Теория представлений группы Лоренца

Группа Лоренца — это группа Ли симметрий пространства-времени специальной теории относительности . Эта группа может быть реализована как набор матриц , линейных преобразований или унитарных операторов в некотором гильбертовом пространстве ; она имеет множество представлений . ^{[nb 1]} Эта группа важна, поскольку специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя наиболее основательно обоснованными физическими теориями, ^{[nb 2]} и соединение этих двух теорий является изучением бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Они имеют как историческое значение в основной физике, так и связи с более спекулятивными современными теориями.

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общего каркаса теории представлений полупростых алгебр Ли . Конечномерные представления связной компоненты полной группы Лоренца O(3; 1) получаются с использованием соответствия Ли и матричной экспоненты . Полная конечномерная теория представлений универсальной накрывающей группы (а также спиновой группы , двойного накрытия) получена и явно дана в терминах действия на функциональном пространстве в представлениях SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} и s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Представители обращения времени и обращения пространства даны в обращении пространства и обращении времени, завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Описаны общие свойства представлений (m, n). Рассматривается действие на функциональных пространствах, причем в качестве примеров приводится действие на сферических гармониках и P-функциях Римана. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений реализован для основной серии и дополнительной серии . Наконец, дана формула Планшереля для , а представления SO(3, 1) классифицированы и реализованы для алгебр Ли.${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Развитие теории представлений исторически следовало за развитием более общей теории представлений полупростых групп , во многом благодаря Эли Картану и Герману Вейлю , но группа Лоренца также получила особое внимание из-за своей важности в физике. Известными авторами являются физик Э. П. Вигнер и математик Валентин Баргманн с их программой Баргмана–Вигнера , ^[1] одним из выводов которой является, грубо говоря, классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца, что равносильно классификации всех возможных релятивистских волновых уравнений . ^[2] Классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца была установлена ​​докторантом Поля Дирака по теоретической физике, Хариш-Чандрой , позже ставшим математиком, ^{[nb 3]} в 1947 году. Соответствующая классификация для была опубликована независимо Баргманном и Израилем Гельфандом совместно с Марком Наймарком в том же году.${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Многие из представлений, как конечномерных, так и бесконечномерных, важны в теоретической физике. Представления появляются при описании полей в классической теории поля , в первую очередь электромагнитного поля , и частиц в релятивистской квантовой механике , а также частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн и за ее пределами. Теория представлений также обеспечивает теоретическую основу для концепции спина . Теория входит в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени физика является физикой специальной теории относительности. ^[3]

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямое физическое значение. ^{[4] [5]}

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются путем ограничения неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующих на гильбертовых пространствах релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля . Но они также представляют математический интерес и потенциально имеют прямую физическую значимость в других ролях, нежели простое ограничение. ^[6] Существовали спекулятивные теории, ^{[7] [8]} (тензоры и спиноры имеют бесконечные аналоги в экспансорах Дирака и экспинорах Хариш-Чандры), согласующиеся с относительностью и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют схожие ингредиенты, как указано ниже.

В то время как электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, обеспечивающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. В подходе к квантовой теории поля (КТП), называемом вторичным квантованием , отправной точкой является одно или несколько классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля до (вторичного) квантования. ^[9] Хотя вторичное квантование и связанный с ним лагранжев формализм не являются фундаментальным аспектом КТП, ^[10] дело в том, что до сих пор ко всем квантовым теориям поля можно подходить таким образом, включая стандартную модель . ^[11] В этих случаях существуют классические версии уравнений поля, вытекающие из уравнений Эйлера–Лагранжа, полученных из лагранжиана с использованием принципа наименьшего действия . Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными, и их решения (которые будут квалифицироваться как релятивистские волновые функции согласно определению ниже) должны преобразовываться при некотором представлении группы Лоренца.

Действие группы Лоренца в пространстве конфигураций полей (конфигурация поля — это пространственно-временная история конкретного решения, например, электромагнитное поле во всем пространстве за все время является одной конфигурацией поля) напоминает действие в гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что коммутаторные скобки заменены теоретическими скобками Пуассона . ^[9]

Для настоящих целей дается следующее определение: ^[12] Релятивистская волновая функция — это набор n функций ψ ^α в пространстве-времени, которые преобразуются при произвольном собственном преобразовании Лоренца Λ как

$${\displaystyle \psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),}$$

где D [Λ] — n -мерная матрица, представляющая Λ, принадлежащая некоторой прямой сумме представлений ( m , n ) , которые будут введены ниже.

Наиболее полезными релятивистскими квантово -механическими одночастичными теориями (полностью последовательных таких теорий не существует) являются уравнение Клейна–Гордона ^[13] и уравнение Дирака ^[14] в их исходной постановке. Они релятивистски инвариантны, и их решения преобразуются под действием группы Лоренца как скаляры Лоренца ( ( m , n ) = (0, 0) ) и биспиноры ( (0, ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 0) ) соответственно. Электромагнитное поле является релятивистской волновой функцией согласно этому определению, преобразуясь по (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[15]

Бесконечномерные представления могут быть использованы при анализе рассеяния. ^[16]

В квантовой теории поля требование релятивистской инвариантности проявляется, помимо прочего, в том, что S-матрица обязательно должна быть инвариантной относительно Пуанкаре. ^[17] Это подразумевает, что существует одно или несколько бесконечномерных представлений группы Лоренца, действующих в пространстве Фока . ^{[nb 4]} Одним из способов гарантировать существование таких представлений является существование лагранжева описания (с умеренными требованиями, см. ссылку) системы с использованием канонического формализма, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца. ^[18]

Преобразования полевых операторов иллюстрируют взаимодополняющую роль, которую играют конечномерные представления группы Лоренца и бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре, свидетельствуя о глубоком единстве математики и физики. ^[19] Для иллюстрации рассмотрим определение n -компонентного полевого оператора : ^[20] Релятивистский полевой оператор представляет собой набор из n операторнозначных функций в пространстве-времени, которые преобразуются при собственных преобразованиях Пуанкаре (Λ, a ) согласно ^{[21] [22]}

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)}$$

Здесь U [Λ, a] — унитарный оператор, представляющий (Λ, a) в гильбертовом пространстве, на котором определена Ψ , а D — n -мерное представление группы Лоренца. Правило преобразования — вторая аксиома Вайтмана квантовой теории поля.

Рассматривая дифференциальные ограничения, которым должен подчиняться оператор поля, чтобы описать отдельную частицу с определенной массой m и спином s (или спиральностью), можно сделать вывод, что ^{[23] [примечание 5]}

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),}$$

( Х1 )

где a ^† , a интерпретируются как операторы создания и уничтожения соответственно. Оператор создания a ^† преобразуется согласно ^{[23] [24]}

$${\displaystyle a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$$

и аналогично для оператора уничтожения. Суть в том, что оператор поля преобразуется в соответствии с конечномерным неунитарным представлением группы Лоренца, в то время как оператор рождения преобразуется в соответствии с бесконечномерным унитарным представлением группы Пуанкаре, характеризуемой массой и спином ( m , s ) частицы. Связь между ними — волновые функции , также называемые коэффициентными функциями

$${\displaystyle u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}}$$

которые несут как индексы ( x , α ), на которые действуют преобразования Лоренца, так и индексы ( p , σ ), на которые действуют преобразования Пуанкаре. Это можно назвать связью Лоренца–Пуанкаре. ^[25] Чтобы продемонстрировать связь, подвергните обе стороны уравнения (X1) преобразованию Лоренца, что приведет к, например, для u ,

$${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$$

где D — неунитарный представитель группы Лоренца Λ , а D ^{( s )} — унитарный представитель так называемого вращения Вигнера R, связанного с Λ и p , которое вытекает из представления группы Пуанкаре, а s — спин частицы.

Все приведенные выше формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, а также дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с указанной массой, спином и представлением ( m , n ) , в соответствии с которым он должен преобразовываться, ^{[примечание 6]} , а также волновой функции, могут быть выведены только из групповых теоретических соображений, как только будут заданы рамки квантовой механики и специальной теории относительности. ^{[примечание 7]}

В теориях, в которых пространство-время может иметь более D = 4 измерений, обобщенные группы Лоренца O( D − 1; 1) соответствующей размерности занимают место O(3; 1) . ^{[nb 8]}

Требование лоренц-инвариантности приобретает, возможно, наиболее драматичный эффект в теории струн . Классические релятивистские струны можно обрабатывать в лагранжевом каркасе с помощью действия Намбу–Гото . ^[26] Это приводит к релятивистски инвариантной теории в любом пространственно-временном измерении. ^[27] Но, как оказывается, теорию открытых и закрытых бозонных струн (простейшую теорию струн) невозможно квантовать таким образом, чтобы группа Лоренца была представлена ​​в пространстве состояний ( гильбертовом пространстве ), если только размерность пространства-времени не равна 26. ^[28] Соответствующий результат для теории суперструн снова выводится с требованием лоренц-инвариантности, но теперь с суперсимметрией . В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется алгеброй суперсимметрии , которая является Z ₂ -градуированной алгеброй Ли, расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в значительной степени фиксирована требованиями лоренц-инвариантности. В частности, фермионные операторы (степень 1 ) принадлежат к (0, ⁠1/2⁠ ) ​​или ( ⁠1/2⁠ , 0) пространство представления (обычной) алгебры Лоренца Ли. ^[29] Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10. ^[30]

Теория представлений групп в целом и групп Ли в частности является очень богатой темой. Группа Лоренца имеет некоторые свойства, которые делают ее «приятной», и другие, которые делают ее «не очень приятной» в контексте теории представлений; группа проста и , следовательно, полупроста , но не связна , и ни один из ее компонентов не является просто связным . Кроме того, группа Лоренца не является компактной . ^[31]

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать так же, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо развитую теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых , поскольку алгебра Ли обладает свойством полной приводимости . ^{[nb 9] [32]} Но некомпактность группы Лоренца в сочетании с отсутствием простой связности не может рассматриваться во всех аспектах, как в простой структуре, которая применяется к односвязным компактным группам. Некомпактность подразумевает, для связной простой группы Ли, что не существует нетривиальных конечномерных унитарных представлений. ^[33] Отсутствие простой связности приводит к спиновым представлениям группы. ^[34] Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца обращение времени и обращение пространственной ориентации должны рассматриваться отдельно. ^{[35] [36]}

Развитие теории конечномерных представлений группы Лоренца в основном следует за теорией представлений в целом. Теория Ли возникла в 1873 году благодаря Софусу Ли . ^{[37] [38]} К 1888 году классификация простых алгебр Ли была по существу завершена Вильгельмом Киллингом . ^{[39] [40]} В 1913 году теорема о наибольшем весе для представлений простых алгебр Ли, путь, которому мы здесь пойдем, была завершена Эли Картаном . ^{[41] [42]} В период 1935–38 годов Ричард Брауэр в значительной степени отвечал за разработку матриц Вейля-Брауэра, описывающих, как спиновые представления алгебры Ли Лоренца могут быть вложены в алгебры Клиффорда . ^{[43] [44]} Группа Лоренца также исторически получила особое внимание в теории представлений, см. Историю бесконечномерных унитарных представлений ниже, из-за ее исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль ^{[41] [45] [37] [46] [47]} и Хариш-Чандра ^{[48] [49]} и физики Юджин Вигнер ^{[50] [51]} и Валентин Баргманн ^{[52] [53] [54]} внесли существенный вклад как в общую теорию представлений, так и в группу Лоренца в частности. ^[55] Физик Поль Дирак был, возможно, первым, кто явно связал все воедино в практическом применении, имеющем важное непреходящее значение, с помощью уравнения Дирака в 1928 году. ^{[56] [57] [nb 10]}

В этом разделе рассматриваются неприводимые комплексные линейные представления комплексификации алгебры Ли группы Лоренца. Удобный базис для задается тремя генераторами J _i вращений и тремя генераторами K _i усилений . Они явно даны в соглашениях и базисах алгебры Ли.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Алгебра Ли комплексифицируется , а базис заменяется на компоненты ее двух идеалов ^[58]$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.}$$

Компоненты A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ ) и B = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ ) по отдельности удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли и, более того, они коммутируют друг с другом, ^[59]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$$

где i ,  j ,  k — индексы, каждый из которых принимает значения 1, 2, 3 , а ε _ijk — трехмерный символ Леви-Чивиты . Пусть и обозначают комплексную линейную оболочку A и B соответственно .${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$

Имеются изоморфизмы ^{[60] [nb 11]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }&\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}}$$

( А1 )

где находится комплексификация${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .}$

Полезность этих изоморфизмов проистекает из того факта, что все неприводимые представления${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ , и, следовательно, все неприводимые комплексные линейные представления известны. Неприводимое комплексное линейное представление изоморфно одному из представлений с наибольшим весом . Они явно заданы в комплексных линейных представлениях s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Алгебра Ли — это алгебра Ли группы Она содержит компактную подгруппу SU(2) × SU(2) с алгеброй Ли. Последняя является компактной вещественной формой группы Таким образом, из первого утверждения унитаристского приема представления SU(2) × SU(2) находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными представлениями группы${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

В силу компактности теорема Петера–Вейля применима к SU(2) × SU(2) , ^[61] и, следовательно, можно обратиться к ортонормированности неприводимых характеров . Неприводимые унитарные представления SU(2) × SU(2) являются в точности тензорными произведениями неприводимых унитарных представлений SU(2) . ^[62]

При обращении к простой связности применяется второе утверждение унитарного приема. Объекты в следующем списке находятся во взаимно-однозначном соответствии:

• Голоморфные представления${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• Гладкие представления SU(2) × SU(2)
• Действительные линейные представления${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• Комплексные линейные представления${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Тензорные произведения представлений появляются на уровне алгебры Ли как ^{[nb 12]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\in {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}}$$

( А0 )

где Id — оператор тождества. Здесь подразумевается последняя интерпретация, которая следует из (G6) . Представления с наибольшим весом индексируются μ для μ = 0, 1/2, 1, ... . (Наибольшим весом на самом деле является 2 μ = 0, 1, 2, ... , но обозначение здесь адаптировано к обозначению ) Тензорные произведения двух таких комплексных линейных множителей затем образуют неприводимые комплексные линейные представления${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Наконец, -линейные представления действительных форм крайнего левого , и крайнего правого, ^{[nb 13]} в (A1) получаются из -линейных представлений, охарактеризованных в предыдущем абзаце.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Комплексные линейные представления комплексификации , полученные с помощью изоморфизмов в (A1) , находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными линейными представлениями ^[63]. Таким образом, множество всех действительных линейных неприводимых представлений индексируется парой ( μ , ν ) . Комплексные линейные представления, соответствующие точно комплексификации действительных линейных представлений, имеют вид ( μ , 0) , в то время как сопряженные линейные представления имеют вид (0, ν ) . ^[63] Все остальные являются только действительными линейными. Свойства линейности следуют из канонической инъекции, крайней правой в (A1) , в ее комплексификацию. Представления в виде ( ν , ν ) или ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) задаются действительными матрицами (последние не являются неприводимыми). Явно, вещественные линейные ( μ , ν ) -представления являются , где являются комплексными линейными неприводимыми представлениями и их комплексно-сопряженными представлениями. (В математической литературе обычно используется обозначение 0, 1, 2, ... , но здесь выбраны полуцелые числа, чтобы соответствовать обозначению для алгебры Ли.) Здесь тензорное произведение интерпретируется в прежнем смысле (A0) . Эти представления конкретно реализуются ниже.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

С помощью отображенных изоморфизмов в (A1) и знания комплексных линейных неприводимых представлений при решении для J и K получаются все неприводимые представления и, по ограничению, представления . Представления, полученные таким образом, являются действительными линейными (а не комплексными или сопряженно-линейными), поскольку алгебра не замкнута при сопряжении, но они все еще неприводимы. ^[60] Поскольку является полупростым , ^[60] все его представления могут быть построены как прямые суммы неприводимых.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Таким образом, конечномерные неприводимые представления алгебры Лоренца классифицируются упорядоченной парой полуцелых чисел m = μ и n = ν , обычно записываемых как одно из где V — конечномерное векторное пространство. Они, с точностью до преобразования подобия , однозначно задаются ^{[nb 14]}$${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$

где 1 _n — это n -мерная единичная матрица , а — (2 n  + 1) -мерные неприводимые представления также называемых спиновыми матрицами или матрицами углового момента . Они явно задаются как ^[64] где δ обозначает символ Кронекера . В компонентах, с − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n , представления задаются как ^[65]$${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

• Представление (0, 0) является одномерным тривиальным представлением и поддерживается релятивистскими скалярными теориями поля .
• Фермионные генераторы суперсимметрии преобразуются под действием одного из (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​или ( ⁠1/2⁠ , 0) представления (спиноры Вейля). ^[29]
• Четырехимпульс частицы (безмассовой или массивной ) преобразуется под действием ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2⁠ ) ​​представление, четырехвектор.
• Физическим примером (1,1) бесследового симметричного тензорного поля является бесследовая ^{[nb 15]} часть тензора энергии-импульса T ^μν . ^{[66] [nb 16]}

Поскольку для любого неприводимого представления, для которого m ≠ n, необходимо оперировать полем комплексных чисел , прямая сумма представлений ( m ,  n ) и ( n ,  m ) имеет особое значение для физики, поскольку позволяет использовать линейные операторы над действительными числами .

• ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​— биспинорное представление. См. также спинор Дирака и спиноры и биспиноры Вейля ниже.
• (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) — представление поля Рариты–Швингера .
• ( ⁠3/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠3/2⁠ ) ​​будет симметрией гипотетического гравитино . ^{[nb 17]} Его можно получить из (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) представление.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) — это представление инвариантного по четности 2-формного поля (также известного как форма кривизны ). Тензор электромагнитного поля преобразуется в соответствии с этим представлением.

Подход в этом разделе основан на теоремах, которые, в свою очередь, основаны на фундаментальном соответствии Ли . ^[67] Соответствие Ли по сути является словарем между связанными группами Ли и алгебрами Ли. ^[68] Связь между ними — это экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли, обозначаемое${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}$

Если для некоторого векторного пространства V есть представление, то представление Π связной компоненты G определяется как${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}}$$

( Г2 )

Это определение применимо независимо от того, является ли полученное представление проективным или нет.

С практической точки зрения важно, можно ли первую формулу в (G2) использовать для всех элементов группы . Она справедлива для всех , однако в общем случае, например для , не все g ∈ G находятся в образе exp .${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Но сюръективно . Один из способов показать это — использовать изоморфизм, последний из которых является группой Мёбиуса . Это фактор (см. связанную статью). Фактор-карта обозначается как Карта находится на. ^[69] Применяем (Ли) с π, являющимся дифференциалом p в единице. Тогда${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

Так как левая часть сюръективна (как exp , так и p ), правая часть сюръективна и, следовательно, сюръективна. ^[70] Наконец, повторим аргумент еще раз, но теперь с известным изоморфизмом между SO(3; 1) ⁺ и найдем, что exp является сюръективным для связной компоненты группы Лоренца.${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$

Группа Лоренца является двусвязной , т.е. π ₁ (SO(3; 1)) — это группа, элементами которой являются два класса эквивалентности циклов.

Поскольку π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли дадут проективные представления . ^{[73] [nb 18]} Как только станет известно, является ли представление проективным, формула (G2) применяется ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, — с пониманием того, что представитель элемента группы будет зависеть от того, какой элемент в алгебре Ли ( X в (G2) ) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца ( m , n ) -представление проективно, когда m + n — полуцелое число. См. § Спиноры.

Для проективного представления Π группы SO(3; 1) ⁺ справедливо следующее ^[72]:

$${\displaystyle \left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right]^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),}$$

( Г5 )

поскольку любая петля в SO(3; 1) ^{+ ,} пройденная дважды, из-за двойной связности стягивается в точку, так что ее гомотопический класс является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что Π является двузначной функцией. Невозможно последовательно выбрать знак, чтобы получить непрерывное представление всего SO(3; 1) ⁺ , но это возможно локально вокруг любой точки. ^[33]

Рассмотрим как действительную алгебру Ли с базисом${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$$

где сигмы — матрицы Паули . Из соотношений

$${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}$$

( J1 )

получается

$${\displaystyle [j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},}$$

( J2 )

которые в точности соответствуют форме 3 -мерной версии коммутационных соотношений для (см. соглашения и базисы алгебры Ли ниже). Таким образом, отображение J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _i , расширенное по линейности, является изоморфизмом. Поскольку является односвязным, оно является универсальной накрывающей группой SO (3; 1) ⁺ .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Подробнее о покрытиях групп в целом и покрытиях группы Лоренца в частности${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Геометрический вид

Пусть p _g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 — путь из 1 ∈ SO(3; 1) ⁺ в g ∈ SO(3; 1) ⁺ , обозначим его гомотопический класс через [ p _g ] и пусть π _g — множество всех таких гомотопических классов. Определим множество

$${\displaystyle G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g}\}}$$

( С1 )

и наделить его операцией умножения

$${\displaystyle (g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),}$$

( С2 )

где — путь умножения и :${\displaystyle p_{12}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

$${\displaystyle p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$$

С этим умножением G становится группой, изоморфной ^[74] универсальной покрывающей группе SO(3; 1) ⁺ . Поскольку каждое π _g имеет два элемента, по приведенной выше конструкции существует покрывающее отображение 2:1 p  : G → SO(3; 1) ⁺ . Согласно теории покрывающих групп , алгебры Ли и группы G все изоморфны. Покрывающее отображение p  : G → SO(3; 1) ⁺ просто задается как p ( g , [ p _g ]) = g .${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебраический взгляд

Для алгебраического представления универсальной накрывающей группы, пусть действует на множество всех эрмитовых матриц 2 × 2 с помощью операции ^[72]${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dagger }XA\end{cases}}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$$

( С3 )

Действие на линейно. Элемент может быть записан в виде${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb {R} .}$$

( С4 )

Отображение P является гомоморфизмом группы в Таким образом, является 4-мерным представлением . Его ядро ​​должно, в частности, переводить единичную матрицу в себя, A ^† IA = A ^† A = I и, следовательно, A ^† = A ⁻¹ . Таким образом, AX = XA для A в ядре, поэтому, по лемме Шура , ^{[nb 19]} A является кратным единицы, которая должна быть ± I , поскольку det A = 1 . ^[75] Пространство отображается в пространство Минковского M ⁴ , посредством${\displaystyle {\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).}$${\displaystyle \mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

$${\displaystyle X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.}$$

( С5 )

Действие P ( A ) на сохраняет детерминанты. Индуцированное представление p на посредством вышеуказанного изоморфизма, заданное формулой${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

$${\displaystyle \mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dagger }}}}$$

( С6 )

сохраняет внутренний продукт Лоренца, поскольку$${\displaystyle -\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.}$$

Это означает, что p ( A ) принадлежит полной группе Лоренца SO(3; 1) . По основной теореме связности , поскольку связно, его образ при p в SO(3; 1) связен и, следовательно, содержится в SO(3; 1) ⁺ .${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Можно показать, что отображение Ли является изоморфизмом алгебр Ли: ^{[nb 20]} Отображение P также является изоморфизмом алгебры Ли. ^{[nb 21]}${\displaystyle \mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Таким образом , поскольку она односвязна, она является универсальной накрывающей группой группы SO(3; 1) ⁺ , изоморфной группе G, указанной выше.${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Экспоненциальное отображение не является на. ^[76] Матрица${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}}$$

( С6 )

есть , но нет такого, что q = exp( Q ) . ^{[nb 22]}${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

В общем случае, если g — элемент связной группы Ли G с алгеброй Ли, то, по (Lie) ,${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

$${\displaystyle g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g}}.}$$

( С7 )

Матрицу q можно записать

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(-X)\exp(i\pi H)\\{}={}&\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\{}={}&q.\end{aligned}}}$$

( С8 )

Комплексные линейные представления и получить проще, чем представления. Их можно (и обычно так и бывает) записать с нуля. Голоморфные групповые представления (то есть соответствующее представление алгебры Ли является комплексно-линейным) связаны с комплексными линейными представлениями алгебры Ли возведением в степень. Действительные линейные представления — это в точности ( μ , ν ) -представления. Их также можно возвести в степень. ( μ , 0) -представления являются комплексно-линейными и являются (изоморфными) представлениями с наивысшим весом. Они обычно индексируются только одним целым числом (но здесь используются полуцелые числа).${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Математическое соглашение используется в этом разделе для удобства. Элементы алгебры Ли отличаются на фактор i , и в экспоненциальном отображении нет фактора i по сравнению с физическим соглашением, используемым в другом месте. Пусть базис будет ^[77]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$$

( С1 )

Такой выбор базиса и обозначений является стандартным в математической литературе.

Неприводимые голоморфные ( n + 1) -мерные представления могут быть реализованы на пространстве однородных многочленов степени n от 2 переменных ^{[78] [79],} элементами которого являются${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

Действие задается формулой ^{[80] [81]}${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle (\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.}$$

( С2 )

Соответствующее -действие, используя (G6) и определение выше, для базисных элементов ^[82]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

$${\displaystyle \phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.}$$

( С5 )

При выборе базиса для эти представления становятся матричными алгебрами Ли.${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$

( μ , ν ) -представления реализуются на пространстве многочленов в , однородных степени μ в и однородных степени ν в ^[79]. Представления задаются формулами ^[83]${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$

$${\displaystyle (\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.}$$

( С6 )

Используя (G6) снова, обнаруживаем, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2}}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right)\end{aligned}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).}$$

( С7 )

В частности, для базовых элементов,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}}$$

( С8 )

Представления ( m ,  n ) , определенные выше с помощью (A1) (как ограничения на вещественную форму ) тензорных произведений неприводимых комплексных линейных представлений π _{m = μ} и π _{n = ν,} являются неприводимыми, и они являются единственными неприводимыми представлениями. ^[61]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

• Неприводимость следует из унитарного трюка ^[84] и того, что представление Π группы SU(2) × SU(2) является неприводимым тогда и только тогда, когда Π = Π _⊗ Π _ν , ^{[nb 23],} где Π _µ , Π _ν неприводимы. представления SU(2) .
• Единственность следует из того, что Π _m являются единственными неприводимыми представлениями SU(2) , что является одним из выводов теоремы о наибольшем весе. ^[85]

Представления ( m ,  n ) являются (2 m  + 1)(2 n  + 1) -мерными. ^[86] Это следует из подсчета размерностей в любой конкретной реализации, такой как данная в представлениях SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} и s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Для общей алгебры Ли применяется формула размерности Вейля ^[87] , где R ⁺ - множество положительных корней, ρ - наибольший вес, а δ - половина суммы положительных корней. Скалярное произведение - это произведение алгебры Ли, инвариантное относительно действия группы Вейля на подалгебру Картана . Корни (на самом деле элементы ) посредством этого внутреннего произведения отождествляются с элементами Для формулы, сводится к dim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 , где необходимо учитывать текущую запись . Наибольший вес равен 2 μ . ^[88] Принимая тензорные произведения, получаем следующий результат.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$