Оператор тензора

В чистой и прикладной математике , квантовой механике и компьютерной графике тензорный оператор обобщает понятие операторов , которые являются скалярами и векторами . Особый класс из них — сферические тензорные операторы , которые применяют понятие сферического базиса и сферических гармоник . Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферическими гармоническими функциями. Координатно-свободное обобщение тензорного оператора известно как оператор представления . ^[1]

В квантовой механике физические наблюдаемые величины, которые являются скалярами, векторами и тензорами, должны быть представлены скалярными, векторными и тензорными операторами соответственно. Является ли что-либо скаляром, вектором или тензором, зависит от того, как оно рассматривается двумя наблюдателями, чьи системы координат связаны друг с другом вращением. В качестве альтернативы можно спросить, как для одного наблюдателя преобразуется физическая величина, если состояние системы поворачивается. Рассмотрим, например, систему, состоящую из молекулы массой , движущейся с определенным центром масс импульса, , в направлении. Если мы повернем систему вокруг оси , импульс изменится на , что находится в направлении. Кинетическая энергия центра масс молекулы, однако, останется неизменной при . Кинетическая энергия является скаляром, а импульс является вектором, и эти две величины должны быть представлены скалярным и векторным операторами соответственно. Под последним в частности мы подразумеваем оператор, ожидаемые значения которого в исходном и повернутом состояниях равны и . С другой стороны, кинетическая энергия должна быть представлена ​​скалярным оператором, ожидаемое значение которого должно быть одинаковым в исходном и повернутом состояниях.${\displaystyle М}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 90^{\circ}}$${\displaystyle у}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{2}/2M}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$

Аналогично, тензорные величины должны быть представлены тензорными операторами. Примером тензорной величины (второго ранга) является электрический квадрупольный момент указанной выше молекулы. Аналогично, октупольный и гексадекапольный моменты будут тензорами третьего и четвертого ранга соответственно.

Другие примеры скалярных операторов — оператор полной энергии (чаще называемый гамильтонианом ), потенциальная энергия и энергия диполь-дипольного взаимодействия двух атомов. Примерами векторных операторов являются импульс, положение, орбитальный угловой момент, и спиновый угловой момент, . (Мелкий шрифт: Угловой момент является вектором, если речь идет о вращениях, но в отличие от положения или импульса он не меняет знак при инверсии пространства, и когда требуется предоставить эту информацию, говорят, что он является псевдовектором.)${\displaystyle {\mathbf {L} }}$${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

Скалярные, векторные и тензорные операторы также могут быть образованы произведениями операторов. Например, скалярное произведение двух векторных операторов и является скалярным оператором, который играет важную роль в обсуждениях спин-орбитального взаимодействия . Аналогично, тензор квадрупольного момента нашей молекулы-примера имеет девять компонентов${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$${\displaystyle {\mathbf {L} }}$${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha,i}r_{\alpha,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _ {ij}\вправо).}$$Здесь индексы и могут независимо принимать значения 1, 2 и 3 (или , , и ), соответствующие трем декартовым осям, индекс пробегает все частицы (электроны и ядра) в молекуле, является зарядом частицы , а является -й компонентой положения этой частицы. Каждый член в сумме является тензорным оператором. В частности, девять произведений вместе образуют тензор второго ранга, образованный взятием внешнего произведения векторного оператора на себя.${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle q_{\альфа}}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle r_{\альфа ,я}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle r_{\альфа ,i}r_{\альфа ,j}}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\альфа }}$

Оператор вращения вокруг единичного вектора n (определяющего ось вращения) через угол θ равен

$${\displaystyle U[R(\theta , {\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(- {\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf { n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

где J = ( J _x , J _y , J _z ) — генераторы вращения (также матрицы углового момента):

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

и пусть будет матрицей вращения . Согласно формуле вращения Родригеса , оператор вращения тогда равен ${\displaystyle {\widehat {R}} = {\widehat {R}}(\theta, {\hat {\mathbf {n} }})}$$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat { \mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \ mathbf {J} )^{2}.}$$

Оператор инвариантен относительно унитарного преобразования U , если в этом случае для поворота ,${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta } \hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

Ортонормированный базисный набор для полного углового момента — это , где j — квантовое число полного углового момента, а m — квантовое число магнитного углового момента, которое принимает значения − j , − j + 1, ..., j − 1, j . Общее состояние в подпространстве j${\displaystyle |j,m\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

переходит в новое состояние путем:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

Используя условие полноты :

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

у нас есть

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Представляем элементы матрицы Вигнера D :

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

дает матричное умножение:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

Для одного базисного кета:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

Для случая орбитального углового момента собственные состояния оператора орбитального углового момента L и решения уравнения Лапласа на трехмерной сфере являются сферическими гармониками :${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

где P _ℓ ^m — ассоциированный полином Лежандра , ℓ — квантовое число орбитального углового момента, а m — орбитальное магнитное квантовое число , которое принимает значения −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ Формализм сферических гармоник имеет широкое применение в прикладной математике и тесно связан с формализмом сферических тензоров, как показано ниже.

Сферические гармоники являются функциями полярного и азимутального углов, ϕ и θ соответственно, которые можно удобно собрать в единичный вектор n ( θ , ϕ ), указывающий в направлении этих углов, в декартовой системе координат это:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

Таким образом, сферическая гармоника также может быть записана . Сферические гармонические состояния вращаются согласно обратной матрице вращения , в то время как вращается согласно исходной матрице вращения .${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$${\displaystyle |m,\ell \rangle }$${\displaystyle U(R^{-1})}$${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

Мы определяем вращение оператора, требуя, чтобы математическое ожидание исходного оператора относительно начального состояния было равно математическому ожиданию повернутого оператора относительно повернутого состояния,${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

Теперь, как,

$${\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$$

у нас есть,

$${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

поскольку, является произвольным,${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$$

Скалярный оператор инвариантен относительно вращений: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

Это эквивалентно утверждению, что скалярный оператор коммутирует с генераторами вращения:

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

Примеры скалярных операторов включают в себя

• энергетический оператор :$${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• потенциальная энергия V (только в случае центрального потенциала)$${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• кинетическая энергия Т :$${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• спин -орбитальная связь :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

Векторные операторы (а также псевдовекторные операторы) представляют собой набор из 3 операторов, которые можно вращать в соответствии с: ^[2]

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$Любая наблюдаемая векторная величина квантово-механической системы должна быть инвариантна относительно выбора системы отсчета. Преобразование вектора ожидаемого значения, применяемое к любой волновой функции, обеспечивает указанное выше равенство. В нотации Дирака: где правая часть обусловлена ​​преобразованием вращения, действующим на вектор, образованный ожидаемыми значениями. Поскольку | Ψ ⟩ — любое квантовое состояние, следует тот же результат: Обратите внимание, что здесь термин «вектор» используется двумя разными способами: кеты, такие как | ψ ⟩, являются элементами абстрактных гильбертовых пространств, в то время как векторный оператор определяется как величина, компоненты которой преобразуются определенным образом при вращениях.$${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$

Из приведенного выше соотношения для бесконечно малых вращений и леммы Бейкера-Хаусдорфа , путем приравнивания коэффициентов порядка , можно вывести коммутационное соотношение с генератором вращения: ^[2]${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$где ε _ijk — символ Леви-Чивиты , которому все векторные операторы должны удовлетворять по построению. Вышеуказанное правило коммутатора также можно использовать в качестве альтернативного определения для векторных операторов, которое можно показать с помощью леммы Бейкера-Хаусдорфа . Поскольку символ ε _ijk является псевдотензором , псевдовекторные операторы инвариантны с точностью до знака: +1 для собственных вращений и −1 для несобственных вращений .

Поскольку можно показать, что операторы образуют векторный оператор посредством их коммутационного соотношения с компонентами углового момента (которые являются генераторами вращения), то его примеры включают:

• оператор позиции :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• оператор импульса :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

и псевдовекторные операторы включают

• оператор орбитального углового момента :$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• а также оператор спина S , и, следовательно, полный угловой момент$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

Если и — два векторных оператора, то скалярное произведение между двумя векторными операторами можно определить как: ${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle {\vec {W}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}$

При вращении координат новый определенный оператор преобразуется как: Перестановка членов и использование транспонирования матрицы вращения в качестве ее обратного свойства: Где RHS — это изначально определенный оператор. Поскольку определенное скалярное произведение инвариантно относительно преобразования вращения, говорят, что это скалярный оператор.$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)}$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}}$$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$

Векторный оператор в сферическом базисе имеет вид V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) , где компоненты следующие: ^[2] с использованием различных коммутаторов с генераторами вращения и операторами лестничной логики:$${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$
${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

которые имеют схожую форму$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

В сферическом базисе генераторами вращения являются:$${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

Из преобразования операторов и леммы Бейкера-Хаусдорфа :

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

по сравнению с

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

можно утверждать, что коммутатор с оператором заменяет действие оператора на состояние для преобразований операторов по сравнению с преобразованиями состояний:

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

Преобразование вращения в сферическом базисе (первоначально записанное в декартовом базисе) тогда, ввиду подобия коммутации и оператора, показанного выше, имеет вид:$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

Концепцию векторного оператора можно легко обобщить до тензорных операторов , как показано ниже.

В общем случае тензорный оператор — это оператор, который преобразуется согласно тензору: где базис преобразуется посредством или компоненты вектора преобразуются посредством .$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$${\displaystyle R^{-1}}$${\displaystyle R}$

В последующем обсуждении, окружающем тензорные операторы, индексная нотация относительно ковариантного/контравариантного поведения полностью игнорируется. Вместо этого, контравариантные компоненты подразумеваются контекстом. Следовательно, для n раз контравариантного тензора: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

• Оператор квадрупольного момента ,$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$$
• Компоненты двух векторных тензорных операторов могут быть перемножены, чтобы получить другой тензорный оператор. В общем случае, n число тензорных операторов также даст другой тензорный оператор или,$${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$$$${\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}}$$$${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$$

Примечание: В общем случае тензорный оператор не может быть записан как тензорное произведение других тензорных операторов, как показано в приведенном выше примере.

Если и являются двумя трехмерными векторными операторами, то декартовы диадические тензоры ранга 2 могут быть образованы из девяти операторов вида , Переставляя члены, получаем: Правая часть уравнения является уравнением замены базиса для дважды контравариантных тензоров, где базис преобразуется с помощью или векторные компоненты преобразуются с помощью , что соответствует преобразованию компонент векторного оператора. Следовательно, описанный операторный тензор образует тензор ранга 2, в тензорном представлении, Аналогично, n-кратный контравариантный тензорный оператор может быть образован аналогично с помощью n векторных операторов.${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle {\vec {W}}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)}$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)}$$${\displaystyle R^{-1}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}$$

Мы видим, что подпространство, охватываемое линейными комбинациями компонент тензора ранга два, образует инвариантное подпространство, т. е. подпространство не изменяется при вращении, поскольку преобразованные компоненты сами по себе являются линейной комбинацией компонент тензора. Однако это подпространство не является неприводимым, т. е. его можно далее разделить на инвариантные подпространства при вращении. В противном случае подпространство называется приводимым. Другими словами, существуют определенные наборы различных линейных комбинаций компонент, такие, что они преобразуются в линейную комбинацию того же набора при вращении. ^[3] В приведенном выше примере мы покажем, что 9 независимых компонент тензора можно разделить на набор из 1, 3 и 5 комбинаций операторов, каждая из которых образует неприводимые инвариантные подпространства.

Подпространство, охватываемое можно разделить на два подпространства: три независимых антисимметричных компонента и шесть независимых симметричных компонентов , определяемых как и . Используя формулу преобразования при вращении, можно показать, что и и преобразуются в линейную комбинацию членов своих собственных множеств. Хотя является неприводимым, то же самое нельзя сказать о .${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$

Шесть независимых симметричных компонент можно разделить на пять независимых бесследовых симметричных компонент, а инвариантный след может быть его собственным подпространством.

Следовательно, инвариантные подпространства образуются соответственно:${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Один инвариантный след тензора,${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. Три линейно независимых антисимметричных компонента из:${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. Пять линейно независимых бесследовых симметричных компонентов из${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

Если , то инвариантные подпространства образованного представляются следующим образом: ^[4]${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Один инвариантный скалярный оператор${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. Три линейно независимых компонента из${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. Пять линейно независимых компонентов из${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

Из приведенных выше примеров девять компонент разбиваются на подпространства, образованные одним, тремя и пятью компонентами. Эти числа складываются с числом компонентов исходного тензора аналогично тому, как размерность векторных подпространств складывается с размерностью пространства, которое является прямой суммой этих подпространств. Аналогично, каждый элемент может быть выражен в терминах линейной комбинации компонентов из его инвариантных подпространств:${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

или

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

где:$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

В общем случае декартовы тензоры ранга больше 1 являются приводимыми. В квантовой механике этот конкретный пример напоминает сложение двух частиц со спином один, где обе являются 3-мерными, следовательно, общее пространство является 9-мерным, может быть образовано системами со спином 0, спином 1 и спином 2, каждая из которых имеет 1-мерное, 3-мерное и 5-мерное пространство соответственно. ^[4] Эти три члена являются неприводимыми, что означает, что они не могут быть разложены дальше и по-прежнему являются тензорами, удовлетворяющими определяющим законам преобразования, при которых они должны быть инвариантными. Каждое из неприводимых представлений T ⁽⁰⁾ , T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ ... преобразуется подобно собственным состояниям углового момента в соответствии с числом независимых компонент.

Возможно, что данный тензор может иметь один или несколько из этих компонентов, исчезающих. Например, тензор квадрупольного момента уже симметричен и бесследен, и, следовательно, имеет только 5 независимых компонентов с самого начала. ^[3]

Сферические тензорные операторы обычно определяются как операторы со следующим правилом преобразования при вращении системы координат:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Соотношения коммутации можно найти, разложив левую и правую части следующим образом: ^[4]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Упрощая и применяя пределы для выбора только членов первого порядка, получаем:

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

Для выбора или мы получаем: Обратите внимание на сходство приведенного выше с: Поскольку и являются линейными комбинациями , они имеют одинаковое сходство из-за линейности. ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{\pm }}$

Если выполняются только коммутационные соотношения, то, используя следующее соотношение,${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$

мы находим из-за подобия действий на волновую функцию и коммутационных соотношений на , что:${\displaystyle J}$${\displaystyle |j,m\rangle }$${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

где экспоненциальная форма задается леммой Бейкера–Хаусдорфа . Следовательно, приведенные выше коммутационные соотношения и свойство преобразования являются эквивалентными определениями сферических тензорных операторов. Можно также показать, что преобразуются подобно вектору из-за их коммутационного соотношения.${\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}$

В следующем разделе будет обсуждаться построение сферических тензоров. Например, поскольку показан пример сферических векторных операторов, его можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка. В общем случае сферические тензорные операторы можно построить с двух точек зрения. ^[5] Один из способов — указать, как сферические тензоры преобразуются при физическом вращении — групповое теоретическое определение. Повернутое собственное состояние углового момента может быть разложено в линейную комбинацию исходных собственных состояний: коэффициенты в линейной комбинации состоят из элементов матрицы вращения Вигнера. Или, продолжая предыдущий пример диадического тензора второго порядка T = a ⊗ b , приводя каждый из a и b к сферическому базису и подставляя в T, получаем сферические тензорные операторы второго порядка. ^{[ необходима цитата ]}

Можно доказать, что объединение двух сферических тензоров и использование коэффициентов Клебша–Гордана следующим образом дает еще один сферический тензор вида: ^[4]${\displaystyle A_{q_{1}}^{(k_{1})}}$${\displaystyle B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$$${\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$$

Это уравнение можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка, например, сферических тензорных операторов второго порядка с использованием двух сферических тензорных операторов первого порядка, скажем, A и B, рассмотренных ранее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}$$

Используя оператор бесконечно малого вращения и его эрмитово сопряжение, можно вывести коммутационное соотношение в сферическом базисе: и можно проверить конечное преобразование вращения в сферическом базисе:$${\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$

Определим оператор по его спектру: Так как для сферических гармоник при вращении: Также можно показать, что: Тогда , где — векторный оператор, также преобразуется таким же образом, т. е. — сферический тензорный оператор. Процесс включает выражение в терминах x, y и z и замену x, y и z на операторы V _x V _y и V _z , которые являются векторными операторами. Результирующий оператор, следовательно, является сферическим тензорным оператором . ^ Это может включать константу из-за нормализации от сферических гармоник, которая бессмысленна в контексте операторов.$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle }$$$${\displaystyle Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )}$$$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})}$$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})}$${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)}$${\displaystyle {\hat {T}}_{m}^{(l)}}$

Эрмитово сопряженное значение сферического тензора может быть определено как Существует некоторая произвольность в выборе фазового множителя: любой множитель, содержащий (−1) ^{± q,} будет удовлетворять коммутационным соотношениям. ^[6] Вышеуказанный выбор фазы имеет то преимущество, что он является действительным, и что тензорное произведение двух коммутирующих эрмитовых операторов по-прежнему является эрмитовым. ^[7] Некоторые авторы определяют его с другим знаком q , без k , или используют только нижнюю часть k . [ ^8]$${\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}$$

Операторы орбитального углового момента имеют лестничные операторы :

$${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$$

которые повышают или понижают орбитальное магнитное квантовое число m _ℓ на одну единицу. Это имеет почти точно такую ​​же форму, как и сферический базис, за исключением постоянных мультипликативных множителей.

Сферические тензоры также могут быть сформированы из алгебраических комбинаций операторов спина S _x , S _y , S _z , как матриц, для спиновой системы с полным квантовым числом j = ℓ + s (и ℓ = 0). Операторы спина имеют лестничные операторы:

$${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$$

которые увеличивают или уменьшают спиновое магнитное квантовое число m _s на одну единицу.

Сферические основания имеют широкое применение в чистой и прикладной математике, а также в физических науках, где встречаются сферические геометрии.

Амплитуда перехода пропорциональна матричным элементам дипольного оператора между начальным и конечным состояниями. Мы используем электростатическую, бесспиновую модель для атома и рассматриваем переход с начального уровня энергии E _nℓ на конечный уровень E _n′ℓ′ . Эти уровни вырождены, поскольку энергия не зависит от магнитного квантового числа m или m′. Волновые функции имеют вид,

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

Дипольный оператор пропорционален оператору положения электрона, поэтому мы должны вычислить матричные элементы вида,

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }$$

где начальное состояние находится справа, а конечное — слева. Оператор положения r имеет три компонента, а начальный и конечный уровни состоят из 2ℓ + 1 и 2ℓ′ + 1 вырожденных состояний соответственно. Поэтому, если мы хотим оценить интенсивность спектральной линии, как она будет наблюдаться, нам действительно нужно оценить 3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1) матричных элементов, например, 3×3×5 = 45 в переходе 3d → 2p. На самом деле это преувеличение, как мы увидим, потому что многие матричные элементы исчезают, но все еще есть много неисчезающих матричных элементов, которые нужно вычислить.

Значительного упрощения можно добиться, выражая компоненты r не относительно декартовой основы, а относительно сферической основы. Сначала определим,

$${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$$

Далее, просматривая таблицу Y _ℓm ′, мы обнаруживаем, что для ℓ = 1 имеем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$