметрию C2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 разносторонних треугольников .

Перемежающиеся битусеченные кубические соты
Тип	Выпуклые соты
Символ Шлефли	2с{4,3,4} 2с{4,3 1,1 } ср{3 [4] }
Диаграммы Коксетера	= = =
Клетки	{3,3} с{3,3}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура
Группа Коксетера	[[4,3 + ,4]],${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Двойной	Ячейка сот «Десять алмазов» :
Характеристики	Вершинно-транзитивный , неоднородный

Перемежающиеся битусечённые кубические соты или биснуб кубические соты неоднородны, с конструкцией с наивысшей симметрией, отражающей чередование однородных битусечённых кубических сот. Конструкция с более низкой симметрией включает правильные икосаэдры в паре с золотыми икосаэдрами (с 8 равносторонними треугольниками в паре с 12 золотыми треугольниками). Существует три конструкции из трёх связанных диаграмм Коксетера :,, и. Они имеют симметрию [4,3 ⁺ ,4], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] и [3 ^[4] ] ⁺ соответственно. Первая и последняя симметрия могут быть удвоены как [[4,3 ⁺ ,4]] и [[3 ^[4] ]] ⁺ .

Эта сота представлена ​​атомами бора α-ромбоэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в позициях ГЦК решетки. ^[3]

Пять равномерных окрасок

Космическая группа	Я 3 (204)	Пм 3 (200)	Фм 3 (202)	Фд 3 (203)	Ф23 (196)
Фибрифолд	8 −о	4 −	2 −	2 о+	1 о
Группа Коксетера	[[4,3 + ,4]]	[4,3 + ,4]	[4,(3 1,1 ) + ]	[[3 [4] ]] +	[3 [4] ] +
Диаграмма Коксетера
Заказ	двойной	полный	половина	четверть дабл	четверть

Кубические соты с кантеллированными ячейками
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	рр{4,3,4} или т 0,2 {4,3,4} рр{4,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	=
Клетки	рр{4,3} г{4,3} {}x{4}
Вершинная фигура	клин
Пространственная группа Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Группа Коксетера	[4,3,4],${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Двойной	Четверть сплющенный октаэдр Ячейка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Сотовые кубические соты или сотовые кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , кубооктаэдров и кубов в соотношении 1:1:3 с клиновидной вершиной .

Джон Хортон Конвей называет эти соты 2-RCO-триллем , а их двухчетвертной сплюснутой октаэдрилой .

Она тесно связана со структурой перовскита , показанной здесь с кубической симметрией, с атомами, размещенными в центре ячеек этих сот.

Скошенные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Существует вторая равномерная окраска, обусловленная отражательной симметрией групп Кокстера , вторая наблюдается при использовании попеременно окрашенных ромбокубооктаэдрических ячеек.

Равномерная окраска вершин по ячейкам

Строительство	Усеченные кубические соты	Двойной кубический чередующийся
Группа Коксетера	[4,3,4], =<[4,3 1,1 ]>${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	[4,3 1,1 ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$
Космическая группа	Пм 3 м	Фм 3 м
Диаграмма Коксетера
Раскрашивание
Вершинная фигура
Симметрия вершинной фигуры	[ ] заказ 2	[ ] + заказ 1

Двойную симметричную конструкцию можно сделать, поместив кубооктаэдры на ромбокубооктаэдры, что приведет к выпрямленным кубическим сотам, взяв треугольные антипризменные зазоры как правильные октаэдры , квадратные антипризменные пары и тетрагональные двуклиноиды нулевой высоты как компоненты кубооктаэдра . Другие варианты приводят к кубооктаэдрам , квадратным антипризмам , октаэдрам (как треугольным антиподиям) и тетраэдрам (как тетрагональным двуклиноидам), с вершинной фигурой, топологически эквивалентной кубу с треугольной призмой, прикрепленной к одной из его квадратных граней.

Двойственность кубических сот с кантеллированными углами называется четверть сплющенным октаэдром , катоптрической мозаикой с диаграммой Коксетера. , содержащий грани из двух из четырех гиперплоскостей кубической [4,3,4] фундаментальной области.

Он состоит из неправильных треугольных бипирамидальных ячеек, которые можно рассматривать как 1/12 куба, состоящего из центра куба, двух центров граней и двух вершин.

Усеченные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	tr{4,3,4} или t 0,1,2 {4,3,4} tr{4,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	=
Клетки	тр{4,3} т{3,4} {}x{4}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группа Коксетера	[4,3,4],${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Группа симметрии Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Двойной	Треугольные пирамидальные клетки:
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты или усеченные кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящая из усеченных кубооктаэдров , усеченных октаэдров и кубов в соотношении 1:1:3 с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Джон Хортон Конвей называет эти соты n-tCO-триллем , а их двойную треугольную пирамиду — пирамидой .

Вокруг каждой вершины существует четыре ячейки:

Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными схемами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Ячейки могут быть показаны в двух различных симметриях. Линейная форма диаграммы Коксетера может быть нарисована одним цветом для каждого типа ячеек. Бифуркационная форма диаграммы может быть нарисована двумя типами (цветами) ячеек усеченного кубооктаэдра, чередующихся.

Строительство	усеченный кубический	Всеусеченный альтернативный кубический
Группа Коксетера	[4,3,4], =<[4,3 1,1 ]>${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$	[4,3 1,1 ],${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$
Космическая группа	Пм 3 м (221)	Фм 3 м (225)
Фибрифолд	4 − :2	2 − :2
Раскрашивание
Диаграмма Коксетера
Вершинная фигура
Симметрия вершинной фигуры	[ ] заказ 2	[ ] + заказ 1

Двойственная кубическим сотам квадратная пирамида называется треугольной пирамидой с диаграммой Коксетера ,. Эти соты представляют собой фундаментальные области симметрии.${\displaystyle {\тильда {B}}_{3}}$

Ячейка может быть как 1/24 трансляционного куба с вершинами, расположенными: беря два угла, центр одной грани и центр куба. Цвета и метки ребер указывают, сколько ячеек существует вокруг ребра.

Он связан с косым апейроэдром с конфигурацией вершин 4.4.6.6, с удаленными восьмиугольниками и некоторыми квадратами. Его можно рассматривать как построенный путем увеличения усеченных кубооктаэдрических ячеек или путем увеличения чередующихся усеченных октаэдров и кубов.

Два взгляда

Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив усеченные октаэдры на усеченные кубооктаэдры, что приведет к неоднородным сотам с усеченными октаэдрами , шестиугольными призмами (как дитригональными трапециями), кубами (как квадратными призмами), треугольными призмами (как C _2v -симметричными клиньями) и тетраэдрами (как тетрагональными двуклиноидами). Ее вершинная фигура топологически эквивалентна октаэдру .

Вершинная фигура

Двойная ячейка

Перемежающиеся усеченные кубические соты
Тип	Выпуклые соты
Символ Шлефли	ср{4,3,4} ср{4,3 1,1 }
Диаграммы Коксетера	=
Клетки	с{4,3} с{3,3} {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура
Группа Коксетера	[(4,3) + ,4]
Двойной	Клетка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный , неоднородный

Альтернативные усеченные кубические соты или усеченные кубические соты содержат три типа ячеек: усеченные кубы , икосаэдры (с симметрией T _h ), тетраэдры (как тетрагональные двуклиноиды) и новые тетраэдрические ячейки, созданные в зазорах.
Хотя они не являются однородными, конструктивно их можно представить в виде диаграмм Коксетера или.

Несмотря на неоднородность, существует версия near-miss с двумя длинами ребер, показанными ниже, одна из которых примерно на 4,3% больше другой. Плосконосые кубы в этом случае однородны, но остальные ячейки — нет.

Ортоскануб кубические соты
Тип	Выпуклые соты
Символ Шлефли	2с 0 {4,3,4}
Диаграммы Коксетера
Клетки	с 2 {3,4} с{3,3} {}x{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура
Группа Коксетера	[4 + ,3,4]
Двойной	Клетка:
Характеристики	Вершинно-транзитивный , неоднородный

Плосконосые кубические соты строятся путем уплощения усеченных октаэдров таким образом, что из кубов (квадратных призм) остаются только прямоугольники . Они не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T _h ), икосаэдры (с симметрией T _h ) и треугольные призмы (как клинья с симметрией C _2v ), заполняющие промежутки. ^[4]

Двойную симметричную конструкцию можно создать, поместив икосаэдры на ромбокубооктаэдры, в результате чего получится неоднородная сотовая структура с икосаэдрами , октаэдрами (как треугольными антипризмами), треугольными призмами (как C2v _- симметричными клиньями) и квадратными пирамидами .

Вершинная фигура

Двойная ячейка

усеченные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	т 0,1,3 {4,3,4}
Диаграммы Коксетера
Клетки	рр{4,3} т{4,3} {}x{8} {}x{4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	[4,3,4],${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Пространственная группа Фибрифолдная нотация	Пм 3 м (221) 4 − :2
Двойной	квадратная четверть пирамидальная ячейка
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runciturcated cube honeycomb или runciturcated cube cellulation — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , усеченных кубов , восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1:1:3:3, с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Его название происходит от его диаграммы Коксетера ,с тремя кольцевыми узлами, представляющими собой 3 активных зеркала в конструкции Витхоффа по ее отношению к правильным кубическим сотам.

Джон Хортон Конвей называет эти соты 1-RCO-триллем , а их двойную квадратную четвертную пирамидку .

Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Существуют два связанных однородных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин , рассматриваемых как граничные ячейки из подмножества ячеек. Один имеет треугольники и квадраты, а другой — треугольники, квадраты и восьмиугольники.

Двойственная к усеченным кубическим сотам пирамидка называется квадратной четвертью пирамидиллы с диаграммой Коксетера Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,3,4].${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$

Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/24 куба, использующего один угол, одну точку посередине, два центра граней и центр куба.

Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив ромбокубооктаэдры на усеченные кубы, что приведет к неоднородным сотам с ромбокубооктаэдрами , октаэдрами (как треугольными антипризмами), кубами (как квадратными призмами), двумя видами треугольных призм (оба C _2v -симметричные клинья) и тетраэдрами (как двуугольные двуклиноиды). Ее вершинная фигура топологически эквивалентна дополненной треугольной призме .

Вершинная фигура

Двойная ячейка

Усеченные кубические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {4,3,4}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{4,3} {}x{8}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	филлик дисфеноидный
Группа симметрии Фибрифолдная нотация Нотация Коксетера	Я 3 м (229) 8 о :2 [[4,3,4]]
Группа Коксетера	[4,3,4],${\displaystyle {\тильда {C}}_{3}}$
Двойной	восьмая пирамидальная ячейка
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты или усеченные кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм в соотношении 1:3 с вершинной фигурой в виде филликового двуклиновидного треугольника .

Джон Хортон Конвей называет эти соты b-tCO-триллем , а их двойную восьмую пирамидиллем .

Всеусеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.

Ортогональные проекции

Симметрия	стр.6м (*632)	п4м (*442)	пмм (*2222)
Твердый
Рамка

Ячейки могут быть показаны в двух различных симметриях. Форма диаграммы Коксетера имеет два цвета усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм . Симметрию можно удвоить, связав первую и последнюю ветви диаграммы Коксетера, которую можно показать одним цветом для всех ячеек усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм.